Principio de separación

En la teoría de control , un principio de separación , más formalmente conocido como principio de separación de estimación y control , establece que, bajo ciertas suposiciones, el problema de diseñar un controlador de retroalimentación óptimo para un sistema estocástico se puede resolver diseñando un observador óptimo para el estado del sistema, que alimenta un controlador determinista óptimo para el sistema. De este modo, el problema se puede dividir en dos partes separadas, lo que facilita el diseño.

El primer ejemplo de un principio de este tipo se da en el contexto de sistemas lineales deterministas, es decir, si se diseñan un observador estable y una retroalimentación de estado estable para un sistema lineal invariante en el tiempo (sistema LTI en adelante), entonces el observador y la retroalimentación combinados son estables . El principio de separación no se cumple en general para sistemas no lineales.

Otro ejemplo del principio de separación surge en el contexto de sistemas estocásticos lineales, a saber, que la estimación de estado (posiblemente no lineal) junto con un controlador de retroalimentación de estado óptimo diseñado para minimizar un costo cuadrático, es óptimo para el problema de control estocástico con mediciones de salida. Cuando el ruido de proceso y de observación son gaussianos, la solución óptima se separa en un filtro de Kalman y un regulador lineal-cuadrático . Esto se conoce como control lineal-cuadrático-gaussiano . De manera más general, en condiciones adecuadas y cuando el ruido es una martingala (con posibles saltos), nuevamente se aplica un principio de separación y se conoce como el principio de separación en el control estocástico . ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6]}

El principio de separación también se aplica a los observadores de alta ganancia utilizados para la estimación del estado de una clase de sistemas no lineales ^[7] y el control de sistemas cuánticos.

Consideremos un sistema LTI determinista:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle u(t)}$representa la señal de entrada,

${\displaystyle y(t)}$representa la señal de salida, y

${\estilo de visualización x(t)}$Representa el estado interno del sistema.

Podemos diseñar un observador de la forma

${\displaystyle {\dot {\hat {x}}}=(A-LC){\hat {x}}+Bu+Ly\,}$

y retroalimentación del estado

${\displaystyle u(t)=-K{\hat {x}}\,.}$

Definir el error e :

${\displaystyle e=x-{\hat {x}}\,.}$

Entonces

${\displaystyle {\dot {e}}=(A-LC)e\,}$

${\displaystyle u(t)=-K(xe)\,.}$

Ahora podemos escribir la dinámica de bucle cerrado como

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\punto {x}}\\{\punto {e}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A-BK&BK\\0&A-LC\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\e\\\end{bmatrix}}.}$

Dado que se trata de una matriz triangular , los valores propios son solo los de A  −  BK junto con los de A  −  LC . ^[8] Por lo tanto, la estabilidad del observador y la retroalimentación son independientes .

• Brezinski, Claude. Aspectos computacionales del control lineal (Métodos numéricos y algoritmos) . Springer, 2002.