Problema de suavizado (procesos estocásticos)

El problema de suavizado (que no debe confundirse con el suavizado en estadística , procesamiento de imágenes y otros contextos) consiste en estimar una función de densidad de probabilidad desconocida de forma recursiva a lo largo del tiempo utilizando mediciones incrementales. Es uno de los principales problemas definidos por Norbert Wiener . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Un suavizador es un algoritmo que implementa una solución a este problema, generalmente basada en la estimación bayesiana recursiva . El problema de suavizado está estrechamente relacionado con el problema de filtrado , ambos estudiados en la teoría del suavizado bayesiano.

Un suavizador suele ser un proceso de dos pasadas, compuesto por pasadas hacia adelante y hacia atrás. Consideremos la estimación (predicción/retrodicción) de un proceso en curso (por ejemplo, el seguimiento de un misil) a partir de observaciones entrantes. Cuando llegan nuevas observaciones, las estimaciones pasadas deben actualizarse para obtener una estimación más suave (más precisa) de toda la trayectoria estimada hasta el momento (teniendo en cuenta las nuevas observaciones). Sin una pasada hacia atrás (para la retrodicción ), la secuencia de predicciones en un algoritmo de filtrado en línea no parece suave. En otras palabras, retrospectivamente, es como si usáramos observaciones futuras para mejorar la estimación de un punto en el pasado, cuando esas observaciones sobre puntos futuros estén disponibles. Cabe señalar que el momento de la estimación (que determina qué observaciones están disponibles) puede ser diferente del momento del punto sobre el que se realiza la predicción (es decir, sujeto a predicción/retrodicción). Las observaciones sobre momentos posteriores pueden usarse para actualizar y mejorar las estimaciones sobre momentos anteriores. Esto da como resultado estimaciones (retrodicción) más suaves sobre toda la trayectoria.

Algunas variantes incluyen: ^{[ 3 ]}

• Rauch-Tung-Striebel (RTS) más suave
• Suavizadores gaussianos (por ejemplo, suavizador de Kalman extendido o suavizadores de puntos sigma) para modelos de espacio de estados no lineales.
• Suavizadores de partículas

Los términos Suavizado y Filtrado se utilizan para cuatro conceptos que inicialmente pueden resultar confusos: Suavizado (en dos sentidos: estimación y convolución) y Filtrado (nuevamente en dos sentidos: estimación y convolución).

Aunque en inglés se denominan de la misma forma, el suavizado (estimación) y el suavizado (convolución) pueden referirse a procedimientos matemáticos totalmente diferentes. Los requisitos de los problemas que resuelven son distintos. Estos conceptos se diferencian por el contexto (procesamiento de señales frente a estimación de procesos estocásticos).

La razón histórica de esta confusión radica en que, inicialmente, el filtro de "suavizado" propuesto por Wiener era simplemente una convolución. Posteriormente, sus soluciones para obtener una estimación más suave dividieron el desarrollo en dos conceptos distintos. Uno consistía en lograr una estimación más suave teniendo en cuenta observaciones pasadas, y el otro en suavizar mediante el diseño de un filtro (diseño de un filtro de convolución).

Tanto el problema de suavizado (en el sentido de estimación) como el problema de filtrado (en el sentido de estimación) suelen confundirse con el suavizado y el filtrado en otros contextos (especialmente en el procesamiento de señales no estocásticas, donde a menudo se hace referencia a diversos tipos de convolución). Estos nombres se utilizan en el contexto de la Segunda Guerra Mundial con problemas planteados por personas como Norbert Wiener . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Una fuente de confusión es que el filtro de Wiener tiene la forma de una convolución simple. Sin embargo, en el filtro de Wiener, se dan dos series temporales. Cuando se define el filtro, una convolución directa es la respuesta. No obstante, en desarrollos posteriores, como el filtrado de Kalman, la naturaleza del filtrado difiere de la convolución y justifica un nombre diferente.

La distinción se describe en los dos sentidos siguientes:

1. Convolución: El suavizado mediante convolución es más sencillo. Por ejemplo, la media móvil, el filtrado de paso bajo, la convolución con un núcleo o el desenfoque mediante filtros de Laplace en el procesamiento de imágenes . A menudo se trata de un problema de diseño de filtros , especialmente en el procesamiento de señales no estocásticas y no bayesianas, sin variables ocultas.

2. Estimación: El problema de suavizado (o suavizado en el sentido de estimación) utiliza modelos bayesianos y de espacio de estados para estimar las variables de estado ocultas. Esto se utiliza en el contexto de la Segunda Guerra Mundial, definido por personas como Norbert Wiener, en la teoría de control (estocástico), radar, detección de señales, seguimiento, etc. El uso más común es el suavizador de Kalman utilizado con el filtro de Kalman, que fue desarrollado por Rauch. El procedimiento se llama recursión de Kalman-Rauch. Es uno de los principales problemas resueltos por Norbert Wiener . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Lo más importante es que, en el problema de filtrado (sentido 2), se utiliza la información de la observación hasta el momento de la muestra actual. En el suavizado (también sentido 2), se utilizan todas las muestras de observación (del futuro). El filtrado es causal, pero el suavizado es un procesamiento por lotes del mismo problema, es decir, la estimación de un proceso de serie temporal basado en observaciones incrementales seriales.

Pero el suavizado y filtrado usuales y más comunes (en el sentido de 1.) no tienen tal distinción porque no hay distinción entre oculto y observable.

La distinción entre suavizado (estimación) y filtrado (estimación): En el suavizado, se utilizan todas las muestras de observación (del futuro). El filtrado es causal, mientras que el suavizado es un procesamiento por lotes de los datos dados. El filtrado es la estimación de un proceso de serie temporal (oculto) basado en observaciones incrementales en serie.

• Problema de filtrado
• Filtro (procesamiento de señales)
• El filtro de Kalman es un algoritmo de filtrado muy conocido relacionado tanto con el problema de filtrado como con el problema de suavizado.
• Filtrado generalizado
• Suavizado