Historia de la trigonometría

Los antiguos egipcios y babilonios conocían desde hacía muchos siglos teoremas sobre las proporciones de los lados de triángulos semejantes. Sin embargo, como las sociedades prehelénicas carecían del concepto de medida de ángulos, se limitaban a estudiar los lados de los triángulos. ^{[ 16 ]}

Los astrónomos babilonios llevaban registros detallados sobre la salida y la puesta de las estrellas , el movimiento de los planetas y los eclipses solares y lunares , todo lo cual requería familiaridad con las distancias angulares medidas en la esfera celeste . ^{[ 17 ]} Basándose en una interpretación de la tablilla cuneiforme Plimpton 322 (c. 1900 a. C.), algunos incluso han afirmado que los antiguos babilonios tenían una tabla de secantes, pero no funciona en este contexto, ya que sin usar círculos y ángulos en la situación, las notaciones trigonométricas modernas no se aplicarían. ^{[ 18 ]} Sin embargo, existe mucho debate sobre si se trata de una tabla de ternas pitagóricas , una solución de ecuaciones cuadráticas o una tabla trigonométrica . ^{[ 19 ]}

Los egipcios, por otro lado, utilizaron una forma primitiva de trigonometría para construir pirámides en el segundo milenio a. C. ^{[ 17 ]} El Papiro Matemático de Rhind , escrito por el escriba egipcio Ahmes (c. 1680–1620 a. C.), contiene el siguiente problema relacionado con la trigonometría: ^{[ 17 ]}

"Si una pirámide tiene 250 codos de altura y el lado de su base mide 360 ​​codos de largo, ¿cuál es su seked ?"

La solución de Ahmes al problema es la razón entre la mitad del lado de la base de la pirámide y su altura, o la razón entre la longitud horizontal y la vertical de su cara. En otras palabras, la cantidad que halló para el seked es la cotangente del ángulo entre la base de la pirámide y su cara. ^{[ 17 ]}

Los matemáticos griegos y helenísticos de la antigüedad utilizaban la cuerda . Dada una circunferencia y un arco en ella, la cuerda es la línea que subtiende el arco. La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia y biseca el ángulo. La mitad de la cuerda bisecada es el seno de la mitad del ángulo bisecado, es decir, ^{[ 20 ]}

${\displaystyle \mathrm {acorde} \ \theta =2r\sin {\frac {\theta }{2}},}$

y, en consecuencia, la función seno también se conoce como semicuerda . Debido a esta relación, varias identidades y teoremas trigonométricos que se conocen hoy en día también eran conocidos por los matemáticos helenísticos , pero en su forma de cuerda equivalente. ^{[ 21 ] [ 22 ]}

Aunque en las obras de Euclides y Arquímedes no existe la trigonometría en sentido estricto, se presentan teoremas de forma geométrica (en lugar de trigonométrica) que equivalen a leyes o fórmulas trigonométricas específicas. ^{[ 16 ]} Por ejemplo, las proposiciones doce y trece del libro dos de los Elementos son las leyes de los cosenos para ángulos obtusos y agudos, respectivamente. Los teoremas sobre la longitud de las cuerdas son aplicaciones de la ley de los senos . Y el teorema de Arquímedes sobre las cuerdas quebradas equivale a fórmulas para los senos de sumas y diferencias de ángulos. ^{[ 16 ]} Para compensar la falta de una tabla de acordes , los matemáticos de la época de Aristarco a veces utilizaban la afirmación de que, en notación moderna, sen α / sen β < α / β < tan α / tan β siempre que 0° < β < α < 90°, ahora conocida como la desigualdad de Aristarco . ^{[ 23 ]}              

La primera tabla trigonométrica fue aparentemente compilada por Hiparco de Nicea (180-125 a. C.), quien ahora es conocido como "el padre de la trigonometría". ^{[ 24 ]} Hiparco fue el primero en tabular los valores correspondientes de arco y cuerda para una serie de ángulos. ^{[ 10 ] [ 24 ]}

Aunque no se sabe cuándo se introdujo el uso sistemático del círculo de 360° en las matemáticas, se sabe que su introducción sistemática se produjo poco después de que Aristarco de Samos compusiera Sobre los tamaños y distancias del Sol y la Luna (c. 260 a. C.), ya que medía un ángulo en términos de una fracción de un cuadrante. ^{[ 23 ]} Parece que el uso sistemático del círculo de 360° se debe en gran medida a Hiparco y su tabla de cuerdas . Hiparco pudo haber tomado la idea de esta división de Hipsicles , quien anteriormente había dividido el día en 360 partes, una división del día que pudo haber sido sugerida por la astronomía babilónica. ^{[ 25 ]} En la astronomía antigua, el zodíaco se había dividido en doce "signos" o treinta y seis "decanos". Un ciclo estacional de aproximadamente 360 ​​días podría haber correspondido a los signos y decanos del zodíaco dividiendo cada signo en treinta partes y cada decano en diez partes. ^{[ 15 ]} Es debido al sistema de numeración sexagesimal babilónico que cada grado se divide en sesenta minutos y cada minuto se divide en sesenta segundos. ^{[ 15 ]}

Menelao de Alejandría (c. 100 d. C.) escribió en tres libros su obra Esferica . En el Libro I, estableció una base para triángulos esféricos análoga a la base euclidiana para triángulos planos. ^{[ 22 ]} Estableció un teorema sin análogo euclidiano: dos triángulos esféricos son congruentes si sus ángulos correspondientes son iguales, pero no distinguió entre triángulos esféricos congruentes y simétricos. ^{[ 22 ]} Otro teorema que estableció es que la suma de los ángulos de un triángulo esférico es mayor que 180°. ^{[ 22 ]} El Libro II de Esferica aplica la geometría esférica a la astronomía. Y el Libro III contiene el «teorema de Menelao». ^{[ 22 ] Además ,} dio su famosa «regla de las seis cantidades». ^{[ 26 ]}

Más tarde, Claudio Ptolomeo (c. 90 – c. 168 d. C.) amplió las Cuerdas en un Círculo de Hiparco en su Almagesto , o Sintaxis Matemática . El Almagesto es principalmente una obra sobre astronomía, y la astronomía se basa en la trigonometría. La tabla de cuerdas de Ptolomeo da las longitudes de las cuerdas de un círculo de diámetro 120 como una función del número de grados n en el arco correspondiente del círculo, para n que varía de 1/2 a 180 en incrementos de 1/2. ^{[ 27 ]} Los trece libros del Almagesto son la obra trigonométrica más influyente y significativa de toda la Antigüedad. ^{[ 28 ]} Un teorema que fue fundamental para el cálculo de cuerdas de Ptolomeo fue lo que todavía se conoce hoy como el teorema de Ptolomeo , que dice que la suma de los productos de los lados opuestos de un cuadrilátero cíclico es igual al producto de las diagonales. Un caso especial del teorema de Ptolomeo apareció como la proposición 93 en los Datos de Euclides . El teorema de Ptolomeo conduce al equivalente de las cuatro fórmulas de suma y diferencia para el seno y el coseno que hoy se conocen como fórmulas de Ptolomeo, aunque el propio Ptolomeo usó cuerdas en lugar de seno y coseno. ^{[ 28 ]} Ptolomeo derivó además el equivalente de la fórmula del ángulo mitad.  

${\displaystyle \sin ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {1-\cos(x)}{2}}.}$^{[ 28 ]}

Ptolomeo utilizó estos resultados para crear sus tablas trigonométricas, pero no se puede determinar si estas tablas derivaron del trabajo de Hiparco. ^{[ 28 ]}

Ni las tablas de Hiparco ni las de Ptolomeo han llegado hasta nuestros días, aunque las descripciones de otros autores antiguos dejan pocas dudas de que alguna vez existieron. ^{[ 29 ]}

Algunos de los primeros y más significativos desarrollos de la trigonometría se produjeron en la India . Obras influyentes de los siglos IV-V d. C., conocidas como los Siddhantas (de los cuales hubo cinco, siendo el más importante el Surya Siddhanta ^{[ 30 ]} ), definieron por primera vez el seno como la relación moderna entre la mitad de un ángulo y la mitad de una cuerda, al tiempo que definieron el coseno, el versino y el seno inverso . ^{[ 31 ]} Poco después, otro matemático y astrónomo indio , Aryabhata (476-550 d. C.), recopiló y amplió los desarrollos de los Siddhantas en una obra importante llamada Aryabhatiya . ^{[ 32 ]} Los Siddhantas y el Aryabhatiya contienen las tablas más antiguas que se conservan de valores de seno y valores de versino (1 − coseno), en intervalos de 3,75° desde 0° hasta 90°, con una precisión de 4 decimales. ^{[ 33 ]} Usaron las palabras jya para seno, kojya para coseno, utkrama-jya para versino y otkram jya para seno inverso. Las palabras jya y kojya se convirtieron finalmente en seno y coseno respectivamente después de una mala traducción descrita anteriormente.  

En el siglo VII, Bhaskara I elaboró ​​una fórmula para calcular el seno de un ángulo agudo sin utilizar una tabla. También proporcionó la siguiente fórmula de aproximación para sen( x ), que tenía un error relativo inferior al  1,9%:

${\displaystyle \sin x\approx {\frac {16x(\pi -x)}{5\pi ^{2}-4x(\pi -x)}},\qquad \left(0\leq x\leq \pi \right).}$

Más adelante, en el siglo VII, Brahmagupta reelaboró ​​la fórmula.

${\displaystyle \ 1-\sin ^{2}(x)=\cos ^{2}(x)=\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}$

(también derivada anteriormente, como se mencionó anteriormente) y la fórmula de interpolación de Brahmagupta para calcular valores de seno. ^{[ 18 ]}

Madhava (c. 1400) realizó importantes avances en el análisis de las funciones trigonométricas y sus expansiones en series infinitas . Desarrolló los conceptos de series de potencias y series de Taylor , y produjo expansiones en series de potencias del seno, coseno, tangente y arcotangente. ^{[ 34 ]} Utilizando las aproximaciones de series de Taylor del seno y el coseno, elaboró ​​una tabla de senos con una precisión de 12 decimales y una tabla de cosenos con una precisión de 9 decimales. También proporcionó la serie de potencias de π y el ángulo , radio , diámetro y circunferencia de un círculo en términos de funciones trigonométricas. Sus obras fueron ampliadas por sus seguidores en la Escuela de Kerala hasta el siglo XVI. ^{[ 34 ] [ 35 ]}

El texto indio Yuktibhāṣā contiene la demostración de la expansión de las funciones seno y coseno , así como la derivación y demostración de la serie de potencias de la tangente inversa , descubierta por Madhava. El Yuktibhāṣā también incluye reglas para hallar los senos y cosenos de la suma y la diferencia de dos ángulos.

En China , la tabla de senos de Aryabhata fue traducida al libro matemático chino Kaiyuan Zhanjing , compilado en el año 718 d. C. durante la dinastía Tang . ^{[ 37 ]} Aunque los chinos sobresalieron en otros campos de las matemáticas, como la geometría sólida, el teorema del binomio y las fórmulas algebraicas complejas, las primeras formas de trigonometría no fueron tan ampliamente apreciadas como en los mundos griego, helenístico, indio e islámico anteriores. ^{[ 38 ]} En cambio, los primeros chinos utilizaron un sustituto empírico conocido como chong cha , mientras que el uso práctico de la trigonometría plana en el uso del seno, la tangente y la secante era conocido. ^{[ 37 ]} Sin embargo, este estado embrionario de la trigonometría en China comenzó lentamente a cambiar y avanzar durante la dinastía Song (960-1279), donde los matemáticos chinos comenzaron a expresar un mayor énfasis en la necesidad de la trigonometría esférica en la ciencia calendárica y los cálculos astronómicos. ^{[ 37 ]} El polímata científico, matemático y funcionario chino Shen Kuo (1031–1095) utilizó funciones trigonométricas para resolver problemas matemáticos de cuerdas y arcos. ^{[ 37 ]} Victor J. Katz escribe que en la fórmula de Shen "técnica de círculos que se intersecan", creó una aproximación del arco s de un círculo dado el diámetro d , la sagita v y la longitud c de la cuerda que subtiende el arco, cuya longitud aproximó como ^{[ 39 ]}    

${\displaystyle s=c+{\frac {2v^{2}}{d}}.}$

Sal Restivo escribe que el trabajo de Shen sobre las longitudes de arcos de círculos proporcionó la base para la trigonometría esférica desarrollada en el siglo XIII por el matemático y astrónomo Guo Shoujing (1231-1316). ^{[ 40 ]} Como afirman los historiadores L. Gauchet y Joseph Needham, Guo Shoujing utilizó la trigonometría esférica en sus cálculos para mejorar el sistema calendárico y la astronomía china . ^{[ 37 ] [ 41 ]} Junto con una ilustración china posterior del siglo XVII de las demostraciones matemáticas de Guo, Needham afirma que:

Guo utilizó una pirámide esférica cuadrangular, cuyo cuadrilátero basal constaba de un arco ecuatorial y uno eclíptico, junto con dos arcos meridianos , uno de los cuales pasaba por el punto del solsticio de verano ... Mediante estos métodos pudo obtener el du lü (grados del ecuador correspondientes a grados de la eclíptica), el ji cha (valores de las cuerdas para arcos eclípticos dados) y el cha lü (diferencia entre cuerdas de arcos que difieren en 1 grado). ^{[ 42 ]}

A pesar de los logros del trabajo de Shen y Guo en trigonometría, otra obra sustancial en trigonometría china no se publicaría hasta 1607, con la publicación conjunta de los Elementos de Euclides por el funcionario y astrónomo chino Xu Guangqi (1562-1633) y el jesuita italiano Matteo Ricci (1552-1610). ^{[ 43 ]}

Obras previas de la India y Grecia fueron posteriormente traducidas y ampliadas en el mundo islámico medieval por matemáticos musulmanes, en su mayoría de ascendencia persa y árabe , quienes enunciaron numerosos teoremas que liberaron a la trigonometría de la dependencia del cuadrilátero completo , como ocurría en las matemáticas helenísticas debido a la aplicación del teorema de Menelao . Según E. S. Kennedy, fue tras este desarrollo en las matemáticas islámicas cuando «surgió la primera trigonometría real, en el sentido de que solo entonces el objeto de estudio se convirtió en el triángulo esférico o plano , sus lados y ángulos ». ^{[ 44 ]}

También se conocían métodos para tratar con triángulos esféricos, en particular el método de Menelao de Alejandría , quien desarrolló el "teorema de Menelao" para tratar problemas esféricos. ^{[ 22 ] [ 45 ]} Sin embargo, ES Kennedy señala que, si bien en las matemáticas preislámicas era posible calcular las magnitudes de una figura esférica, en principio, mediante el uso de la tabla de cuerdas y el teorema de Menelao, la aplicación del teorema a problemas esféricos era muy difícil en la práctica. ^{[ 46 ]} Para observar los días sagrados en el calendario islámico en el que los horarios se determinaban por las fases de la luna , los astrónomos inicialmente utilizaron el método de Menelao para calcular la posición de la luna y las estrellas , aunque este método resultó ser torpe y difícil. Implicaba establecer dos triángulos rectángulos que se intersecaban ; al aplicar el teorema de Menelao era posible resolver uno de los seis lados, pero solo si se conocían los otros cinco lados. Para determinar la hora a partir de la altitud del sol , por ejemplo, se requerían aplicaciones repetidas del teorema de Menelao. Para los astrónomos islámicos medievales , encontrar un método trigonométrico más sencillo suponía un desafío evidente. ^{[ 47 ]}

A principios del siglo IX d. C., Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī elaboró ​​tablas precisas de seno y coseno. También fue pionero en trigonometría esférica . En 830 d. C., Habash al-Hasib al-Marwazi descubrió la tangente y la cotangente y elaboró ​​la primera tabla de estas funciones trigonométricas . ^{[ 48 ] [ 49 ]} Muhammad ibn Jābir al-Harrānī al-Battānī (Albatenius) (853–929 d. C.) descubrió la secante y la cosecante, y elaboró ​​la primera tabla de cosecantes para cada grado desde 1° hasta 90°. ^{[ 50 ]}

Hacia el siglo X d. C., en la obra de Abū al-Wafā' al-Būzjānī , se utilizaban las seis funciones trigonométricas . ^{[ 51 ]} Abu al-Wafa tenía tablas de senos con incrementos de 0,25°, con una precisión de 8 decimales, y tablas precisas de valores de tangente. ^{[ 51 ]} También desarrolló la siguiente fórmula trigonométrica: ^{[ 52 ]}

${\displaystyle \ \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)}$(un caso especial de la fórmula de suma de ángulos de Ptolomeo; véase más arriba)

En su texto original, Abū al-Wafā' afirma: "Si queremos eso, multiplicamos el seno dado por los minutos de coseno , y el resultado es la mitad del seno del doble". ^{[ 52 ]} Abū al-Wafā también estableció las identidades de suma y diferencia de ángulos presentadas con demostraciones completas: ^{[ 52 ]}

${\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )={\sqrt {\sin ^{2}\alpha -(\sin \alpha \sin \beta )^{2}}}\pm {\sqrt {\sin ^{2}\beta -(\sin \alpha \sin \beta )^{2}}}}$

${\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }$

Para el segundo caso, el texto indica: «Multiplicamos el seno de cada uno de los dos arcos por el coseno de los otros minutos . Si queremos el seno de la suma, sumamos los productos; si queremos el seno de la diferencia, calculamos su diferencia». ^{[ 52 ]}

También descubrió la ley de los senos para la trigonometría esférica: ^{[ 48 ]}

${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.}$

También a finales del siglo X y principios del siglo XI d.C., el astrónomo egipcio Ibn Yunus realizó muchos cálculos trigonométricos cuidadosos y demostró la siguiente identidad trigonométrica : ^{[ 53 ]}

${\displaystyle \cos a\cos b={\frac {\cos(a+b)+\cos(ab)}{2}}}$

Al-Jayyani (989-1079) de al-Ándalus escribió El libro de los arcos desconocidos de una esfera , considerado «el primer tratado sobre trigonometría esférica ». ^{[ 54 ]} Contiene fórmulas para triángulos diestros , la ley general de los senos y la solución de un triángulo esférico mediante el triángulo polar. Este tratado tuvo posteriormente una gran influencia en las matemáticas europeas, y es probable que su definición de razones como números y su método para resolver un triángulo esférico con todos los lados desconocidos hayan influido en Regiomontano . ^{[ 54 ]}

El método de triangulación fue desarrollado por primera vez por matemáticos musulmanes, quienes lo aplicaron a usos prácticos como la topografía ^{[ 55 ]} y la geografía islámica , como lo describió Abu Rayhan Biruni a principios del siglo XI. El propio Biruni introdujo técnicas de triangulación para medir el tamaño de la Tierra y las distancias entre varios lugares. ^{[ 56 ]} A finales del siglo XI, Omar Khayyám (1048-1131) resolvió ecuaciones cúbicas utilizando soluciones numéricas aproximadas obtenidas por interpolación en tablas trigonométricas. En el siglo XIII, Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī fue el primero en tratar la trigonometría como una disciplina matemática independiente de la astronomía, y desarrolló la trigonometría esférica hasta su forma actual. ^{[ 49 ]} Enumeró los seis casos distintos de un triángulo rectángulo en trigonometría esférica, y en su Libro sobre el cuadrilátero completo , enunció la ley de los senos para triángulos planos y esféricos, descubrió la ley de las tangentes para triángulos esféricos y proporcionó demostraciones para ambas leyes. ^{[ 57 ]} Nasir al-Din al-Tusi ha sido descrito como el creador de la trigonometría como disciplina matemática por derecho propio. ^{[ 58 ] [ 59 ] [ 60 ]}

La ley de los cosenos , en forma geométrica, se encuentra en las proposiciones II.12-13 de los Elementos de Euclides (c. 300 a. C.), ^{[ 61 ]} pero no se utilizó para la solución de triángulos propiamente dichos. Los matemáticos islámicos medievales desarrollaron un método para hallar el tercer lado de un triángulo arbitrario dados dos lados y el ángulo comprendido, basado en el mismo concepto pero más similar a la formulación moderna de la ley de los cosenos. Un esbozo del método se encuentra en el Libro del Cuadrilátero Completo de Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī (c. 1250), ^{[ 62 ]} y el mismo método se describe con más detalle en la Clave de la Aritmética de Jamshīd al-Kāshī (1427). ^{[ 63 ]} Al-Kāshī también calculó el seno de 1° con una precisión de 8 dígitos sexagesimales y construyó las tablas trigonométricas más precisas hasta la fecha, con una precisión de cuatro cifras sexagesimales (equivalente a 8 cifras decimales) para cada 1° de arco. Es probable que Al-Kāshī trabajara en las tablas trigonométricas aún más completas de Ulugh Beg , con entradas de cinco cifras (sexagesimales) para cada minuto de arco.

Nasir al-Din al-Tusi (1201–1274) fue el primero en tratar la trigonometría como una disciplina matemática independiente, separada de la astronomía, en su Tratado del Cuadrilátero (c. 1260). Estableció completamente las seis funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante) con demostraciones, y formuló la ley plana y esférica de los senos , la forma que aún se enseña hoy en día. ^{[ 64 ] [ 65 ]}

En 1342, Levi ben Gershon (Gersonides) escribió Sobre senos, cuerdas y arcos , demostrando también la ley de los senos para triángulos planos (aunque después de al-Tusi) y proporcionando tablas de senos de cinco cifras . ^{[ 66 ]}

Una tabla trigonométrica simplificada, la " toleta de marteloio ", era utilizada por los marineros del mar Mediterráneo durante los siglos XIV y XV para calcular rutas de navegación . Fue descrita por Ramón Llull de Mallorca en 1295 y aparece plasmada en el atlas de 1436 del capitán veneciano Andrea Bianco .

Regiomontanus fue el primer matemático europeo en tratar la trigonometría como una disciplina matemática distinta, ^{[ 67 ]} en su obra De triangulis omnimodis, escrita en 1464, así como en su posterior Tabulae directionum , que incluía la función tangente, sin nombre. Sin embargo, su trabajo se basó en traducciones latinas de textos árabes anteriores, incluido el Tratado del Cuadrilátero de al-Tusi . ^{[ 68 ]} La erudición moderna ha restituido desde entonces la prioridad de al-Tusi como el primero en establecer la trigonometría como una disciplina independiente. ^{[ 69 ]}