Problema de filtrado (procesos estocásticos)

En la teoría de procesos estocásticos , el filtrado describe el problema de determinar el estado de un sistema a partir de un conjunto de observaciones incompleto y potencialmente ruidoso . Por ejemplo, en la navegación GPS, el filtrado ayuda a estimar la posición real de un automóvil (el estado) a partir de señales satelitales ruidosas (las observaciones). Si bien originalmente surgió a raíz de problemas de ingeniería, el filtrado ha encontrado aplicaciones en muchos campos, desde el procesamiento de señales hasta las finanzas.

El problema del filtrado no lineal óptimo (incluso para el caso no estacionario) fue resuelto por Ruslan L. Stratonovich (1959, ^{[ 1 ]} 1960 ^{[ 2 ]} ), véase también el trabajo de Harold J. Kushner ^{[ 3 ]} y el de Moshe Zakai , quien introdujo una dinámica simplificada para la ley condicional no normalizada del filtro ^{[ 4 ]} conocida como la ecuación de Zakai . Sin embargo, la solución es de dimensión infinita en el caso general. ^{[ 5 ]} Ciertas aproximaciones y casos especiales se comprenden bien: por ejemplo, los filtros lineales son óptimos para variables aleatorias gaussianas y se conocen como el filtro de Wiener y el filtro de Kalman-Bucy . De manera más general, como la solución es de dimensión infinita, requiere aproximaciones de dimensión finita para ser implementadas en una computadora con memoria finita. Un filtro no lineal aproximado de dimensión finita puede basarse más en heurísticas, como el filtro de Kalman extendido o los filtros de densidad supuesta, ^{[ 6 ]} o estar más orientado metodológicamente, como por ejemplo los filtros de proyección , ^{[ 7 ]} algunas de cuyas subfamilias se ha demostrado que coinciden con los filtros de densidad supuesta. ^{[ 8 ]} Los filtros de partículas ^{[ 9 ]} son ​​otra opción para abordar el problema del filtrado de dimensión infinita y se basan en métodos secuenciales de Monte Carlo.

En general, si se aplica el principio de separación , el filtrado también surge como parte de la solución de un problema de control óptimo . Por ejemplo, el filtro de Kalman es la parte de estimación de la solución de control óptimo para el problema de control lineal-cuadrático-gaussiano .

Consideremos un espacio de probabilidad (Ω,  Σ, P ) y supongamos que el estado (aleatorio) Y _t en el espacio euclidiano n - dimensional R ⁿ de un sistema de interés en el instante t es una variable aleatoria Y _t : Ω → R ⁿ dada por la solución de una ecuación diferencial estocástica de Itō de la forma     

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}=b(t,Y_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (t,Y_{t})\,\mathrm {d} B_{t},}$

donde B denota el movimiento browniano estándar p -dimensional , b : [0, +∞) × R ⁿ → R ⁿ es el campo de deriva, y σ : [0, +∞) × R ⁿ → R ^{n × p} es el campo de difusión. Se supone que las observaciones H _t en R ^m (nótese que m y n pueden, en general, ser desiguales) se toman para cada tiempo t de acuerdo con              

${\displaystyle H_{t}=c(t,Y_{t})+\gamma (t,Y_{t})\cdot {\mbox{ruido}}.}$

Adoptando la interpretación de Itō del diferencial estocástico y estableciendo

${\displaystyle Z_{t}=\int _{0}^{t}H_{s}\,\mathrm {d} s,}$

Esto da como resultado la siguiente representación integral estocástica para las observaciones Z _t :

${\displaystyle \mathrm {d} Z_{t}=c(t,Y_{t})\,\mathrm {d} t+\gamma (t,Y_{t})\,\mathrm {d} W_{t},}$

donde W denota el movimiento browniano estándar r -dimensional , independiente de B y de la condición inicial Y ₀ , y c : [0, +∞) × R ⁿ → R ⁿ y γ : [0, +∞) × R ⁿ → R ^{n × r} satisfacen              

${\displaystyle {\big |}c(t,x){\big |}+{\big |}\gamma (t,x){\big |}\leq C{\big (}1+|x|{\big )}}$

para todo t y x y alguna constante C.

El problema de filtrado es el siguiente: dadas las observaciones Z _s para 0  ≤ s ≤ t , ¿cuál es la mejor estimación Ŷ _t del estado verdadero Y _t del sistema basándose en esas observaciones?   

Por "basándonos en esas observaciones" se entiende que Ŷ _t es medible con respecto al σ -álgebra G _t generada por las observaciones Z _s , 0  ≤ s ≤ t . Denotemos por K = K ( Z , t ) el conjunto de todas las variables aleatorias Y con valores en R ⁿ que son de cuadrado integrable y G _t- medibles:      

${\displaystyle K=K(Z,t)=L^{2}(\Omega,G_{t},\mathbf {P}$ ;\mathbf {R} ^{n}).}

Por "mejor estimación" se entiende que Ŷ _t minimiza la distancia cuadrática media entre Y _t y todos los candidatos en K :

${\displaystyle \mathbf {E} \left[{\big |}Y_{t}-{\hat {Y}}_{t}{\big |}^{2}\right]=\inf _{Y\in K}\mathbf {E} \left[{\big |}Y_{t}-Y{\big |}^{2}\right].\qquad {\mbox{(M)}}}$

El espacio K ( Z , t ) de candidatos es un espacio de Hilbert , y la teoría general de los espacios de Hilbert implica que la solución Ŷ _t del problema de minimización (M) viene dada por 

${\displaystyle {\hat {Y}}_{t}=P_{K(Z,t)}{\big (}Y_{t}{\big )},}$

donde P _{K ( Z , t )} denota la proyección ortogonal de L ² (Ω,  Σ, P ; R ⁿ ) sobre el subespacio lineal K ( Z , t ) = L ² (Ω, G _t , P ; R ⁿ ). Además, es un hecho general sobre las esperanzas condicionales que si F es cualquier sub- σ -álgebra de Σ entonces la proyección ortogonal        

${\displaystyle P_{K}:L^{2}(\Omega ,\Sigma ,\mathbf {P}$ ;\mathbf {R} ^{n})\to L^{2}(\Omega ,F,\mathbf {P}  ;\mathbf {R} ^{n})}

es exactamente el operador de expectativa condicional E [·| F ], es decir,

${\displaystyle P_{K}(X)=\mathbf {E} {\big [}X{\big |}F{\big ]}.}$

Por eso,

${\displaystyle {\hat {Y}}_{t}=P_{K(Z,t)}{\big (}Y_{t}{\big )}=\mathbf {E} {\big [}Y_{t}{\big |}G_{t}{\big ]}.}$

Este resultado elemental constituye la base de la ecuación general de Fujisaki-Kallianpur-Kunita de la teoría de filtrado.

El conocimiento completo del filtro en un instante t estaría dado por la ley de probabilidad de la señal Y _t ​​condicionada al campo sigma G _t generado por las observaciones Z hasta el instante t . Si esta ley de probabilidad admite una densidad, informalmente

${\displaystyle p_{t}(y)\ dy={\bf {P}}(Y_{t}\in dy|G_{t}),}$

entonces bajo ciertas suposiciones de regularidad la densidad${\displaystyle p_{t}(y)}$satisface una ecuación diferencial parcial estocástica no lineal (SPDE) impulsada por${\displaystyle dZ_{t}}$y denominada ecuación de Kushner-Stratonovich , ^{[ 10 ]} o una versión no normalizada.${\displaystyle q_{t}(y)}$de la densidad${\displaystyle p_{t}(y)}$satisface una SPDE lineal llamada ecuación de Zakai . ^{[ 10 ]} Estas ecuaciones pueden formularse para el sistema anterior, pero para simplificar la exposición se puede suponer que la señal no observada Y y la señal ruidosa parcialmente observada Z satisfacen las ecuaciones

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}=b(t,Y_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (t,Y_{t})\,\mathrm {d} B_{t},}$

${\displaystyle \mathrm {d} Z_{t}=c(t,Y_{t})\,\mathrm {d} t+\mathrm {d} W_{t}.}$

En otras palabras, el sistema se simplifica al suponer que el ruido de observación W no depende del estado.

Se podría mantener un tiempo determinista dependiente${\displaystyle \gamma }$delante de${\displaystyle dW}$pero suponemos que esto se ha eliminado mediante el reescalado.

Para este sistema en particular, la SPDE de Kushner-Stratnonovich para la densidad${\displaystyle p_{t}}$lecturas

${\displaystyle \mathrm {d} p_{t}={\cal {L}}_{t}^{*}p_{t}\ dt+p_{t}[c(t,\cdot )-E_{p_{t}}(c(t,\cdot ))]^{T}[dZ_{t}-E_{p_{t}}(c(t,\cdot ))dt]}$

donde T denota transposición,${\displaystyle E_{p}}$denota la esperanza con respecto a la densidad p , ${\displaystyle E_{p}[f]=\int f(y)p(y)dy,}$ y el operador de difusión directa${\displaystyle {\cal {L}}_{t}^{*}}$es

${\displaystyle {\cal {L}}_{t}^{*}f(t,y)=-\sum _{i}{\frac {\partial }{\partial y_{i}}}[b_{i}(t,y)f(t,y)]+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y_{i}\partial y_{j}}}[a_{ij}(t,y)f(t,y)]}$

dónde${\displaystyle a=\sigma \sigma ^{T}}$Si elegimos la densidad no normalizada${\displaystyle q_{t}(y)}$, el SPDE de Zakai para el mismo sistema dice

${\displaystyle \mathrm {d} q_{t}={\cal {L}}_{t}^{*}q_{t}\ dt+q_{t}[c(t,\cdot )]^{T}dZ_{t}.}$

Estas SPDE para p y q están escritas en forma de cálculo de Ito. Es posible escribirlas en forma de cálculo de Stratonovich, lo que resulta útil al derivar aproximaciones de filtrado basadas en geometría diferencial , como en los filtros de proyección. Por ejemplo, la ecuación de Kushner-Stratonovich escrita en cálculo de Stratonovich es:

${\displaystyle dp_{t}={\cal {L}}_{t}^{\ast }\,p_{t}\,dt-{\frac {1}{2}}\,p_{t}\,[\vert c(\cdot ,t)\vert ^{2}-E_{p_{t}}(\vert c(\cdot ,t)\vert ^{2})]\,dt+p_{t}\,[c(\cdot ,t)-E_{p_{t}}(c(\cdot ,t))]^{T}\circ dZ_{t}\ .}$

A partir de cualquiera de las densidades p y q se pueden calcular todas las estadísticas de la señal Y _t ​​condicionadas al campo sigma generado por las observaciones Z hasta el tiempo t , de modo que las densidades proporcionen un conocimiento completo del filtro. Bajo las suposiciones particulares de linealidad constante con respecto a Y , donde los coeficientes del sistema b y c son funciones lineales de Y y donde${\displaystyle \sigma }$y${\displaystyle \gamma }$no dependen de Y , siendo la condición inicial para la señal Y gaussiana o determinista, la densidad${\displaystyle p_{t}(y)}$es gaussiana y puede caracterizarse por su media y matriz de varianza-covarianza, cuya evolución se describe mediante el filtro de Kalman-Bucy , que es de dimensión finita. ^{[ 10 ]} De manera más general, la evolución de la densidad del filtro ocurre en un espacio de funciones de dimensión infinita , ^{[ 5 ]} y debe aproximarse mediante una aproximación de dimensión finita, como se insinuó anteriormente.

• El problema del suavizado , estrechamente relacionado con el problema del filtrado.
• Filtro (procesamiento de señales)
• El filtro de Kalman , un conocido algoritmo de filtrado para sistemas lineales, está relacionado tanto con el problema de filtrado como con el problema de suavizado.
• Filtro de Kalman extendido , una extensión del filtro de Kalman a sistemas no lineales.
• Suavizado
• Filtros de proyección
• Filtros de partículas
• Asimilación de datos , una clase de métodos estrechamente relacionados (y a menudo idénticos) al filtrado.

• Jazwinski, Andrew H. (1970). Procesos estocásticos y teoría del filtrado . Nueva York: Academic Press. ISBN 0-12-381550-9.
• Øksendal, Bernt K. (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones (Sexta  ed.). Berlín: Springer. ISBN 3-540-04758-1.(Véase la sección 6.1)