Filtros de proyección

Esta es una derivación tanto del filtro inicial en la métrica de Hellinger/Fisher esbozado por Hanzon ^{[ 9 ]} y desarrollado completamente por Brigo, Hanzon y LeGland, ^{[ 10 ] [ 2 ]} y el filtro de proyección posterior en la métrica L2 directa por Armstrong y Brigo (2016). ^{[ 6 ]}

Se supone que la señal aleatoria no observada${\displaystyle X_{t}\in \mathbb {R} ^{m}}$se modela mediante la ecuación diferencial estocástica de Ito :

${\displaystyle dX_{t}=f(X_{t},t)\,dt+\sigma (X_{t},t)\,dW_{t}}$

donde f y${\displaystyle \sigma \,dW}$son ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$valorado y${\displaystyle W_{t}}$es un movimiento browniano . Se asumirá la validez de todas las condiciones de regularidad necesarias para que los resultados se mantengan, cuyos detalles se proporcionan en las referencias. El proceso de observación ruidoso asociado${\displaystyle Y_{t}\in \mathbb {R} ^{d}}$es modelado por

${\displaystyle dY_{t}=b(X_{t},t)\,dt+dV_{t}}$

dónde${\displaystyle b}$es ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$valorado y${\displaystyle V_{t}}$es un movimiento browniano independiente de${\displaystyle W_{t}}$Como se insinuó anteriormente, el filtro completo es la distribución condicional de${\displaystyle X_{t}}$dado un prior para${\displaystyle X_{0}}$ y la historia de${\displaystyle Y}$hasta el momento${\displaystyle t}$. Si esta distribución tiene una densidad descrita informalmente como

${\displaystyle p_{t}(x)dx=Prob\{X_{t}\in dx|\sigma (Y_{s},s\leq t)\}}$

dónde${\displaystyle \sigma (Y_{s},s\leq t)}$es el campo sigma generado por el historial de observaciones ruidosas${\displaystyle Y}$hasta el momento${\displaystyle t}$, en condiciones técnicas adecuadas la densidad${\displaystyle p_{t}}$Satisface la ecuación diferencial parcial estocástica de Kushner-Stratnonovich:

${\displaystyle dp_{t}={\cal {L}}_{t}^{*}p_{t}\ dt+p_{t}[b(\cdot ,t)-E_{p_{t}}(b(\cdot ,t))]^{T}[dY_{t}-E_{p_{t}}(b(\cdot ,t))dt]}$

dónde${\displaystyle E_{p}}$es la expectativa ${\displaystyle E_{p}[h]=\int h(x)p(x)dx,}$ y el operador de difusión directa${\displaystyle {\cal {L}}_{t}^{*}}$es

${\displaystyle {\cal {L}}_{t}^{*}p=-\sum _{i=1}^{m}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}[f_{i}(x,t)p_{t}(x)]+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{m}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}[a_{ij}(x,t)p_{t}(x)]}$

dónde${\displaystyle a=\sigma \sigma ^{T}}$y${\displaystyle T}$denota transposición. Para derivar la primera versión de los filtros de proyección, es necesario colocar el ${\displaystyle p_{t}}$SPDE en forma de Stratonovich. Se obtiene

${\displaystyle dp_{t}={\cal {L}}_{t}^{\ast }\,p_{t}\,dt-{\frac {1}{2}}\,p_{t}\,[\vert b(\cdot ,t)\vert ^{2}-E_{p_{t}}\{\vert b(\cdot ,t)\vert ^{2}\}]\,dt+p_{t}\,[b(\cdot ,t)-E_{p_{t}}\{b(\cdot ,t)\}]^{T}\circ dY_{t}\ .}$

Mediante la regla de la cadena, es inmediato derivar la SPDE para${\displaystyle d{\sqrt {p_{t}}}}$Para abreviar la notación, se puede reescribir esta última SPDE como ${\displaystyle dp=F(p)\,dt+G^{T}(p)\circ dY\ ,}$

donde los operadores${\displaystyle F(p)}$y${\displaystyle G^{T}(p)}$se definen como

${\displaystyle F(p)={\cal {L}}_{t}^{\ast }\,p\,-{\frac {1}{2}}\,p\,[\vert b(\cdot ,t)\vert ^{2}-E_{p}\{\vert b(\cdot ,t)\vert ^{2}\}],}$

${\displaystyle G^{T}(p)=p\,[b(\cdot ,t)-E_{p}\{b(\cdot ,t)\}]^{T}.}$

La versión de raíz cuadrada es ${\displaystyle d{\sqrt {p}}={\frac {1}{2{\sqrt {p}}}}[F(p)\,dt+G^{T}(p)\circ dY]\ .}$

Se trata de ecuaciones diferenciales parciales estocásticas de Stratonovich cuyas soluciones evolucionan en espacios funcionales de dimensión infinita. Por ejemplo${\displaystyle p_{t}}$puede evolucionar en${\displaystyle L^{2}}$(métrica directa)${\displaystyle d_{2}}$)

${\displaystyle d_{2}(p_{1},p_{2})=\Vert p_{1}-p_{2}\Vert \ ,\ \ p_{1,2}\in L^{2}}$

o${\displaystyle {\sqrt {p_{t}}}}$puede evolucionar en${\displaystyle L^{2}}$(Métrica de Hellinger)${\displaystyle d_{H}}$)

${\displaystyle d_{H}({\sqrt {p_{1}}},{\sqrt {p_{2}}})=\Vert {\sqrt {p_{1}}}-{\sqrt {p_{2}}}\Vert ,\ \ \ p_{1,2}\in L^{1}}$

dónde${\displaystyle \Vert \cdot \Vert }$es la norma del espacio de Hilbert${\displaystyle L^{2}}$. En todo caso,${\displaystyle p_{t}}$(o${\displaystyle {\sqrt {p_{t}}}}$) no evolucionará dentro de ninguna familia de densidades de dimensión finita,

${\displaystyle S_{\Theta }=\{p(\cdot ,\theta ),\ \theta \in \Theta \subset \mathbb {R} ^{n}\}\ (or\ S_{\Theta }^{1/2}=\{{\sqrt {p(\cdot ,\theta )}},\ \theta \in \Theta \subset \mathbb {R} ^{n}\}).}$

La idea del filtro de proyección es una aproximación${\displaystyle p_{t}(x)}$(o ${\displaystyle {\sqrt {p_{t}(x)}}}$) a través de una densidad de dimensión finita${\displaystyle p(x,\theta _{t})}$(o${\displaystyle {\sqrt {p(x,\theta _{t})}}}$).

El hecho de que la SPDE del filtro esté en forma de Stratonovich permite lo siguiente. Como las SPDE de Stratonovich satisfacen la regla de la cadena,${\displaystyle F}$y${\displaystyle G}$comportarse como campos vectoriales. Por lo tanto, la ecuación se caracteriza por una${\displaystyle dt}$campo vectorial${\displaystyle F}$y un${\displaystyle dY_{t}}$campo vectorial${\displaystyle G}$Para esta versión del filtro de proyección, basta con tratar los dos campos vectoriales por separado. Se puede proyectar${\displaystyle F}$y${\displaystyle G}$en el espacio tangente de las densidades en${\displaystyle S_{\Theta }}$(métrica directa) o de sus raíces cuadradas (métrica de Hellinger). El caso de la métrica directa produce

${\displaystyle dp(\cdot ,\theta _{t})=\Pi _{p(\cdot ,\theta _{t})}[F(p(\cdot ,\theta _{t}))]\,dt+\Pi _{p(\cdot ,\theta _{t})}[G^{T}(p(\cdot ,\theta _{t}))]\circ dY_{t}\ }$

dónde${\displaystyle \Pi _{p(\cdot ,\theta )}}$es la proyección tangente del espacio en el punto${\displaystyle p(\cdot ,\theta )}$para el colector${\displaystyle S_{\Theta }}$y donde, cuando se aplica a un vector como${\displaystyle G^{T}}$, se supone que actúa componente a componente proyectando cada uno de${\displaystyle G^{T}}$componentes de. Como base de este espacio tangente es

${\displaystyle \left\{{\frac {\partial p(\cdot ,\theta )}{\partial \theta _{1}}},\cdots ,{\frac {\partial p(\cdot ,\theta )}{\partial \theta _{n}}}\right\},}$

al denotar el producto interno de${\displaystyle L^{2}}$con${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$, uno define la métrica

${\displaystyle \gamma _{ij}(\theta )=\left\langle {\frac {\partial {p(\cdot ,\theta )}}{\partial \theta _{i}}}\,,{\frac {\partial {p(\cdot ,\theta )}}{\partial \theta _{j}}}\right\rangle =\int {\frac {\partial p(x,\theta )}{\partial \theta _{i}}}\,{\frac {\partial p(x,\theta )}{\partial \theta _{j}}}\,dx}$

y la proyección es así

${\displaystyle \Pi _{p(\cdot ,\theta )}^{\gamma }[v]=\sum _{i=1}^{n}\left[\sum _{j=1}^{n}\gamma ^{ij}(\theta )\;\left\langle v,\,{\frac {\partial {p(\cdot ,\theta )}}{\partial \theta _{j}}}\right\rangle \right]\;{\frac {\partial {p(\cdot ,\theta )}}{\partial \theta _{i}}}}$

dónde${\displaystyle \gamma ^{ij}}$es lo inverso de ${\displaystyle \gamma _{ij}}$La ecuación proyectada queda así:

${\displaystyle dp(\cdot ,\theta _{t})=\Pi _{p(\cdot ,\theta )}[F(p(\cdot ,\theta _{t}))]dt+\Pi _{p(\cdot ,\theta )}[G^{T}(p(\cdot ,\theta _{t}))]\circ dY_{t}}$

que se puede escribir como

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial p(\cdot ,\theta _{t})}{\theta _{i}}}\circ d\theta _{i}=\sum _{i=1}^{n}\left[\sum _{j=1}^{n}\gamma ^{ij}(\theta )\;\left\langle F(p(\cdot ,\theta _{t})),\,{\frac {\partial {p(\cdot ,\theta )}}{\partial \theta _{j}}}\right\rangle \right]\;{\frac {\partial {p(\cdot ,\theta )}}{\partial \theta _{i}}}dt+\sum _{i=1}^{n}\left[\sum _{j=1}^{n}\gamma ^{ij}(\theta )\;\left\langle G^{T}(p(\cdot ,\theta _{t})),\,{\frac {\partial {p(\cdot ,\theta )}}{\partial \theta _{j}}}\right\rangle \right]\;{\frac {\partial {p(\cdot ,\theta )}}{\partial \theta _{i}}}\circ dY_{t},}$

donde ha sido crucial que el cálculo de Stratonovich obedezca la regla de la cadena. De la ecuación anterior, la EDE del filtro de proyección final es ${\displaystyle d\theta _{i}=\left[\sum _{j=1}^{n}\gamma ^{ij}(\theta _{t})\;\int F(p(x,\theta _{t}))\;{\frac {\partial p(x,\theta _{t})}{\partial \theta _{j}}}dx\right]dt+\sum _{k=1}^{d}\;\left[\sum _{j=1}^{n}\gamma ^{ij}(\theta _{t})\;\int G_{k}(p(x,\theta _{t}))\;{\frac {\partial p(x,\theta _{t})}{\partial \theta _{j}}}\;dx\right]\circ dY_{k}}$

con condición inicial elegida${\displaystyle \theta _{0}}$.

Sustituyendo la definición de los operadores F y G obtenemos la ecuación del filtro de proyección totalmente explícita en métrica directa:

${\displaystyle d\theta _{i}(t)=\left[\sum _{j=1}^{m}\gamma ^{ij}(\theta _{t})\;\int {{\cal {L}}_{t}^{\ast }\,p(x,\theta _{t})}\;{\frac {\partial p(x,\theta _{t})}{\partial \theta _{j}}}dx-\sum _{j=1}^{m}\gamma ^{ij}(\theta _{t})\;\int {\frac {1}{2}}\left[\vert b(x,t)\vert ^{2}-\int \vert b(z,t)\vert ^{2}p(z,\theta _{t})dz\right]\;p(x,\theta _{t})\;{\frac {\partial p(x,\theta _{t})}{\partial \theta _{j}}}\;dx\right]dt}$

${\displaystyle +\sum _{k=1}^{d}\;\left[\sum _{j=1}^{m}\gamma ^{ij}(\theta _{t})\;\int \left[b_{k}(x,t)-\int b_{k}(z,t)p(z,\theta _{t})dz\right]\;p(x,\theta _{t})\;{\frac {\partial p(x,\theta _{t})}{\partial \theta _{j}}}\;dx\right]\circ dY_{t}^{k}\ .}$

Si se utiliza la distancia de Hellinger, se necesitan raíces cuadradas de las densidades. La base del espacio tangente es entonces

${\displaystyle \left\{{\frac {\partial {\sqrt {p(\cdot ,\theta )}}}{\partial \theta _{1}}},\cdots ,{\frac {\partial {\sqrt {p(\cdot ,\theta )}}}{\partial \theta _{n}}}\right\},}$

y uno define la métrica

${\displaystyle {\frac {1}{4}}g_{ij}(\theta )=\left\langle {\frac {\partial {\sqrt {p}}}{\partial \theta _{i}}}\,,{\frac {\partial {\sqrt {p}}}{\partial \theta _{j}}}\right\rangle ={\frac {1}{4}}\int {\frac {1}{p(x,\theta )}}\,{\frac {\partial p(x,\theta )}{\partial \theta _{i}}}\,{\frac {\partial p(x,\theta )}{\partial \theta _{j}}}\,dx.}$

La métrica${\displaystyle g}$es la métrica de información de Fisher. Se siguen pasos completamente análogos al caso de la métrica directa y la ecuación del filtro en la métrica de Hellinger/Fisher es

${\displaystyle d\theta _{i}=\left[\sum _{j=1}^{n}g^{ij}(\theta _{t})\;\int {\frac {F(p(x,\theta _{t}))}{p(x,\theta _{t})}}\;{\frac {\partial p(x,\theta _{t})}{\partial \theta _{j}}}\;dx\right]dt+\sum _{k=1}^{d}\;\left[\sum _{j=1}^{m}g^{ij}(\theta _{t})\;\int {\frac {G_{k}(p(x,\theta _{t}))}{p(x,\theta _{t})}}\;{\frac {\partial p(x,\theta _{t})}{\partial \theta _{j}}}\;dx\right]\circ dY_{t}^{k}\ ,}$

Nuevamente con la condición inicial elegida${\displaystyle \theta _{0}}$.

Sustituyendo F y G se obtiene ${\displaystyle d\theta _{i}(t)=\left[\sum _{j=1}^{m}g^{ij}(\theta _{t})\;\int {\frac {{\cal {L}}_{t}^{\ast }\,p(x,\theta _{t})}{p(x,\theta _{t})}}\;{\frac {\partial p(x,\theta _{t})}{\partial \theta _{j}}}\;dx-\sum _{j=1}^{m}g^{ij}(\theta _{t})\int {\frac {1}{2}}\vert b_{t}(x)\vert ^{2}{\frac {\partial p(x,\theta _{t})}{\partial \theta _{j}}}dx\right]dt}$

${\displaystyle +\sum _{k=1}^{d}\;\left[\sum _{j=1}^{m}g^{ij}(\theta _{t})\;\int b_{k}(x,t)\;{\frac {\partial p(x,\theta _{t})}{\partial \theta _{j}}}\;dx\right]\circ dY_{t}^{k}\ .}$

El filtro de proyección en métrica directa, cuando se implementa en una variedad${\displaystyle S_{\Theta }}$de familias de mezclas, conduce a la equivalencia con un método de Galerkin. ^{[ 6 ]}

El filtro de proyección en la métrica de Hellinger/Fisher cuando se implementa en una variedad${\displaystyle S_{\Theta }^{1/2}}$de raíces cuadradas de una familia exponencial de densidades es equivalente a los filtros de densidad supuestos. ^{[ 3 ]}

También es posible proyectar la ecuación de Zakai más simple para una versión no normalizada de la densidad p. Esto daría como resultado el mismo filtro de proyección de Hellinger, pero en un filtro de proyección métrica directa diferente. ^{[ 6 ]}

Finalmente, si en el caso de la familia exponencial se incluye entre las estadísticas suficientes de la familia exponencial la función de observación en${\displaystyle dY_{t}}$, es decir${\displaystyle b(x)}$componentes y${\displaystyle |b(x)|^{2}}$, entonces se puede ver que el paso de corrección en el algoritmo de filtrado se vuelve exacto. En otras palabras, la proyección del campo vectorial${\displaystyle G}$es exacto, lo que resulta en${\displaystyle G}$en sí mismo. Escribir el algoritmo de filtrado en un entorno con estado continuo${\displaystyle X}$y observaciones de tiempo discreto${\displaystyle Y}$, se puede ver que el paso de corrección en cada nueva observación es exacto, ya que la fórmula de Bayes relacionada no implica ninguna aproximación. ^{[ 3 ]}

Ahora, en lugar de considerar la SPDE del filtro exacta en la forma del cálculo de Stratonovich, se mantiene en la forma del cálculo de Ito.

${\displaystyle dp_{t}={\cal {L}}_{t}^{*}p_{t}\ dt+p_{t}[b(\cdot ,t)-E_{p_{t}}(b(\cdot ,t))]^{T}[dY_{t}-E_{p_{t}}(b(\cdot ,t))dt].}$

En los filtros de proyección de Stratonovich anteriores, los campos vectoriales${\displaystyle F}$y${\displaystyle G}$se proyectaron por separado. Por definición, la proyección es la aproximación óptima para${\displaystyle F}$y${\displaystyle G}$por separado, aunque esto no implica que proporcione la mejor aproximación para la solución SPDE del filtro en su conjunto. De hecho, la proyección de Stratonovich, actuando sobre los dos términos${\displaystyle F}$y${\displaystyle G}$Por separado, no garantiza la optimalidad de la solución.${\displaystyle p(\cdot ,\theta _{0+\delta t})}$como una aproximación de la exacta${\displaystyle p_{0+\delta t}}$por ejemplo pequeño${\displaystyle \delta t}$Uno puede buscar una norma.${\displaystyle \|\cdot \|}$que se aplicará a la solución, para la cual

${\displaystyle \theta _{0+\delta t}\approx {\mbox{argmin}}_{\theta }\ \|p_{0+\delta t}-p(\cdot ,\theta )\|.}$

La proyección del vector de Ito se obtiene de la siguiente manera. Elegimos una norma para el espacio de densidades,${\displaystyle \|\cdot \|}$, que podría estar asociada con la métrica directa o la métrica de Hellinger.

Se elige el término de difusión en la ecuación de Ito aproximada para${\displaystyle \theta _{t}}$minimizando (pero sin poner a cero) el${\displaystyle \delta t}$término de la expansión de Taylor para el error cuadrático medio

${\displaystyle E_{t}[\|p_{0+\delta t}-p(\cdot ,\theta _{0+\delta t})\|^{2}]}$,

encontrar el término de deriva en la ecuación de Ito aproximada que minimiza la${\displaystyle (\delta t)^{2}}$término de la misma diferencia. Aquí el${\displaystyle \delta t}$El término de orden se minimiza, no se anula, y nunca se alcanza.${\displaystyle (\delta t)^{2}}$convergencia, solamente${\displaystyle \delta t}$convergencia.

Otro beneficio de la proyección vectorial de Ito es que minimiza la expansión de Taylor de orden 1 en${\displaystyle \delta t}$de

${\displaystyle \|E[p_{0+\delta t}-p(\cdot ,\theta _{0+\delta t})]\|.}$

Para lograr${\displaystyle (\delta t)^{2}}$convergencia, en lugar de${\displaystyle \delta t}$En el contexto de la convergencia, se introduce la proyección Ito-jet. Esta se basa en la noción de proyección métrica.

La proyección métrica de una densidad${\displaystyle p\in L^{2}}$(o${\displaystyle {\sqrt {p}}\in L^{2}}$) sobre el colector${\displaystyle S_{\Theta }}$(o ${\displaystyle S_{\Theta }^{1/2}}$) es el punto más cercano en${\displaystyle S_{\Theta }}$(o${\displaystyle S_{\Theta }^{1/2}}$) a${\displaystyle p}$(o${\displaystyle {\sqrt {p}}}$). Denómoslo por${\displaystyle \pi (p)}$La proyección métrica es, por definición, según la métrica elegida, lo mejor que se puede hacer para aproximar${\displaystyle p}$en${\displaystyle S_{\Theta }}$. Por lo tanto, la idea es encontrar un filtro de proyección que se acerque lo más posible a la proyección métrica. En otras palabras, se considera el criterio ${\displaystyle \theta _{0+\delta t}\approx {\mbox{argmin}}_{\theta }\ \|\pi (p_{0+\delta t})-p(\cdot ,\theta )\|.}$

Los cálculos detallados son largos y laboriosos, ^{[ 7 ]} pero la aproximación resultante logra${\displaystyle (\delta t)^{2}}$convergencia. De hecho, la proyección del jet de Ito alcanza el siguiente criterio de optimalidad. Anula el${\displaystyle \delta t}$plazo de pedido y minimiza el${\displaystyle (\delta t)^{2}}$término de orden de la expansión de Taylor de la distancia cuadrática media en${\displaystyle L^{2}}$entre${\displaystyle \pi (p_{0+\delta t})}$y${\displaystyle p(\cdot ,\theta _{0+\delta t})}$.

Tanto el vector de Ito como la proyección del chorro de Ito dan como resultado ecuaciones diferenciales estocásticas finales, impulsadas por las observaciones.${\displaystyle dY}$, para el parámetro${\displaystyle \theta _{t}}$que mejor se aproxima a la evolución exacta del filtro para tiempos pequeños. ^{[ 7 ]}