Cálculo estocástico

El cálculo estocástico es una rama de las matemáticas que se ocupa de los procesos estocásticos . Permite definir una teoría de integración consistente para las integrales de procesos estocásticos con respecto a otros procesos estocásticos. Este campo fue creado e iniciado por el matemático japonés Kiyosi Itô durante la Segunda Guerra Mundial .

El proceso estocástico más conocido al que se aplica el cálculo estocástico es el proceso de Wiener (llamado así en honor a Norbert Wiener ), que se utiliza para modelar el movimiento browniano descrito por Louis Bachelier en 1900 y por Albert Einstein en 1905, así como otros procesos físicos de difusión espacial de partículas sometidas a fuerzas aleatorias. Desde la década de 1970, el proceso de Wiener se ha aplicado ampliamente en matemáticas financieras y economía para modelar la evolución temporal de los precios de las acciones y los tipos de interés de los bonos.

Las principales variantes del cálculo estocástico son el cálculo de Itô y su variante variacional, el cálculo de Malliavin . Por razones técnicas, la integral de Itô es la más útil para clases generales de procesos, pero la integral de Stratonovich, relacionada con ella , se utiliza frecuentemente en la formulación de problemas (especialmente en disciplinas de ingeniería). La integral de Stratonovich se puede expresar fácilmente en términos de la integral de Itô, y viceversa. Las integrales estocásticas NO obedecen la regla de la cadena usual . La integral de Itô obedece el lema de Itô . Esto permite expresar los problemas en una forma invariante del sistema de coordenadas, lo cual es invaluable al desarrollar el cálculo estocástico en variedades distintas de R ⁿ . El teorema de convergencia dominada no se cumple para la integral de Stratonovich; por consiguiente, es muy difícil demostrar resultados sin volver a expresar las integrales en la forma de Itô.

La integral de Itô es fundamental para el estudio del cálculo estocástico. La integral${\displaystyle \int H\,dX}$se define para una semimartingala X y un proceso predecible localmente acotado H.

La integral de Stratonovich o integral de Fisk-Stratronovich de una semimartingala.${\displaystyle X}$frente a otra semimartingala Y puede definirse en términos de la integral de Itô como

${\displaystyle \int _{0}^{t}X_{s-}\circ dY_{s}:=\int _{0}^{t}X_{s-}dY_{s}+{\frac {1}{2}}\left[X,Y\right]_{t}^{c},}$

donde [ X , Y ] _t ^c denota la covariación cuadrática opcional de las partes continuas de X e Y , que es la covariación cuadrática opcional menos los saltos de los procesos  ${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$, es decir

${\displaystyle \left[X,Y\right]_{t}^{c}:=[X,Y]_{t}-\sum \limits _{s\leq t}\Delta X_{s}\Delta Y_{s}}$.

La notación alternativa

${\displaystyle \int _{0}^{t}X_{s}\,\partial Y_{s}}$

También se utiliza para denotar la integral de Stratonovich.

Una aplicación importante del cálculo estocástico se encuentra en las finanzas matemáticas , donde a menudo se supone que los precios de los activos siguen ecuaciones diferenciales estocásticas . Por ejemplo, el modelo de Black-Scholes valora las opciones como si siguieran un movimiento browniano geométrico , lo que ilustra las oportunidades y los riesgos de aplicar el cálculo estocástico.

Además de las integrales clásicas de Itô y Fisk-Stratonovich, existen muchas otras nociones de integrales estocásticas, como la integral de Hitsuda-Skorokhod , la integral de Marcus y la integral de Ogawa .

• Thomas Mikosch, 1998, Cálculo estocástico elemental, World Scientific, ISBN 981-023543-7
• Fima C Klebaner, 2012, Introducción al cálculo estocástico con aplicaciones (3.ª edición). World Scientific Publishing, ISBN 9781848168312
• Szabados, TS; Székely, BZ (2008). "Integración estocástica basada en caminatas aleatorias simples y simétricas". Journal of Theoretical Probability . 22 : 203–219 . arXiv : 0712.3908 . doi : 10.1007/s10959-007-0140-8 .Preimpresión