Estimación bayesiana recursiva

En teoría de la probabilidad , estadística y aprendizaje automático , la estimación bayesiana recursiva , también conocida como filtro bayesiano , es un enfoque probabilístico general para estimar una función de densidad de probabilidad ( FDP ) desconocida de forma recursiva a lo largo del tiempo, utilizando mediciones entrantes y un modelo de proceso matemático. Este proceso se basa en gran medida en conceptos y modelos matemáticos que se teorizan dentro del estudio de probabilidades a priori y a posteriori, conocido como estadística bayesiana .

Un filtro de Bayes es un algoritmo utilizado en informática para calcular las probabilidades de múltiples creencias, lo que permite a un robot inferir su posición y orientación. Básicamente, los filtros de Bayes permiten a los robots actualizar continuamente su posición más probable dentro de un sistema de coordenadas, basándose en los datos de los sensores adquiridos más recientemente. Este es un algoritmo recursivo. Consta de dos partes: predicción e innovación. Si las variables siguen una distribución normal y las transiciones son lineales, el filtro de Bayes se vuelve equivalente al filtro de Kalman .

En un ejemplo sencillo, un robot que se desplaza por una cuadrícula puede contar con varios sensores que le proporcionan información sobre su entorno. El robot puede comenzar con la certeza de estar en la posición (0,0). Sin embargo, a medida que se aleja de su posición original, su certeza sobre su ubicación disminuye progresivamente. Mediante un filtro bayesiano, se puede asignar una probabilidad a la creencia del robot sobre su posición actual, y dicha probabilidad se puede actualizar continuamente con información adicional de los sensores.

Las medidas${\displaystyle z}$son las manifestaciones de un modelo oculto de Markov (HMM), lo que significa el estado verdadero${\displaystyle x}$Se supone que es un proceso de Markov no observado . La siguiente imagen presenta una red bayesiana de un HMM.

Debido a la suposición de Markov, la probabilidad del estado verdadero actual dado el estado inmediatamente anterior es condicionalmente independiente de los demás estados anteriores.

${\displaystyle p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {x}}_{k-1},{\textbf {x}}_{k-2},\dots,{\textbf {x}}_{0})=p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {x}}_{k-1})}$

De manera similar, la medición en el k -ésimo paso de tiempo depende únicamente del estado actual, por lo que es condicionalmente independiente de todos los demás estados dado el estado actual.

${\displaystyle p({\textbf {z}}_{k}|{\textbf {x}}_{k},{\textbf {x}}_{k-1},\dots,{\textbf {x}}_{0})=p({\textbf {z}}_{k}|{\textbf {x}}_{k})}$

Utilizando estas suposiciones, la distribución de probabilidad sobre todos los estados del HMM se puede escribir simplemente como

${\displaystyle p({\textbf {x}}_{0},\dots ,{\textbf {x}}_{k},{\textbf {z}}_{1},\dots ,{\textbf {z}}_{k})=p({\textbf {x}}_{0})\prod _{i=1}^{k}p({\textbf {z}}_{i}|{\textbf {x}}_{i})p({\textbf {x}}_{i}|{\textbf {x}}_{i-1}).}$

Sin embargo, al utilizar el filtro de Kalman para estimar el estado x , la distribución de probabilidad de interés se asocia con los estados actuales condicionados a las mediciones hasta el paso de tiempo actual. (Esto se logra marginalizando los estados anteriores y dividiendo por la probabilidad del conjunto de mediciones).

Esto lleva a los pasos de predicción y actualización del filtro de Kalman escritos probabilísticamente. La distribución de probabilidad asociada con el estado predicho es la suma (integral) de los productos de la distribución de probabilidad asociada con la transición del paso de tiempo ( k -1) al k -ésimo y la distribución de probabilidad asociada con el estado anterior, sobre todos los posibles${\displaystyle x_{k-1}}$.

${\displaystyle p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {z}}_{1:k-1})=\int p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {x}}_{k-1})p({\textbf {x}}_{k-1}|{\textbf {z}}_{1:k-1})\,d{\textbf {x}}_{k-1}}$

La distribución de probabilidad de actualización es proporcional al producto de la probabilidad de medición y el estado predicho.

${\displaystyle p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {z}}_{1:k})={\frac {p({\textbf {z}}_{k}|{\textbf {x}}_{k})p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {z}}_{1:k-1})}{p({\textbf {z}}_{k}|{\textbf {z}}_{1:k-1})}}\propto p({\textbf {z}}_{k}|{\textbf {x}}_{k})p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {z}}_{1:k-1})}$

El denominador

${\displaystyle p({\textbf {z}}_{k}|{\textbf {z}}_{1:k-1})=\int p({\textbf {z}}_{k}|{\textbf {x}}_{k})p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {z}}_{1:k-1})d{\textbf {x}}_{k}}$

es constante en relación con${\displaystyle x}$, por lo que siempre podemos sustituirlo por un coeficiente${\displaystyle \alpha }$, que en la práctica suele ignorarse. El numerador se puede calcular y luego simplemente normalizar, ya que su integral debe ser igual a la unidad.

• Filtro de Kalman , un filtro bayesiano recursivo para distribuciones normales multivariadas.
• Filtro de partículas , una técnica basada en Monte Carlo secuencial (SMC), que modela la PDF utilizando un conjunto de puntos discretos.
• Estimadores basados ​​en cuadrícula , que subdividen la PDF en una cuadrícula discreta determinista.

El filtrado bayesiano secuencial es una extensión de la estimación bayesiana para el caso en que el valor observado cambia con el tiempo. Es un método para estimar el valor real de una variable observada que evoluciona en el tiempo.

Existen varias variantes:

filtración

al estimar el valor actual dadas las observaciones pasadas y actuales,

alisado

al estimar valores pasados ​​a partir de observaciones pasadas y actuales, y

predicción

al estimar un valor futuro probable a partir de observaciones pasadas y presentes.

El concepto de filtrado bayesiano secuencial se utiliza ampliamente en control y robótica .

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• Burkhart, Michael C. (2019). "Capítulo 1. Una visión general del filtrado bayesiano". Un enfoque discriminativo del filtrado bayesiano con aplicaciones a la decodificación neuronal humana . Providence, RI, EE. UU.: Universidad de Brown. doi : 10.26300/nhfp-xv22 .
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