filtro de Kalman

En estadística y teoría de control , el filtrado de Kalman (también conocido como estimación lineal cuadrática ) es un algoritmo que utiliza una serie de mediciones observadas a lo largo del tiempo, incluyendo ruido estadístico y otras imprecisiones, para producir estimaciones de variables desconocidas que tienden a ser más precisas que las basadas en una sola medición, al estimar una distribución de probabilidad conjunta sobre las variables para cada paso de tiempo. El filtro se construye como un minimizador del error cuadrático medio , pero también se proporciona una derivación alternativa del filtro que muestra cómo se relaciona con la estadística de máxima verosimilitud. ^{[ 1 ]} El filtro lleva el nombre de Rudolf E. Kálmán .

El filtrado de Kalman tiene numerosas aplicaciones tecnológicas. Una aplicación común es la guía, navegación y control de vehículos, en particular aeronaves, naves espaciales y barcos posicionados dinámicamente . ^{[ 2 ]} Además, el filtrado de Kalman se aplica ampliamente en tareas de análisis de series temporales, como el procesamiento de señales y la econometría . El filtrado de Kalman también es importante para la planificación y el control del movimiento robótico, ^{[ 3 ] [ 4 ]} y puede utilizarse para la optimización de trayectorias . ^{[ 5 ]} El filtrado de Kalman también funciona para modelar el control del movimiento del sistema nervioso central . Debido al retardo temporal entre la emisión de comandos motores y la recepción de retroalimentación sensorial , el uso de filtros de Kalman proporciona un modelo realista para realizar estimaciones del estado actual de un sistema motor y emitir comandos actualizados. ^{[ 6 ]}

El algoritmo funciona mediante un proceso de dos fases: una fase de predicción y una fase de actualización . En la fase de predicción, el filtro de Kalman genera estimaciones de las variables de estado actuales , incluyendo sus incertidumbres. Una vez observado el resultado de la siguiente medición (necesariamente con cierto margen de error, incluyendo ruido aleatorio), estas estimaciones se actualizan mediante un promedio ponderado , asignando mayor peso a las estimaciones con mayor certeza. El algoritmo es recursivo . Puede operar en tiempo real , utilizando únicamente las mediciones de entrada actuales y el estado calculado previamente, junto con su matriz de incertidumbre; no se requiere información previa adicional.

La optimalidad del filtrado de Kalman supone que los errores tienen una distribución normal (gaussiana) de media cero . En palabras de Rudolf E. Kálmán : «Se hacen las siguientes suposiciones sobre los procesos aleatorios: Los fenómenos aleatorios físicos pueden considerarse como resultado de fuentes aleatorias primarias que excitan sistemas dinámicos. Se supone que las fuentes primarias son procesos aleatorios gaussianos independientes con media cero; los sistemas dinámicos serán lineales». ^{[ 7 ]} Sin embargo, independientemente de la gaussianidad, si se conocen las covarianzas del proceso y de la medición, y la media es cero, entonces el filtro de Kalman es el mejor estimador lineal posible en el sentido de mínimo error cuadrático medio , ^{[ 8 ]} aunque puede haber mejores estimadores no lineales. Es una idea errónea común (perpetuada en la literatura) que el filtro de Kalman no puede aplicarse rigurosamente a menos que se suponga que todos los procesos de ruido son gaussianos. ^{[ 9 ]}

También se han desarrollado extensiones y generalizaciones del método, como el filtro de Kalman extendido y el filtro de Kalman sin aroma , que funcionan en sistemas no lineales . La base es un modelo oculto de Markov tal que el espacio de estados de las variables latentes es continuo y todas las variables latentes y observadas tienen distribuciones gaussianas. El filtrado de Kalman se ha utilizado con éxito en la fusión multisensor [ ^{10 ] y en} redes de sensores distribuidas para desarrollar filtrado de Kalman distribuido o de consenso ^{[ 11 ] .}

El método de filtrado recibe su nombre del emigrante húngaro Rudolf E. Kálmán , aunque Thorvald Nicolai Thiele ^{[ 12 ] [ 13 ]} y Peter Swerling desarrollaron un algoritmo similar anteriormente. Richard S. Bucy del Laboratorio de Física Aplicada de Johns Hopkins contribuyó a la teoría, lo que hizo que a veces se la conociera como filtrado de Kalman-Bucy. Kalman se inspiró para derivar el filtro de Kalman aplicando variables de estado al problema de filtrado de Wiener . ^{[ 14 ]} A Stanley F. Schmidt se le atribuye generalmente el desarrollo de la primera implementación de un filtro de Kalman. Se dio cuenta de que el filtro podía dividirse en dos partes distintas, con una parte para los períodos de tiempo entre las salidas de los sensores y otra parte para incorporar las mediciones. ^{[ 15 ]} Fue durante una visita de Kálmán al Centro de Investigación Ames de la NASA que Schmidt vio la aplicabilidad de las ideas de Kálmán al problema no lineal de estimación de trayectoria para el programa Apolo, lo que resultó en su incorporación en la computadora de navegación del Apolo . ^{[ 16 ] : 16}

Este filtro digital a veces se denomina filtro Stratonovich-Kalman-Bucy porque es un caso especial de un filtro no lineal más general desarrollado por el matemático soviético Ruslan Stratonovich . ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]} De hecho, algunas de las ecuaciones del filtro lineal de caso especial aparecieron en artículos de Stratonovich que se publicaron antes del verano de 1961, cuando Kalman se reunió con Stratonovich durante una conferencia en Moscú. ^{[ 21 ]}

Este filtro de Kalman fue descrito y desarrollado parcialmente por primera vez en artículos técnicos por Swerling (1958), Kalman (1960) y Kalman y Bucy (1961).

La computadora Apollo utilizaba 2k de RAM de núcleo magnético y 36k de cable de acero [...]. La CPU estaba construida con circuitos integrados [...]. La velocidad de reloj era inferior a 100 kHz [...]. El hecho de que los ingenieros del MIT lograran integrar un software tan bueno (una de las primeras aplicaciones del filtro de Kalman) en una computadora tan pequeña es realmente extraordinario.

Los filtros de Kalman han sido fundamentales en la implementación de los sistemas de navegación de los submarinos de misiles balísticos nucleares de la Armada de los EE. UU ., así como en los sistemas de guiado y navegación de misiles de crucero como el misil Tomahawk de la Armada de los EE. UU. y el misil de crucero lanzado desde el aire de la Fuerza Aérea de los EE . UU. También se utilizan en los sistemas de guiado y navegación de vehículos de lanzamiento reutilizables y en los sistemas de control de actitud y navegación de las naves espaciales que se acoplan a la Estación Espacial Internacional . ^{[ 22 ]}

El filtrado de Kalman utiliza el modelo dinámico de un sistema (por ejemplo, las leyes físicas del movimiento), las entradas de control conocidas de dicho sistema y múltiples mediciones secuenciales (como las de los sensores) para obtener una estimación de las cantidades variables del sistema (su estado ) que es mejor que la obtenida utilizando una sola medición. Por ello, es un algoritmo común de fusión de sensores y de datos .

Los datos ruidosos de los sensores, las aproximaciones en las ecuaciones que describen la evolución del sistema y los factores externos no considerados limitan la precisión con la que se puede determinar el estado del sistema. El filtro de Kalman aborda eficazmente la incertidumbre debida a los datos ruidosos de los sensores y, en cierta medida, a los factores externos aleatorios. El filtro de Kalman produce una estimación del estado del sistema como un promedio del estado predicho y de la nueva medición mediante un promedio ponderado . El propósito de los pesos es que los valores con menor incertidumbre estimada se consideren más fiables. Los pesos se calculan a partir de la covarianza , una medida de la incertidumbre estimada de la predicción del estado del sistema. El resultado del promedio ponderado es una nueva estimación del estado que se sitúa entre el estado predicho y el medido, y que presenta una menor incertidumbre estimada que cualquiera de ellos por separado. Este proceso se repite en cada paso de tiempo, y la nueva estimación y su covarianza influyen en la predicción utilizada en la siguiente iteración. Esto significa que el filtro de Kalman funciona de forma recursiva y solo requiere la última "mejor estimación", en lugar de todo el historial, del estado de un sistema para calcular un nuevo estado.

La clasificación de la certeza de las mediciones y la estimación del estado actual son consideraciones importantes. Es común analizar la respuesta del filtro en términos de la ganancia del filtro de Kalman . La ganancia de Kalman es el peso asignado a las mediciones y a la estimación del estado actual, y puede ajustarse para lograr un rendimiento específico. Con una ganancia alta, el filtro otorga mayor peso a las mediciones más recientes y, por lo tanto, se ajusta a ellas con mayor precisión. Con una ganancia baja, el filtro se ajusta más a las predicciones del modelo. En los extremos, una ganancia alta (cercana a uno) dará como resultado una trayectoria estimada más inestable, mientras que una ganancia baja (cercana a cero) suavizará el ruido, pero disminuirá la capacidad de respuesta.

Al realizar los cálculos para el filtro (como se explica más adelante), la estimación del estado y las covarianzas se codifican en matrices debido a las múltiples dimensiones involucradas en un solo conjunto de cálculos. Esto permite representar las relaciones lineales entre diferentes variables de estado (como posición, velocidad y aceleración) en cualquiera de los modelos de transición o covarianzas.

Como ejemplo práctico, consideremos el problema de determinar la ubicación precisa de un camión. El camión puede estar equipado con un GPS que proporciona una estimación de la posición con un margen de error de pocos metros. Es probable que la estimación del GPS sea imprecisa; las lecturas fluctúan rápidamente, aunque se mantienen dentro de un margen de pocos metros de la posición real. Además, dado que se espera que el camión siga las leyes de la física, su posición también puede estimarse integrando su velocidad a lo largo del tiempo, determinada mediante el seguimiento de las revoluciones de las ruedas y el ángulo del volante. Esta técnica se conoce como navegación a estima . Normalmente, la navegación a estima proporciona una estimación muy precisa de la posición del camión, pero esta se desviará con el tiempo a medida que se acumulen pequeños errores.

En este ejemplo, el filtro de Kalman puede considerarse que opera en dos fases distintas: predicción y actualización. En la fase de predicción, la posición anterior del camión se modifica según las leyes físicas del movimiento (el modelo dinámico o de "transición de estado"). No solo se calcula una nueva estimación de la posición, sino también una nueva covarianza. Es posible que la covarianza sea proporcional a la velocidad del camión, ya que la precisión de la estimación de posición por estima es menor a altas velocidades, pero es muy alta a bajas velocidades. A continuación, en la fase de actualización, se toma una medición de la posición del camión con el GPS. Esta medición conlleva cierta incertidumbre, y su covarianza, en relación con la predicción de la fase anterior, determina cuánto afectará la nueva medición a la predicción actualizada. Idealmente, dado que las estimaciones por estima tienden a desviarse de la posición real, la medición del GPS debería acercar la estimación de la posición a la real, pero sin alterarla hasta el punto de generar ruido y fluctuaciones bruscas.

El filtro de Kalman es un filtro recursivo eficiente que estima el estado interno de un sistema dinámico lineal a partir de una serie de mediciones con ruido . Se utiliza en una amplia gama de aplicaciones de ingeniería y econometría , desde radar y visión artificial hasta la estimación de modelos macroeconómicos estructurales, ^{[ 23 ] [ 24 ]} y es un tema importante en la teoría de control y la ingeniería de sistemas de control . Junto con el regulador lineal-cuadrático (LQR), el filtro de Kalman resuelve el problema de control lineal-cuadrático-gaussiano (LQG). El filtro de Kalman, el regulador lineal-cuadrático y el controlador lineal-cuadrático-gaussiano son soluciones a los que posiblemente sean los problemas más fundamentales de la teoría de control.

En la mayoría de las aplicaciones, el estado interno es mucho mayor (tiene más grados de libertad ) que los pocos parámetros "observables" que se miden. Sin embargo, al combinar una serie de mediciones, el filtro de Kalman puede estimar el estado interno completo.

En la teoría de Dempster-Shafer , cada ecuación de estado u observación se considera un caso especial de una función de creencia lineal, y el filtrado de Kalman es un caso especial de combinación de funciones de creencia lineales en un árbol de unión o árbol de Markov . Otros métodos incluyen el filtrado de creencias , que utiliza actualizaciones bayesianas o evidenciales para las ecuaciones de estado.

Actualmente existe una amplia variedad de filtros de Kalman: la formulación original de Kalman, ahora denominada filtro de Kalman "simple", el filtro de Kalman-Bucy , el filtro "extendido" de Schmidt, el filtro de información y diversos filtros de "raíz cuadrada" desarrollados por Bierman, Thornton y muchos otros. Quizás el tipo más común de filtro de Kalman simple sea el bucle de enganche de fase ( PLL ), omnipresente en radios, especialmente en radios de modulación de frecuencia (FM), televisores, receptores de comunicaciones por satélite , sistemas de comunicaciones espaciales y prácticamente cualquier otro equipo de comunicaciones electrónicas .

El filtrado de Kalman se basa en sistemas dinámicos lineales discretizados en el dominio del tiempo. Estos sistemas se modelan mediante una cadena de Markov construida sobre operadores lineales perturbados por errores que pueden incluir ruido gaussiano . El estado del sistema objetivo se refiere a la configuración real (aunque oculta) del sistema de interés, que se representa como un vector de números reales . En cada incremento de tiempo discreto , se aplica un operador lineal al estado para generar el nuevo estado, con algo de ruido incorporado y, opcionalmente, información de los controles del sistema si se conocen. A continuación, otro operador lineal, mezclado con más ruido, genera las salidas medibles (es decir, la observación) del estado real ("oculto"). El filtro de Kalman puede considerarse análogo al modelo oculto de Markov, con la diferencia de que las variables de estado ocultas tienen valores en un espacio continuo, a diferencia del espacio de estado discreto del modelo oculto de Markov. Existe una fuerte analogía entre las ecuaciones de un filtro de Kalman y las del modelo oculto de Markov. Una revisión de este y otros modelos se presenta en Roweis y Ghahramani (1999) ^{[ 25 ]} y Hamilton (1994), Capítulo 13. ^{[ 26 ]}

Para utilizar el filtro de Kalman y estimar el estado interno de un proceso a partir únicamente de una secuencia de observaciones ruidosas, es necesario modelar el proceso de acuerdo con el siguiente marco. Esto implica especificar las matrices para cada paso de tiempo.${\displaystyle k}$, siguiente:

• ${\displaystyle \mathbf {F} _{k}}$, el modelo de transición de estados;
• ${\displaystyle \mathbf {H} _{k}}$, el modelo de observación;
• ${\displaystyle \mathbf {Q} _ {k}}$, la covarianza del ruido del proceso;
• ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$, la covarianza del ruido de observación;
• y a veces${\displaystyle \mathbf {B} _{k}}$, el modelo de entrada de control como se describe a continuación; si${\displaystyle \mathbf {B} _{k}}$está incluido, entonces también está
• ${\displaystyle \mathbf {u} _ {k}}$, el vector de control, que representa la entrada de control en el modelo de entrada de control.

Como se puede observar a continuación, es común en muchas aplicaciones que las matrices${\displaystyle \mathbf {F} }$,${\displaystyle \mathbf {H} }$,${\displaystyle \mathbf {Q} }$,${\displaystyle \mathbf {R} }$, y${\displaystyle \mathbf {B} }$son constantes a lo largo del tiempo, en cuyo caso su${\displaystyle k}$El índice podría ser eliminado.

El modelo de filtro de Kalman asume el estado verdadero en el tiempo${\displaystyle k}$se ha desarrollado a partir del estado en${\displaystyle k-1}$de acuerdo a

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {F} _{k}\mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {B} _{k}\mathbf {u} _{k}+\mathbf {w} _{k}}$

dónde

• ${\displaystyle \mathbf {F} _{k}}$es el modelo de transición de estado que se aplica al estado anterior x _{k −1} ;
• ${\displaystyle \mathbf {B} _{k}}$es el modelo de entrada de control que se aplica al vector de control${\displaystyle \mathbf {u} _ {k}}$;
• ${\displaystyle \mathbf {w} _{k}}$es el ruido del proceso, que se supone que se extrae de una distribución normal multivariada de media cero ,${\displaystyle {\mathcal {N}}}$, con covarianza ,${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$:${\displaystyle \mathbf {w} _{k}\sim {\mathcal {N}}\left(0,\mathbf {Q} _{k}\right)}$.

Si${\displaystyle \mathbf {Q} }$es independiente del tiempo, uno puede, siguiendo a Roweis y Ghahramani, ^{[ 25 ] : 307} escribir${\displaystyle \mathbf {w} _{\bullet }}$en lugar de${\displaystyle \mathbf {w} _{k}}$para enfatizar que el ruido no tiene conocimiento explícito del tiempo.

En ese momento${\displaystyle k}$una observación (o medición)${\displaystyle \mathbf {z} _{k}}$del verdadero estado${\displaystyle \mathbf {x} _{k}}$se realiza según

${\displaystyle \mathbf {z} _{k}=\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k}+\mathbf {v} _{k}}$

dónde

• ${\displaystyle \mathbf {H} _{k}}$es el modelo de observación, que mapea el espacio de estado verdadero en el espacio observado y
• ${\displaystyle \mathbf {v} _{k}}$es el ruido de observación, que se supone que es ruido blanco gaussiano de media cero con covarianza${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$:${\displaystyle \mathbf {v} _{k}\sim {\mathcal {N}}\left(0,\mathbf {R} _{k}\right)}$.

De forma análoga a la situación para${\displaystyle \mathbf {w} _{k}}$, uno puede escribir${\displaystyle \mathbf {v} _{\bullet }}$en lugar de${\displaystyle \mathbf {v} _{k}}$ si${\displaystyle \mathbf {R} }$es independiente del tiempo.

El estado inicial y los vectores de ruido en cada paso.${\displaystyle \{\mathbf {x} _{0},\mathbf {w} _{1},\dots ,\mathbf {w} _{k},\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}\}}$Se supone que todos son mutuamente independientes .

Muchos sistemas dinámicos en tiempo real no se ajustan exactamente a este modelo. De hecho, la dinámica no modelada puede degradar seriamente el rendimiento del filtro, incluso cuando se supone que funciona con señales estocásticas desconocidas como entradas. Esto se debe a que el efecto de la dinámica no modelada depende de la entrada y, por lo tanto, puede provocar inestabilidad en el algoritmo de estimación (divergencia). Por otro lado, las señales de ruido blanco independientes no provocan la divergencia del algoritmo. El problema de distinguir entre el ruido de medición y la dinámica no modelada es complejo y se aborda como un problema de la teoría de control mediante control robusto . ^{[ 27 ] [ 28 ]}

El filtro de Kalman es un estimador recursivo . Esto significa que solo se necesita el estado estimado del paso de tiempo anterior y la medición actual para calcular la estimación del estado actual. A diferencia de las técnicas de estimación por lotes, no se requiere ningún historial de observaciones y/o estimaciones. En lo que sigue, la notación${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{n\mid m}}$representa la estimación de${\displaystyle \mathbf {x} }$en el instante n dadas las observaciones hasta el instante m ≤ n inclusive .

El estado del filtro está representado por dos variables:

• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$, la media de la estimación del estado a posteriori en el tiempo k dadas las observaciones hasta el tiempo k inclusive ;
• ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$, la matriz de covarianza de la estimación a posteriori (una medida de la precisión estimada de la estimación del estado).

La estructura del algoritmo del filtro de Kalman se asemeja a la del filtro alfa-beta . El filtro de Kalman puede expresarse como una sola ecuación; sin embargo, suele conceptualizarse como dos fases distintas: "Predicción" y "Actualización". La fase de predicción utiliza la estimación del estado del paso de tiempo anterior para generar una estimación del estado en el paso de tiempo actual. Esta estimación del estado predicho también se conoce como estimación del estado a priori , ya que, si bien es una estimación del estado en el paso de tiempo actual, no incluye información de observación de dicho paso. En la fase de actualización, la innovación (el residuo previo al ajuste), es decir, la diferencia entre la predicción a priori actual y la información de observación actual, se multiplica por la ganancia óptima de Kalman y se combina con la estimación del estado anterior para refinar la estimación del estado. Esta estimación mejorada, basada en la observación actual, se denomina estimación del estado a posteriori .

Normalmente, las dos fases se alternan: la predicción avanza el estado hasta la siguiente observación programada, y la actualización incorpora la observación. Sin embargo, esto no es necesario; si una observación no está disponible por algún motivo, la actualización puede omitirse y se pueden realizar varios procedimientos de predicción. Del mismo modo, si hay varias observaciones independientes disponibles al mismo tiempo, se pueden realizar varios procedimientos de actualización (normalmente con diferentes matrices de observación H _k ). ^{[ 29 ] [ 30 ]}

Consideremos un camión sobre rieles rectos sin fricción. Inicialmente, el camión está parado en la posición 0, pero fuerzas aleatorias e incontroladas lo sacuden de un lado a otro. Medimos la posición del camión cada Δt segundos , pero estas mediciones son imprecisas; queremos mantener un modelo de la posición y la velocidad del camión . Aquí mostramos cómo derivamos el modelo a partir del cual creamos nuestro filtro de Kalman.

Desde${\displaystyle \mathbf {F} ,\mathbf {H} ,\mathbf {R} ,\mathbf {Q} }$son constantes, sus índices de tiempo se eliminan.

La posición y la velocidad del camión se describen mediante el espacio de estados lineal.

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}={\begin{bmatrix}x\\{\dot {x}}\end{bmatrix}}}$

dónde${\displaystyle {\dot {x}}}$es la velocidad, es decir, la derivada de la posición con respecto al tiempo.

Suponemos que entre el paso de tiempo ( k  −  1) y k , fuerzas no controladas causan una aceleración constante de a _k que se distribuye normalmente con media 0 y desviación estándar σ _a . De las leyes del movimiento de Newton concluimos que

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {F} \mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {G} a_{k}}$

(no hay${\displaystyle \mathbf {B} u}$término ya que no hay entradas de control conocidas. En cambio, una _k es el efecto de una entrada desconocida y${\displaystyle \mathbf {G} }$aplica ese efecto al vector de estado) donde

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &={\begin{bmatrix}1&\Delta t\\0&1\end{bmatrix}}\\[4pt]\mathbf {G} &={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}{\Delta t}^{2}\\[6pt]\Delta t\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

de modo que

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {F} \mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {w} _{k}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {w} _{k}&\sim N(0,\mathbf {Q} )\\\mathbf {Q} &=\mathbf {G} \mathbf {G} ^{\textsf {T}}\sigma _{a}^{2}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{4}}{\Delta t}^{4}&{\frac {1}{2}}{\Delta t}^{3}\\[6pt]{\frac {1}{2}}{\Delta t}^{3}&{\Delta t}^{2}\end{bmatrix}}\sigma _{a}^{2}.\end{aligned}}}$

La matriz${\displaystyle \mathbf {Q} }$no es de rango completo (es de rango uno si${\displaystyle \Delta t\neq 0}$). Por lo tanto, la distribución${\displaystyle N(0,\mathbf {Q} )}$no es absolutamente continua y no tiene función de densidad de probabilidad . Otra forma de expresar esto, evitando distribuciones degeneradas explícitas, viene dada por

${\displaystyle \mathbf {w} _{k}\sim \mathbf {G} \cdot N\left(0,\sigma _{a}^{2}\right).}$

En cada fase temporal, se realiza una medición ruidosa de la posición real del camión. Supongamos que el ruido de medición v _k también se distribuye normalmente, con media 0 y desviación estándar σ _z .

${\displaystyle \mathbf {z} _{k}=\mathbf {Hx} _{k}+\mathbf {v} _{k}}$

dónde

${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}}$

y

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathrm {E} \left[\mathbf {v} _{k}\mathbf {v} _{k}^{\textsf {T}}\right]={\begin{bmatrix}\sigma _{z}^{2}\end{bmatrix}}}$

Conocemos el estado inicial de arranque del camión con perfecta precisión, por lo que lo inicializamos.

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{0\mid 0}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}$

Y para indicarle al filtro que conocemos la posición y la velocidad exactas, le proporcionamos una matriz de covarianza cero:

${\displaystyle \mathbf {P} _{0\mid 0}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}}$

Si la posición y la velocidad iniciales no se conocen perfectamente, la matriz de covarianza debe inicializarse con varianzas adecuadas en su diagonal:

${\displaystyle \mathbf {P} _{0\mid 0}={\begin{bmatrix}\sigma _{x}^{2}&0\\0&\sigma _{\dot {x}}^{2}\end{bmatrix}}}$

El filtro dará preferencia a la información de las primeras mediciones sobre la información que ya está contenida en el modelo.

Para simplificar, supongamos que la entrada de control${\displaystyle \mathbf {u} _{k}=\mathbf {0} }$Entonces, el filtro de Kalman se puede escribir de la siguiente manera:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}=\mathbf {F} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}[\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} _{k}\mathbf {F} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}].}$

Una ecuación similar se cumple si incluimos una entrada de control distinta de cero. Matrices de ganancia${\displaystyle \mathbf {K} _{k}}$y matrices de covarianza${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$evolucionan independientemente de las mediciones${\displaystyle \mathbf {z} _{k}}$De lo anterior, las cuatro ecuaciones necesarias para actualizar las matrices son las siguientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{k\mid k-1}&=\mathbf {F} _{k}\mathbf {P} _{k-1\mid k-1}\mathbf {F} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} _{k},\\\mathbf {S} _{k}&=\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {R} _{k},\\\mathbf {K} _{k}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1},\\\mathbf {P} _{k|k}&=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k|k-1}.\end{aligned}}}$

Dado que estos dependen únicamente del modelo y no de las mediciones, pueden calcularse fuera de línea. Convergencia de las matrices de ganancia${\displaystyle \mathbf {K} _{k}}$a una matriz asintótica${\displaystyle \mathbf {K} _{\infty }}$Se aplica a las condiciones establecidas en Walrand y Dimakis. ^{[ 40 ]} Si el${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$La serie converge, luego converge exponencialmente a una asintótica.${\displaystyle \mathbf {P} _{\infty }}$, suponiendo un ruido de planta distinto de cero. ^{[ 41 ]} Análisis recientes han demostrado que la tasa y la naturaleza de esta convergencia pueden involucrar múltiples modos coiguales, incluyendo componentes oscilatorias, dependiendo de la autoestructura del jacobiano del mapa de Riccati anterior evaluado en${\displaystyle \mathbf {P} _{\infty }}$. ^{[ 42 ]} Para el ejemplo del camión de mudanzas descrito anteriormente, con${\displaystyle \Delta t=1}$y${\displaystyle \sigma _{a}^{2}=\sigma _{z}^{2}=\sigma _{x}^{2}=\sigma _{\dot {x}}^{2}=1}$, la simulación muestra convergencia en${\displaystyle 10}$iteraciones.

Utilizando la ganancia asintótica y suponiendo${\displaystyle \mathbf {H} _{k}}$y${\displaystyle \mathbf {F} _{k}}$son independientes de${\displaystyle k}$, el filtro de Kalman se convierte en un filtro lineal invariante en el tiempo :

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k}=\mathbf {F} {\hat {\mathbf {x} }}_{k-1}+\mathbf {K} _{\infty }[\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} \mathbf {F} {\hat {\mathbf {x} }}_{k-1}].}$

La ganancia asintótica${\displaystyle \mathbf {K} _{\infty }}$, si existe, se puede calcular resolviendo primero la siguiente ecuación discreta de Riccati para la covarianza de estado asintótica${\displaystyle \mathbf {P} _{\infty }}$: ^{[ 40 ]}

${\displaystyle \mathbf {P} _{\infty }=\mathbf {F} \left(\mathbf {P} _{\infty }-\mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {H} \mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}+\mathbf {R} \right)^{-1}\mathbf {H} \mathbf {P} _{\infty }\right)\mathbf {F} ^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} .}$

La ganancia asintótica se calcula entonces como antes.

${\displaystyle \mathbf {K} _{\infty }=\mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {R} +\mathbf {H} \mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\right)^{-1}.}$

Además, una forma del filtro de Kalman asintótico más comúnmente utilizado en la teoría de control viene dada por

${\displaystyle {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k+1}=\mathbf {F} {\hat {\mathbf {x} }}_{k}+\mathbf {B} \mathbf {u} _{k}+\mathbf {\overline {K}} _{\infty }[\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} {\hat {\mathbf {x} }}_{k}],}}$

dónde

${\displaystyle {\overline {\mathbf {K} }}_{\infty }=\mathbf {F} \mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {R} +\mathbf {H} \mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\right)^{-1}.}$

Esto conduce a un estimador de la forma

${\displaystyle {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k+1}=(\mathbf {F} -{\overline {\mathbf {K} }}_{\infty }\mathbf {H} ){\hat {\mathbf {x} }}_{k}+\mathbf {B} \mathbf {u} _{k}+\mathbf {\overline {K}} _{\infty }\mathbf {z} _{k}.}}$

El filtro de Kalman se puede derivar como un método generalizado de mínimos cuadrados que opera sobre datos previos. ^{[ 43 ]}

Las ecuaciones de filtrado de Kalman proporcionan una estimación del estado${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$y su covarianza de error${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$recursivamente. La estimación y su calidad dependen de los parámetros del sistema y de las estadísticas de ruido introducidas como entradas al estimador. Esta sección analiza el efecto de las incertidumbres en las entradas estadísticas del filtro. ^{[ 44 ]} En ausencia de estadísticas fiables o de los valores reales de las matrices de covarianza de ruido${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$y${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$, la expresión

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k\mid k-1}\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {R} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$

ya no proporciona la covarianza de error real. En otras palabras,${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}\neq E\left[\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)^{\textsf {T}}\right]}$En la mayoría de las aplicaciones en tiempo real, las matrices de covarianza que se utilizan para diseñar el filtro de Kalman son diferentes de las matrices de covarianza de ruido reales (verdaderas). Este análisis de sensibilidad describe el comportamiento de la covarianza del error de estimación cuando las covarianzas de ruido, así como las matrices del sistema, son diferentes.${\displaystyle \mathbf {F} _{k}}$y${\displaystyle \mathbf {H} _{k}}$Los datos que se introducen como entradas al filtro son incorrectos. Por lo tanto, el análisis de sensibilidad describe la robustez (o sensibilidad) del estimador ante entradas estadísticas y paramétricas mal especificadas.

Esta discusión se limita al análisis de sensibilidad de errores para el caso de incertidumbres estadísticas. Aquí, las covarianzas de ruido reales se denotan por${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}^{a}}$y${\displaystyle \mathbf {R} _{k}^{a}}$respectivamente, mientras que los valores de diseño utilizados en el estimador son${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$y${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$respectivamente. La covarianza de error real se denota por${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}}$y${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$tal como lo calcula el filtro de Kalman se denomina variable de Riccati. Cuando${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}\equiv \mathbf {Q} _{k}^{a}}$y${\displaystyle \mathbf {R} _{k}\equiv \mathbf {R} _{k}^{a}}$, esto significa que${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\mathbf {P} _{k\mid k}^{a}}$. Mientras se calcula la covarianza de error real utilizando${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}=E\left[\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)^{\textsf {T}}\right]}$, sustituyendo por${\displaystyle {\widehat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$y utilizando el hecho de que${\displaystyle E\left[\mathbf {w} _{k}\mathbf {w} _{k}^{\textsf {T}}\right]=\mathbf {Q} _{k}^{a}}$y${\displaystyle E\left[\mathbf {v} _{k}\mathbf {v} _{k}^{\textsf {T}}\right]=\mathbf {R} _{k}^{a}}$, da como resultado las siguientes ecuaciones recursivas para${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}}$ :

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k-1}^{a}=\mathbf {F} _{k}\mathbf {P} _{k-1\mid k-1}^{a}\mathbf {F} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} _{k}^{a}}$

y

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k\mid k-1}^{a}\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {R} _{k}^{a}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$

Mientras se realiza la computación${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$, por diseño el filtro asume implícitamente que${\displaystyle E\left[\mathbf {w} _{k}\mathbf {w} _{k}^{\textsf {T}}\right]=\mathbf {Q} _{k}}$y${\displaystyle E\left[\mathbf {v} _{k}\mathbf {v} _{k}^{\textsf {T}}\right]=\mathbf {R} _{k}}$. Las expresiones recursivas para${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}}$y${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$son idénticos excepto por la presencia de${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}^{a}}$y${\displaystyle \mathbf {R} _{k}^{a}}$en lugar de los valores de diseño${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$y${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$respectivamente. Se han realizado investigaciones para analizar la robustez del sistema de filtro de Kalman. ^{[ 45 ]}

Un problema del filtro de Kalman es su estabilidad numérica . Si la covarianza del ruido del proceso Q _k es pequeña, el error de redondeo suele provocar que un pequeño valor propio positivo de la matriz de covarianza del estado P se calcule como un número negativo. Esto hace que la representación numérica de P sea indefinida , mientras que su forma real es definida positiva .

Las matrices definidas positivas tienen la propiedad de que se pueden factorizar en el producto de una matriz triangular inferior no singular S y su transpuesta : P = S · S ^T . El factor S se puede calcular eficientemente usando el algoritmo de factorización de Cholesky . Esta forma de producto de la matriz de covarianza P está garantizada como simétrica, y para todo 1 <= k <= n, el k-ésimo elemento diagonal P _kk es igual al cuadrado de la norma euclidiana de la k-ésima fila de S , que es necesariamente positiva. Una forma equivalente, que evita muchas de las operaciones de raíz cuadrada involucradas en el algoritmo de factorización de Cholesky , pero conserva las propiedades numéricas deseables, es la forma de descomposición UD, P = U · D · U ^T , donde U es una matriz triangular unitaria (con diagonal unitaria) y D es una matriz diagonal .     

Entre ambas, la factorización UD utiliza la misma cantidad de almacenamiento y requiere algo menos de cálculo, siendo la factorización triangular más utilizada. (La literatura inicial sobre la eficiencia relativa es algo engañosa, ya que asumía que las raíces cuadradas consumían mucho más tiempo que las divisiones, ^{[ 46 ] : 69} mientras que en las computadoras del siglo XXI solo son ligeramente más costosas).

GJ Bierman y CL Thornton desarrollaron algoritmos eficientes para los pasos de predicción y actualización de Kalman en forma factorizada. ^{[ 46 ] [ 47 ]}

La descomposición L · D · L ^T de la matriz de covarianza de innovación S _k es la base para otro tipo de filtro de raíz cuadrada numéricamente eficiente y robusto. ^{[ 48 ]} El algoritmo comienza con la descomposición LU tal como se implementa en el paquete de álgebra lineal ( LAPACK ). Estos resultados se factorizan aún más en la estructura L · D · L ^T con métodos dados por Golub y Van Loan (algoritmo 4.1.2) para una matriz simétrica no singular. ^{[ 49 ]} Cualquier matriz de covarianza singular se pivota de modo que la primera partición diagonal sea no singular y bien condicionada . El algoritmo de pivoteo debe retener cualquier porción de la matriz de covarianza de innovación que corresponda directamente a las variables de estado observadas H _k · x _k|k-1 que están asociadas con observaciones auxiliares en y _k . El filtro de raíz cuadrada l · d · l ^{t requiere} la ortogonalización del vector de observación. ^{[ 47 ] [ 48 ]} Esto puede hacerse con la raíz cuadrada inversa de la matriz de covarianza para las variables auxiliares utilizando el Método 2 en Higham (2002, p.  263). ^{[ 50 ]}

El filtro de Kalman es eficiente para el procesamiento secuencial de datos en unidades centrales de procesamiento (CPU), pero en su forma original es ineficiente en arquitecturas paralelas como las unidades de procesamiento gráfico (GPU). Sin embargo, es posible expresar la rutina de actualización del filtro en términos de un operador asociativo utilizando la formulación de Särkkä y García-Fernández (2021). ^{[ 51 ]} La solución del filtro se puede recuperar mediante el uso de un algoritmo de suma de prefijos que se puede implementar eficientemente en la GPU. ^{[ 52 ]} Esto reduce la complejidad computacional de${\displaystyle O(N)}$en el número de pasos de tiempo para${\displaystyle O(\log(N))}$.

El filtro de Kalman puede presentarse como una de las redes bayesianas dinámicas más simples . El filtro de Kalman calcula estimaciones de los valores reales de los estados de forma recursiva a lo largo del tiempo utilizando mediciones entrantes y un modelo de proceso matemático. De manera similar, la estimación bayesiana recursiva calcula estimaciones de una función de densidad de probabilidad (FDP) desconocida de forma recursiva a lo largo del tiempo utilizando mediciones entrantes y un modelo de proceso matemático. ^{[ 53 ]}

En la estimación bayesiana recursiva, se supone que el estado verdadero es un proceso de Markov no observado , y las mediciones son los estados observados de un modelo oculto de Markov (HMM).

Debido a la suposición de Markov , el estado verdadero es condicionalmente independiente de todos los estados anteriores dado el estado inmediatamente anterior.

${\displaystyle p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{0},\dots ,\mathbf {x} _{k-1})=p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1})}$

De manera similar, la medición en el k -ésimo paso de tiempo depende únicamente del estado actual y es condicionalmente independiente de todos los demás estados dado el estado actual.

${\displaystyle p(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{0},\dots ,\mathbf {x} _{k})=p(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k})}$

Utilizando estas suposiciones, la distribución de probabilidad sobre todos los estados del modelo oculto de Markov se puede escribir simplemente como:

${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{0},\dots ,\mathbf {x} _{k},\mathbf {z} _{1},\dots ,\mathbf {z} _{k}\right)=p\left(\mathbf {x} _{0}\right)\prod _{i=1}^{k}p\left(\mathbf {z} _{i}\mid \mathbf {x} _{i}\right)p\left(\mathbf {x} _{i}\mid \mathbf {x} _{i-1}\right)}$

Sin embargo, cuando se utiliza un filtro de Kalman para estimar el estado x , la distribución de probabilidad de interés es la asociada a los estados actuales condicionada a las mediciones hasta el instante actual. Esto se logra marginalizando los estados anteriores y dividiendo por la probabilidad del conjunto de mediciones.

Esto da como resultado que las fases de predicción y actualización del filtro de Kalman se escriban de forma probabilística. La distribución de probabilidad asociada al estado predicho es la suma (integral) de los productos de la distribución de probabilidad asociada a la transición del paso de tiempo ( k  −  1) al k y la distribución de probabilidad asociada al estado anterior, sobre todos los posibles${\displaystyle x_{k-1}}$.

${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)=\int p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1}\right)p\left(\mathbf {x} _{k-1}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)\,d\mathbf {x} _{k-1}}$

La configuración de medición hasta el tiempo t es

${\displaystyle \mathbf {Z} _{t}=\left\{\mathbf {z} _{1},\dots ,\mathbf {z} _{t}\right\}}$

La distribución de probabilidad de la actualización es proporcional al producto de la probabilidad de medición y el estado predicho.

${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k}\right)={\frac {p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)}{p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)}}}$

El denominador

${\displaystyle p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)=\int p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)\,d\mathbf {x} _{k}}$

es un término de normalización.

Las funciones de densidad de probabilidad restantes son

${\displaystyle {\begin{aligned}p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1}\right)&={\mathcal {N}}\left(\mathbf {F} _{k}\mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {B} _{k}\mathbf {u} _{k},\mathbf {Q} _{k}\right)\\p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)&={\mathcal {N}}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k},\mathbf {R} _{k}\right)\\p\left(\mathbf {x} _{k-1}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)&={\mathcal {N}}\left({\hat {\mathbf {x} }}_{k-1},\mathbf {P} _{k-1}\right)\end{aligned}}}$

Se asume inductivamente que la PDF en el paso de tiempo anterior es el estado y la covarianza estimados. Esto se justifica porque, como estimador óptimo, el filtro de Kalman aprovecha mejor las mediciones, por lo tanto, la PDF para${\displaystyle \mathbf {x} _{k}}$ dadas las mediciones${\displaystyle \mathbf {Z} _{k}}$es la estimación del filtro de Kalman.

En relación con la interpretación bayesiana recursiva descrita anteriormente, el filtro de Kalman puede considerarse un modelo generativo , es decir, un proceso para generar una secuencia de observaciones aleatorias z = (z₀, z₁ , z₂ , ... ₎ . _{Específicamente} , _el proceso es

1. Muestra un estado oculto${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$a partir de la distribución previa gaussiana${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{0}\right)={\mathcal {N}}\left({\hat {\mathbf {x} }}_{0\mid 0},\mathbf {P} _{0\mid 0}\right)}$.
2. Muestra una observación${\displaystyle \mathbf {z} _{0}}$del modelo de observación${\displaystyle p\left(\mathbf {z} _{0}\mid \mathbf {x} _{0}\right)={\mathcal {N}}\left(\mathbf {H} _{0}\mathbf {x} _{0},\mathbf {R} _{0}\right)}$.
3. Para${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$, hacer
   1. Muestra el siguiente estado oculto${\displaystyle \mathbf {x} _{k}}$del modelo de transición${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1}\right)={\mathcal {N}}\left(\mathbf {F} _{k}\mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {B} _{k}\mathbf {u} _{k},\mathbf {Q} _{k}\right).}$
   2. Muestra una observación${\displaystyle \mathbf {z} _{k}}$del modelo de observación${\displaystyle p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)={\mathcal {N}}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k},\mathbf {R} _{k}\right).}$

Este proceso tiene una estructura idéntica a la del modelo oculto de Markov , salvo que el estado discreto y las observaciones se sustituyen por variables continuas muestreadas a partir de distribuciones gaussianas.

En algunas aplicaciones, resulta útil calcular la probabilidad de que un filtro de Kalman con un conjunto determinado de parámetros (distribución a priori, modelos de transición y observación, y entradas de control) genere una señal observada específica. Esta probabilidad se conoce como verosimilitud marginal, ya que integra los valores de las variables de estado ocultas (o los marginaliza), por lo que puede calcularse utilizando únicamente la señal observada. La verosimilitud marginal puede ser útil para evaluar diferentes opciones de parámetros o para comparar el filtro de Kalman con otros modelos mediante la comparación bayesiana de modelos .

Es sencillo calcular la verosimilitud marginal como un efecto secundario del cálculo del filtrado recursivo. Por la regla de la cadena , la verosimilitud se puede factorizar como el producto de la probabilidad de cada observación dadas las observaciones anteriores,

${\displaystyle p(\mathbf {z} )=\prod _{k=0}^{T}p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {z} _{k-1},\ldots ,\mathbf {z} _{0}\right)}$,

y dado que el filtro de Kalman describe un proceso de Markov, toda la información relevante de observaciones anteriores está contenida en la estimación del estado actual.${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {P} _{k\mid k-1}.}$Por lo tanto, la probabilidad marginal viene dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}p(\mathbf {z} )&=\prod _{k=0}^{T}\int p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {z} _{k-1},\ldots ,\mathbf {z} _{0}\right)d\mathbf {x} _{k}\\&=\prod _{k=0}^{T}\int {\mathcal {N}}\left(\mathbf {z} _{k};\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k},\mathbf {R} _{k}\right){\mathcal {N}}\left(\mathbf {x} _{k};{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {P} _{k\mid k-1}\right)d\mathbf {x} _{k}\\&=\prod _{k=0}^{T}{\mathcal {N}}\left(\mathbf {z} _{k};\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {R} _{k}+\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\right)\\&=\prod _{k=0}^{T}{\mathcal {N}}\left(\mathbf {z} _{k};\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {S} _{k}\right),\end{aligned}}}$

es decir, un producto de densidades gaussianas, cada una correspondiente a la densidad de una observación z _k bajo la distribución de filtrado actual.${\displaystyle \mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {S} _{k}}$Esto se puede calcular fácilmente como una simple actualización recursiva; sin embargo, para evitar el desbordamiento negativo numérico , en una implementación práctica suele ser deseable calcular la verosimilitud marginal logarítmica.${\displaystyle \ell =\log p(\mathbf {z} )}$En cambio, adoptando la convención${\displaystyle \ell ^{(-1)}=0}$Esto se puede hacer mediante la regla de actualización recursiva.

${\displaystyle \ell ^{(k)}=\ell ^{(k-1)}-{\frac {1}{2}}\left({\tilde {\mathbf {y} }}_{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1}{\tilde {\mathbf {y} }}_{k}+\log \left|\mathbf {S} _{k}\right|+d_{y}\log 2\pi \right),}$

dónde${\displaystyle d_{y}}$es la dimensión del vector de medición. ^{[ 54 ]}

Una aplicación importante donde se utiliza la probabilidad (logarítmica) de las observaciones (dados los parámetros del filtro) es el seguimiento de múltiples objetivos. Por ejemplo, consideremos un escenario de seguimiento de objetos donde la entrada es un flujo de observaciones, pero se desconoce cuántos objetos hay en la escena (o bien, se conoce el número de objetos, pero es mayor que uno). En tal escenario, puede ser desconocido a priori qué observaciones/mediciones fueron generadas por cada objeto. Un rastreador de hipótesis múltiples (MHT) normalmente formula diferentes hipótesis de asociación de trayectorias, donde cada hipótesis puede considerarse como un filtro de Kalman (para el caso gaussiano lineal) con un conjunto específico de parámetros asociados al objeto hipotetizado. Por lo tanto, es importante calcular la probabilidad de las observaciones para las diferentes hipótesis consideradas, de modo que se pueda encontrar la más probable.

En los casos en que la dimensión del vector de observación y es mayor que la dimensión del vector de espacio de estado x , el filtro de información puede evitar la inversión de una matriz más grande en el cálculo de la ganancia de Kalman a costa de invertir una matriz más pequeña en el paso de predicción, ahorrando así tiempo de computación. Además, el filtro de información permite la inicialización de la información del sistema de acuerdo con${\displaystyle {I_{1|0}=P_{1|0}^{-1}=0}}$, lo cual no sería posible para el filtro de Kalman regular. ^{[ 55 ]} En el filtro de información, o filtro de covarianza inversa, la covarianza estimada y el estado estimado se reemplazan por la matriz de información y el vector de información , respectivamente. Estos se definen como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{k\mid k}&=\mathbf {P} _{k\mid k}^{-1}\\{\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k}&=\mathbf {P} _{k\mid k}^{-1}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\end{aligned}}}$

De manera similar, la covarianza y el estado predichos tienen formas de información equivalentes, definidas como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{k\mid k-1}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}^{-1}\\{\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k-1}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}^{-1}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\end{aligned}}}$

y la covarianza de medición y el vector de medición, que se definen como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {I} _{k}&=\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {R} _{k}^{-1}\mathbf {H} _{k}\\\mathbf {i} _{k}&=\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {R} _{k}^{-1}\mathbf {z} _{k}\end{aligned}}}$

La actualización de la información ahora se convierte en una suma insignificante. ^{[ 56 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{k\mid k}&=\mathbf {Y} _{k\mid k-1}+\mathbf {I} _{k}\\{\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k}&={\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {i} _{k}\end{aligned}}}$

La principal ventaja del filtro de información es que se pueden filtrar N mediciones en cada paso de tiempo simplemente sumando sus matrices y vectores de información.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{k\mid k}&=\mathbf {Y} _{k\mid k-1}+\sum _{j=1}^{N}\mathbf {I} _{k,j}\\{\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k}&={\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k-1}+\sum _{j=1}^{N}\mathbf {i} _{k,j}\end{aligned}}}$

Para predecir el filtro de información, la matriz y el vector de información se pueden convertir de nuevo a sus equivalentes en el espacio de estados, o bien se puede utilizar la predicción del espacio de información. ^{[ 56 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} _{k}&=\left[\mathbf {F} _{k}^{-1}\right]^{\textsf {T}}\mathbf {Y} _{k-1\mid k-1}\mathbf {F} _{k}^{-1}\\\mathbf {C} _{k}&=\mathbf {M} _{k}\left[\mathbf {M} _{k}+\mathbf {Q} _{k}^{-1}\right]^{-1}\\\mathbf {L} _{k}&=\mathbf {I} -\mathbf {C} _{k}\\\mathbf {Y} _{k\mid k-1}&=\mathbf {L} _{k}\mathbf {M} _{k}+\mathbf {C} _{k}\mathbf {Q} _{k}^{-1}\mathbf {C} _{k}^{\textsf {T}}\\{\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k-1}&=\mathbf {L} _{k}\left[\mathbf {F} _{k}^{-1}\right]^{\textsf {T}}{\hat {\mathbf {y} }}_{k-1\mid k-1}\end{aligned}}}$