Función implícita

En matemáticas , una ecuación implícita es una relación de la forma $R(x_{1},\dots ,x_{n})=0,$ donde $R$ es una función de varias variables (a menudo un polinomio ). Por ejemplo, la ecuación implícita del círculo unitario es $x^{2}+y^{2}-1=0.$

Una función implícita es una función que se define mediante una ecuación implícita, que relaciona una de las variables, considerada como el valor de la función, con las demás consideradas como los argumentos . ^{[ 1 ]}^{: 204–206} Por ejemplo, la ecuación $x^{2}+y^{2}-1=0$ del círculo unitario define $y$ como una función implícita de $x$ , $y={\sqrt {1-x^{2}}}$ , suponiendo que $-1 \leq x \leq 1$ e $y$ está restringido a valores no negativos. Algunas ecuaciones no admiten una solución explícita .

El teorema de la función implícita proporciona condiciones bajo las cuales algunos tipos de ecuaciones implícitas definen funciones implícitas, a saber, aquellas que se obtienen al igualar a cero funciones multivariables que son continuamente diferenciables .

Ejemplos

Funciones inversas

Un tipo común de función implícita es una función inversa . No todas las funciones tienen una única función inversa. Si $g$ es una función de $x$ que tiene una única inversa, entonces la función inversa de $g$ , llamada $g -1$ , es la única función que proporciona una solución de la ecuación.

y=g(x)

para $x$ en términos de $y$ . Esta solución se puede escribir entonces como

x=g^{-1}(y)\,.

Definir $g -1$ como la inversa de $g$ es una definición implícita. Para algunas funciones $g$ , $g -1 (y)$ se puede escribir explícitamente como una expresión de forma cerrada ; por ejemplo, si $g (x) = 2 x - 1$ , entonces $g -1 (y) = 1 / 2 (y + 1) . Sin embargo, esto a menudo no es posible, o solo se puede$ lograr introduciendo una nueva notación (como en el ejemplo del logaritmo del producto que se muestra a continuación).

Intuitivamente, se obtiene una función inversa a partir de $g$ intercambiando los roles de las variables dependientes e independientes.

Ejemplo: El producto logaritmo es una función implícita que da la solución para $x$ de la ecuación $y - xe x = 0$ .

Funciones algebraicas

Una función algebraica es una función que satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios. Por ejemplo, una función algebraica en una variable $x$ proporciona una solución para $y$ de una ecuación.

a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0\,,

donde los coeficientes $a i (x)$ son funciones polinómicas de $x$ . Esta función algebraica se puede escribir como el lado derecho de la ecuación de solución $y = f (x)$ . Escrita de esta manera, $f$ es una función implícita multivaluada .

Las funciones algebraicas desempeñan un papel importante en el análisis matemático y la geometría algebraica . Un ejemplo sencillo de función algebraica lo proporciona el lado izquierdo de la ecuación del círculo unitario:

x^{2}+y^{2}-1=0\,.

Al despejar $y$ se obtiene una solución explícita:

y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\,.

Pero incluso sin especificar esta solución explícita, es posible referirse a la solución implícita de la ecuación del círculo unitario como $y = f (x)$ , donde $f$ es la función implícita multivaluada.

Si bien se pueden encontrar soluciones explícitas para ecuaciones que son cuadráticas , cúbicas y cuárticas en $y$ , lo mismo no es generalmente cierto para ecuaciones de grado quíntico o superior, como

y^{5}+2y^{4}-7y^{3}+3y^{2}-6y-x=0\,.

Sin embargo, aún se puede hacer referencia a la solución implícita $y = f (x)$ que involucra la función implícita multivaluada $f$ .

Advertencias

No toda ecuación $R (x, y) = 0$ implica la gráfica de una función unívoca; la ecuación del círculo es un ejemplo destacado. Otro ejemplo es una función implícita dada por $x - C (y) = 0$ , donde $C$ es un polinomio cúbico con una joroba en su gráfica. Por lo tanto, para que una función implícita sea una función verdadera (unívoca), puede ser necesario utilizar solo una parte de la gráfica. A veces, una función implícita puede definirse correctamente como una función verdadera solo después de "acercarse" a una parte del eje $x$ y "eliminar" algunas ramas de la función no deseadas. Entonces se puede escribir una ecuación que exprese $y como una función implícita de las otras variables.$

La ecuación definitoria $R (x, y) = 0$ también puede presentar otras anomalías. Por ejemplo, la ecuación $x = 0$ no implica una función $f (x)$ que proporcione soluciones para $y$ ; es simplemente una línea vertical. Para evitar este tipo de problemas, se suelen imponer diversas restricciones sobre los tipos de ecuaciones permitidas o sobre el dominio . El teorema de la función implícita ofrece una forma uniforme de abordar estas anomalías.

Diferenciación implícita

En cálculo , la diferenciación implícita es un método para hallar la derivada de una función que se define mediante una ecuación en lugar de una fórmula explícita. Si una ecuación como

F(x,y)=0

define $y$ como función de $x$ , al menos localmente, la diferenciación implícita trata $y$ como función $y(x)$ y diferencia ambos lados de la ecuación con respecto a $x$ . El método es una aplicación de la regla de la cadena . ^{[ 2 ]}

La diferenciación implícita es útil cuando resolver explícitamente para una variable es inconveniente, produce varias ramas o no es posible en términos elementales . Por ejemplo, el círculo $x^{2}+y^{2}=1$ no puede representarse globalmente como la gráfica de una sola función $y=f(x)$ , pero sus arcos superior e inferior pueden diferenciarse implícitamente.

El método permite el cálculo de la aproximación de la línea tangente a $y(x)$ , dado únicamente la función $F$ y el punto $(x_{0},y_{0})$ en el que se realiza la aproximación, de modo que ningún otro conocimiento de la dependencia funcional de $y$ en $x$ es necesario. Las aproximaciones tangentes a superficies y variedades de dimensiones superiores dadas por una ecuación o sistema de ecuaciones se pueden encontrar mediante métodos similares.

Teorema de la función implícita

Sea $R (x, y)$ una función diferenciable de dos variables, y $(a, b)$ un par de números reales tales que $R (a, b) = 0$ . Si $⁠$ $\partial$ $R$ $/$ $\partial$ $y$ $⁠$ $\neq 0$ , entonces $R$ $($ $x$ $,$ $y$ $) = 0$ define una función implícita que es diferenciable en algún entorno suficientemente pequeño de $($ $a$ $,$ $b$ $)$ ; en otras palabras, hay una función diferenciable $f$ que está definida y es diferenciable en algún entorno de $a$ , tal que $R$ $($ $x$ $,$ $f$ $($ $x$ $)) = 0$ para $x$ en este entorno.

La condición $⁠$ $\partial$ $R$ $/$ $\partial$ $y$ $⁠$ $\neq 0$ significa que $($ $a$ $,$ $b$ $)$ es un punto regular de la curva implícita de la ecuación implícita $R$ $($ $x$ $,$ $y$ $) = 0$ donde la tangente no es vertical.

En un lenguaje menos técnico, existen funciones implícitas que pueden diferenciarse si la curva tiene una tangente no vertical. ^{[ 3 ]}^{: §11.5}

En geometría algebraica

Consideremos una relación de la forma $R (x 1, \dots, x n) = 0$ , donde $R$ es un polinomio multivariable. El conjunto de valores de las variables que satisfacen esta relación se denomina curva implícita si $n = 2$ y superficie implícita si $n = 3$ . Las ecuaciones implícitas son la base de la geometría algebraica , cuyos objetos de estudio básicos son las soluciones simultáneas de varias ecuaciones implícitas cuyos segundos miembros son polinomios. Estos conjuntos de soluciones simultáneas se denominan conjuntos algebraicos afines .

En ecuaciones diferenciales

Las soluciones de las ecuaciones diferenciales generalmente aparecen expresadas mediante una función implícita. ^{[ 4 ]}

Aplicaciones en economía

Tasa marginal de sustitución

En economía , cuando el conjunto de nivel $R (x, y) = 0$ es una curva de indiferencia para las cantidades $x$ e $y$ consumidas de dos bienes, el valor absoluto de la derivada implícita $⁠$ $dy$ $/$ $dx$ $⁠$ se interpreta como la tasa marginal de sustitución de los dos bienes: cuánto más de $y$ se debe recibir para ser indiferente a una pérdida de una unidad de $x$ .

Tasa marginal de sustitución técnica

De manera similar, a veces el conjunto de nivel $R (L, K)$ es una isocuanta que muestra diversas combinaciones de cantidades utilizadas $L$ de trabajo y $K$ de capital físico, cada una de las cuales daría como resultado la producción de la misma cantidad dada de algún bien. En este caso, el valor absoluto de la derivada implícita $dK / dL$ $se$ $interpreta$ $como$ $la$ tasa marginal de sustitución técnica entre los dos factores de producción: cuánto capital adicional debe utilizar la empresa para producir la misma cantidad de producto con una unidad menos de trabajo.

Mejoramiento

En teoría económica , a menudo se busca maximizar alguna función, como la de utilidad o la de beneficio , con respecto a un vector de elección $x,$ aunque la función objetivo no esté restringida a ninguna forma funcional específica. El teorema de la función implícita garantiza que las condiciones de primer orden de la optimización definen una función implícita para cada elemento del vector óptimo $x *$ del vector de elección $x$ . Cuando se maximiza el beneficio, las funciones implícitas resultantes suelen ser la función de demanda de trabajo y las funciones de oferta de diversos bienes. Cuando se maximiza la utilidad, las funciones implícitas resultantes suelen ser la función de oferta de trabajo y las funciones de demanda de diversos bienes.

Además, la influencia de los parámetros del problema sobre $x *$ —las derivadas parciales de la función implícita— puede expresarse como derivadas totales del sistema de condiciones de primer orden que se encuentran mediante la diferenciación total .

Véase también

Referencias

↑ Chiang, Alpha C. (1984). Métodos fundamentales de economía matemática (Tercera ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-010813-7.
^ Strang, Gilbert; Herman, Edwin (2016). "3.8 Diferenciación implícita". Cálculo Volumen 1 . AbiertoStax. ISBN 978-1-938168-02-4.
↑ Stewart, James (1998). Conceptos y contextos del cálculo . Brooks/Cole Publishing Company. ISBN 0-534-34330-9.
↑ Kaplan, Wilfred (2003). Cálculo avanzado . Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-201-79937-5.

Lecturas adicionales

Binmore, KG (1983). «Funciones implícitas» . Cálculo . Nueva York: Cambridge University Press. págs. 198–211 . ISBN 0-521-28952-1.
Rudin, Walter (1976). Principios de análisis matemático . Boston: McGraw-Hill . págs. 223–228 . ISBN 0-07-054235-X.
Simon, Carl P.; Blume, Lawrence (1994). «Funciones implícitas y sus derivadas» . Matemáticas para economistas . Nueva York: WW Norton. págs. 334–371 . ISBN 0-393-95733-0.

Enlaces externos

Archivado en Ghostarchivey la Wayback Machine: "Diferenciación implícita, ¿qué está pasando aquí?" . 3Blue1Brown . Esencia del cálculo. 3 de mayo de 2017 – vía YouTube .

[Chiang-1] Chiang, Alpha C. (1984). Métodos fundamentales de economía matemática (Tercera ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-010813-7.

[Implicit_differentiation_OpenStax-2] Strang, Gilbert; Herman, Edwin (2016). "3.8 Diferenciación implícita". Cálculo Volumen 1 . AbiertoStax. ISBN 978-1-938168-02-4.

[Stewart1998-3] Stewart, James (1998). Conceptos y contextos del cálculo . Brooks/Cole Publishing Company. ISBN 0-534-34330-9.

[4] Kaplan, Wilfred (2003). Cálculo avanzado . Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-201-79937-5.

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