Jyā , koti-jyā y utkrama-jyā

Jyā , koṭi-jyā y utkrama-jyā son tresfunciones trigonométricasintroducidas pormatemáticos y astrónomos indios. El tratado indio más antiguo conocido que contiene referencias a estas funciones esel Surya Siddhanta. ^{[ 1 ]} Estas son funciones de arcos de círculo y no de ángulos. Jyā y koti-jyā están estrechamente relacionadas con lasfunciones trigonométricasdesenoycoseno. De hecho, los orígenes de los términos modernos de "seno" y "coseno" se remontan a laspalabrassánscritas jyā y koti-jyā . ^{[ 1 ]}

Sea ' arco AB ' un arco cuyos dos extremos son A y B de una circunferencia con centro O. Si se traza una perpendicular BM desde B hasta OA , entonces:

• jyā del arco AB = BM
• koti-jyā del arco AB = OM
• utkrama-jyā del arco AB = MA

Si el radio del círculo es R y la longitud del arco AB es s , el ángulo subtendido por el arco AB en O, medido en radianes, es θ = s / R. Las tres funciones indias se relacionan con las funciones trigonométricas modernas de la siguiente manera:

• jyā ( arco AB ) = R sen ( s / R )
• koti-jyā ( arc AB ) = R cos ( s / R )
• utkrama-jyā ( arco AB ) = R ( 1 − cos ( s / R ) ) = R versión ( s / R )

Un arco de círculo es como un arco y por eso se llama dhanu o chāpa, que en sánscrito significa "arco". La línea recta que une los dos extremos de un arco de círculo es como la cuerda de un arco y esta línea es una cuerda del círculo. Esta cuerda se llama jyā , que en sánscrito significa "cuerda de arco", presumiblemente traduciendo el χορδή de Hiparco con el mismo significado . La palabra jīvá también se usa como sinónimo de jyā en la literatura geométrica. ^{[ 2 ]} En algún momento, los astrónomos y matemáticos indios se dieron cuenta de que los cálculos serían más convenientes si se usaban las mitades de las cuerdas en lugar de las cuerdas completas y asociaban las semicuerdas con las mitades de los arcos. ^{[ 1 ] [ 3 ]} Las semicuerdas se llamaban ardha-jyā s o jyā-ardha s. Estos términos se acortaron nuevamente a jyā omitiendo el calificador ardha, que significaba "la mitad de".

La palabra sánscrita koṭi significa "punta, cúspide" y, específicamente, "el extremo curvo de un arco ". En trigonometría, pasó a denotar "el complemento de un arco a 90° ". Así, koṭi-jyā es "el jyā del arco complementario". En los tratados indios, especialmente en los comentarios, koṭi-jyā se abrevia a menudo como kojyā . El término koṭi también denota "el lado de un triángulo rectángulo". Por lo tanto, koṭi-jyā también podría significar el otro cateto de un triángulo rectángulo, siendo el primer cateto el jyā . ^{[ 1 ]}

Utkrama significa "invertido", por lo tanto, utkrama-jyā significa "cuerda invertida". Los valores tabulares de utkrama-jyā se derivan de los valores tabulares de jyā restando los elementos del radio en orden inverso.Esto es realmentela flecha entre el arco y la cuerda del arco y por eso también se le ha llamado bāṇa , iṣu o śara, todos con el significado de "flecha". ^{[ 1 ]}

Un arco de círculo que subtiende un ángulo de 90° en el centro se llama vritta-pāda (cuadrado de un círculo). Cada signo zodiacal define un arco de 30° y tres signos zodiacales consecutivos definen un vritta-pāda . El jyā de un vritta-pāda es el radio del círculo. Los astrónomos indios acuñaron el término tri-jyā para denotar el radio del círculo base, siendo el término tri-jyā indicativo de "el jyā de tres signos". El radio también se llama vyāsārdha , viṣkambhārdha , vistarārdha , etc., todos con el significado de "semidiámetro". ^{[ 1 ]}

Según una convención, las funciones jyā y koti-jyā se denotan respectivamente por "Rsin" y "Rcos", tratadas como palabras individuales. ^{[ 1 ]} Otras convenciones denotan jyā y koti-jyā respectivamente por "Sin" y "Cos" (las primeras letras son mayúsculas, a diferencia de las minúsculas en las funciones seno y coseno ordinarias). ^{[ 3 ]}

Los orígenes del término moderno seno se remontan a la palabra sánscrita jyā , ^{[ 4 ] [ 5 ]} o más específicamente a su sinónimo jīvá . Este término fue adoptado en las matemáticas islámicas medievales , transliterado al árabe como jība ( جيب ). Dado que el árabe se escribe sin vocales cortas —y como préstamo, la vocal larga se denota aquí con yāʾ— , esto se interpretó como el homógrafo jaib , jayb ( جيب ), que significa "seno". El traductor latino del texto del siglo XII utilizó el equivalente latino para "seno", sinus . ^{[ 6 ]} Cuando jyā se convirtió en sinus , se ha sugerido que por analogía kojyā se convirtió en coseno . Sin embargo, en textos de principios de la Edad Media, el coseno se llama complementi sinus , "seno del complemento", lo que sugiere que la similitud con kojyā es una coincidencia. ^{[ 7 ]}

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