identidad de máximos y mínimos

En matemáticas , la identidad máximo-mínimo es una relación entre el elemento máximo de un conjunto S de n números y los mínimos de los 2 ⁿ − 1 subconjuntos no vacíos de S.

Sea S = { x ₁ , x ₂ , ..., x _n }. La identidad establece que

${\displaystyle {\begin{aligned}\max\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}&=\sum _{i=1}^{n}x_{i}-\sum _{i<j}\min\{x_{i},x_{j}\}+\sum _{i<j<k}\min\{x_{i},x_{j},x_{k}\}-\cdots \\&\qquad \cdots +\left(-1\right)^{n+1}\min\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\},\end{aligned}}}$

o viceversa

${\displaystyle {\begin{aligned}\min\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}&=\sum _{i=1}^{n}x_{i}-\sum _{i<j}\max\{x_{i},x_{j}\}+\sum _{i<j<k}\max\{x_{i},x_{j},x_{k}\}-\cdots \\&\qquad \cdots +\left(-1\right)^{n+1}\max\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}.\end{aligned}}}$

Para una demostración probabilística, consulte la referencia.

• Principio de inclusión-exclusión
• Máximos y mínimos §  En relación con los conjuntos

Ross, Sheldon M. (2020). Un primer curso de probabilidad (Décima  edición global). Harlow, Reino Unido: Pearson. pp. 331–333 . ISBN  978-1-292-26920-7.