Forzamiento (matemáticas)

En teoría de conjuntos , el forzamiento es una técnica para demostrar resultados de consistencia e independencia . Intuitivamente, el forzamiento puede pensarse como una técnica para expandir el universo de la teoría de conjuntos.${\displaystyle V}$a un universo más grande${\displaystyle V[G]}$introduciendo un nuevo objeto "genérico"${\displaystyle G}$.

El concepto de forzamiento fue utilizado por primera vez por Paul Cohen en 1963 para demostrar la independencia del axioma de elección y la hipótesis del continuo respecto de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . Posteriormente, fue considerablemente reelaborado y simplificado, y desde entonces se ha consolidado como una técnica poderosa, tanto en la teoría de conjuntos como en áreas de la lógica matemática , como la teoría de la computabilidad . La teoría descriptiva de conjuntos emplea las nociones de forzamiento tanto de la teoría de la computabilidad como de la teoría de conjuntos. El forzamiento también se ha utilizado en la teoría de modelos , aunque en esta última es común definir la genericidad directamente sin mencionar el forzamiento.

El forzamiento se suele utilizar para construir un universo expandido que satisfaga alguna propiedad deseada. Por ejemplo, el universo expandido podría contener muchos números reales nuevos (al menos${\displaystyle \aleph _{2}}$de ellos), identificados con subconjuntos del conjunto${\displaystyle \mathbb {N} }$de números naturales, que no estaban presentes en el universo antiguo y, por lo tanto, violan la hipótesis del continuo .

Para justificar intuitivamente dicha expansión, lo mejor es pensar en el "universo antiguo" como un modelo.${\displaystyle M}$de la teoría de conjuntos, que es en sí misma un conjunto en el "universo real"${\displaystyle V}$. Según el teorema de Löwenheim-Skolem ,${\displaystyle M}$se puede elegir para que sea un modelo "básico" que sea externamente contable , lo que garantiza que habrá muchos subconjuntos (en${\displaystyle V}$) de${\displaystyle \mathbb {N} }$que no están en${\displaystyle M}$. Específicamente, hay un ordinal${\displaystyle \aleph _{2}^{M}}$que "desempeña el papel del cardenal "${\displaystyle \aleph _{2}}$" en${\displaystyle M}$, pero en realidad es contable en${\displaystyle V}$Trabajando en${\displaystyle V}$, debería ser fácil encontrar un subconjunto distinto de${\displaystyle \mathbb {N} }$por cada elemento de${\displaystyle \aleph _{2}^{M}}$. (Para simplificar, esta familia de subconjuntos se puede caracterizar con un único subconjunto${\displaystyle X\subseteq \aleph _{2}^{M}\times \mathbb {N} }$.)

Sin embargo, en cierto sentido, puede ser deseable "construir el modelo ampliado".${\displaystyle M[X]}$dentro${\displaystyle M}$". Esto ayudaría a garantizar que${\displaystyle M[X]}$"se asemeja"${\displaystyle M}$en ciertos aspectos, como${\displaystyle \aleph _{2}^{M[X]}}$ser lo mismo que${\displaystyle \aleph _{2}^{M}}$(más generalmente, que no se produzca un colapso cardinal ) y permiten un control preciso sobre las propiedades de${\displaystyle M[X]}$. Más precisamente, cada miembro de${\displaystyle M[X]}$debe recibir un nombre (no único) en${\displaystyle M}$. El nombre puede pensarse como una expresión en términos de${\displaystyle X}$, igual que en una extensión de campo simple${\displaystyle L=K(\theta )}$cada elemento de${\displaystyle L}$puede expresarse en términos de${\displaystyle \theta }$. Un componente importante de la imposición es manipular esos nombres dentro${\displaystyle M}$, por lo que a veces puede ser útil pensar directamente en${\displaystyle M}$como "el universo", sabiendo que la teoría de la fuerza garantiza que${\displaystyle M[X]}$corresponderá a un modelo real.

Un punto sutil de forzamiento es que, si${\displaystyle X}$se considera un "subconjunto faltante" arbitrario de algún conjunto en${\displaystyle M}$, entonces el${\displaystyle M[X]}$construido "dentro de${\displaystyle M}$"Puede que ni siquiera sea un modelo. Esto se debe a que${\displaystyle X}$puede codificar información "especial" sobre${\displaystyle M}$que es invisible en el interior${\displaystyle M}$(por ejemplo, la contabilizabilidad de${\displaystyle M}$), y así demostrar la existencia de conjuntos que son "demasiado complejos para${\displaystyle M}$para describir". ^{[ 1 ] [ 2 ]}

El forzado evita tales problemas al requerir el conjunto recién introducido.${\displaystyle X}$ser un conjunto genérico relativo a${\displaystyle M}$. ^{[ 1 ]} Algunas afirmaciones se "obligan" a cumplirse para cualquier genérico${\displaystyle X}$: Por ejemplo, un genérico${\displaystyle X}$se "obliga" a ser infinito. Además, cualquier propiedad (descriptible en${\displaystyle M}$) de un conjunto genérico se "obliga" a cumplirse bajo alguna condición forzante . El concepto de "forzante" se puede definir dentro${\displaystyle M}$y da${\displaystyle M}$suficiente poder de razonamiento para demostrar que${\displaystyle M[X]}$Es, en efecto, un modelo que satisface las propiedades deseadas.

La técnica original de Cohen, ahora llamada forzamiento ramificado , es ligeramente diferente del forzamiento no ramificado que se expone aquí. El forzamiento también es equivalente al método de modelos con valores booleanos , que algunos consideran conceptualmente más natural e intuitivo, pero generalmente mucho más difícil de aplicar. ^{[ 3 ]}

Cada condición de forzamiento puede considerarse como una pieza finita de información sobre el objeto.${\displaystyle X}$adjunto al modelo. Existen muchas maneras diferentes de proporcionar información sobre un objeto, lo que da lugar a distintas nociones de forzamiento . Un enfoque general para formalizar las nociones de forzamiento consiste en considerar las condiciones de forzamiento como objetos abstractos con una estructura de conjunto parcialmente ordenado .

Un poset forzante es una tripleta ordenada,${\displaystyle (\mathbb {P} ,\leq ,\mathbf {1} )}$, dónde${\displaystyle \leq }$es un pedido anticipado en${\displaystyle \mathbb {P} }$, y${\displaystyle \mathbf {1} }$es el elemento más grande. Miembros de${\displaystyle \mathbb {P} }$son las condiciones de forzamiento (o simplemente condiciones ). La relación de orden${\displaystyle p\leq q}$medio "${\displaystyle p}$es más fuerte que${\displaystyle q}$". (Intuitivamente, la condición "más pequeña" proporciona "más" información, al igual que el intervalo más pequeño.${\displaystyle [3.1415926,3.1415927]}$proporciona más información sobre el número π que el intervalo${\displaystyle [3.1,3.2]}$(Sí.) Además, el pedido anticipado${\displaystyle \leq }$ debe satisfacer la condición de división :

• Para cada${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$, hay${\displaystyle q,r\in \mathbb {P} }$de tal manera que${\displaystyle q,r\leq p}$, sin${\displaystyle s\in \mathbb {P} }$de tal manera que${\displaystyle s\leq q,r}$.

En otras palabras, debe ser posible reforzar cualquier condición de fuerza.${\displaystyle p}$en al menos dos direcciones incompatibles. Intuitivamente, esto se debe a que${\displaystyle p}$es solo una pieza finita de información, mientras que se necesita una pieza infinita de información para determinar${\displaystyle X}$.

Existen diversas convenciones en uso. Algunos autores requieren${\displaystyle \leq }$También debe ser antisimétrico , de modo que la relación sea un orden parcial . Algunos utilizan el término orden parcial , lo que entra en conflicto con la terminología estándar, mientras que otros emplean el término preorden . Se puede prescindir del elemento mayor. También se utiliza el orden inverso, sobre todo por Saharon Shelah y sus coautores.

Aunque cada condición de forzamiento individual${\displaystyle p}$no puede determinar completamente el objeto genérico${\displaystyle X}$, el conjunto${\displaystyle G\subseteq \mathbb {P} }$de todas las condiciones de forzamiento verdaderas determina${\displaystyle X}$. De hecho, sin pérdida de generalidad,${\displaystyle G}$comúnmente se considera que es el objeto genérico adjunto a${\displaystyle M}$, por lo que el modelo ampliado se llama${\displaystyle M[G]}$Por lo general, es bastante fácil demostrar que el objeto originalmente deseado${\displaystyle X}$De hecho, está en el modelo.${\displaystyle M[G]}$.

Según esta convención, el concepto de "objeto genérico" puede describirse de forma general. Específicamente, el conjunto${\displaystyle G}$debería ser un filtro genérico en${\displaystyle \mathbb {P} }$relativo a${\displaystyle M}$. La condición " filtro " significa que tiene sentido que${\displaystyle G}$es un conjunto de todas las condiciones de forzamiento verdaderas:

• ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {P}$ ;}
• ${\displaystyle \mathbf {1} \in G;}$
• si${\displaystyle p\geq q\in G}$, entonces${\displaystyle p\in G;}$
• si${\displaystyle p,q\in G}$, entonces existe un${\displaystyle r\in G}$de tal manera que${\displaystyle r\leq p,q.}$

Para${\displaystyle G}$ser "genérico en relación con${\displaystyle M}$" medio:

• Si${\displaystyle D\in M}$es un subconjunto "denso" de${\displaystyle \mathbb {P} }$(es decir, para cada${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$, existe un${\displaystyle q\in D}$de tal manera que${\displaystyle q\leq p}$), entonces${\displaystyle G\cap D\neq \varnothing }$.

Dado que${\displaystyle M}$es un modelo contable, la existencia de un filtro genérico${\displaystyle G}$Se deduce del lema de Rasiowa-Sikorski . De hecho, es cierto algo más: dada una condición${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$, se puede encontrar un filtro genérico${\displaystyle G}$de tal manera que${\displaystyle p\in G}$Debido a la condición de división en${\displaystyle \mathbb {P} }$, si${\displaystyle G}$es un filtro, entonces${\displaystyle \mathbb {P} \setminus G}$es denso. Si${\displaystyle G\in M}$, entonces${\displaystyle \mathbb {P} \setminus G\in M}$porque${\displaystyle M}$es un modelo de${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$Por esta razón, nunca se utiliza un filtro genérico.${\displaystyle M}$.

Asociado a un poset forzado${\displaystyle \mathbb {P} }$es la clase${\displaystyle V^{(\mathbb {P} )}}$de${\displaystyle \mathbb {P} }$- nombres . A${\displaystyle \mathbb {P} }$-nombre es un conjunto${\displaystyle A}$de la forma

${\displaystyle A\subseteq \{(u,p)\mid u~{\text{is a}}~\mathbb {P} {\text{-name and}}~p\in \mathbb {P} \}.}$

Dado cualquier filtro${\displaystyle G}$en${\displaystyle \mathbb {P} }$, el mapa de interpretación o valoración de${\displaystyle \mathbb {P} }$-los nombres son dados por

${\displaystyle \operatorname {val} (u,G)=\{\operatorname {val} (v,G)\mid \exists p\in G:~(v,p)\in u\}.}$

El${\displaystyle \mathbb {P} }$-los nombres son, de hecho, una expansión del universo . Dado${\displaystyle x\in V}$, uno define${\displaystyle {\check {x}}}$ser el${\displaystyle \mathbb {P} }$-nombre

${\displaystyle {\check {x}}=\{({\check {y}},\mathbf {1} )\mid y\in x\}.}$

Desde${\displaystyle \mathbf {1} \in G}$De ello se deduce que${\displaystyle \operatorname {val} ({\check {x}},G)=x}$En cierto sentido,${\displaystyle {\check {x}}}$es un "nombre para${\displaystyle x}$" eso no depende de la elección específica de${\displaystyle G}$.

Esto también permite definir un "nombre para${\displaystyle G}$" sin hacer referencia explícita a${\displaystyle G}$:

${\displaystyle {\underline {G}}=\{({\check {p}},p)\mid p\in \mathbb {P} \}}$

de modo que${\displaystyle \operatorname {val} ({\underline {G}},G)=\{\operatorname {val} ({\check {p}},G)\mid p\in G\}=G}$.

Dado un filtro genérico${\displaystyle G\subseteq \mathbb {P} }$, se procede de la siguiente manera. La subclase de${\displaystyle \mathbb {P} }$-nombres en${\displaystyle M}$se denota${\displaystyle M^{(\mathbb {P} )}}$. Dejar

${\displaystyle M[G]=\left\{\operatorname {val} (u,G)~{\Big |}~u\in M^{(\mathbb {P} )}\right\}.}$

Para reducir el estudio de la teoría de conjuntos de${\displaystyle M[G]}$a la de${\displaystyle M}$, uno trabaja con el "lenguaje de forzamiento", que se construye como la lógica de primer orden ordinaria , con la pertenencia como la relación binaria y todo el${\displaystyle \mathbb {P} }$-nombres como constantes.

Definir${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$(debe leerse como "${\displaystyle p}$efectivo${\displaystyle \varphi }$en el modelo${\displaystyle M}$con poset${\displaystyle \mathbb {P} }$"), dónde${\displaystyle p}$es una condición,${\displaystyle \varphi }$es una fórmula en el lenguaje de forzamiento, y la${\displaystyle u_{i}}$son${\displaystyle \mathbb {P} }$-nombres, para significar que si${\displaystyle G}$es un filtro genérico que contiene${\displaystyle p}$, entonces${\displaystyle M[G]\models \varphi (\operatorname {val} (u_{1},G),\ldots ,\operatorname {val} (u_{n},G))}$. El caso especial${\displaystyle \mathbf {1} \Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$a menudo se escribe como "${\displaystyle \mathbb {P} \Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$" o simplemente "${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$". Tales afirmaciones son ciertas en${\displaystyle M[G]}$, no importa qué${\displaystyle G}$es.

Lo importante es esta definición externa de la relación de forzamiento${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$es equivalente a una definición interna dentro${\displaystyle M}$, definido por inducción transfinita (específicamente${\displaystyle \in }$-inducción ) sobre el${\displaystyle \mathbb {P} }$-nombres en instancias de${\displaystyle u\in v}$y${\displaystyle u=v}$y luego por inducción ordinaria sobre la complejidad de las fórmulas. Esto tiene el efecto de que todas las propiedades de${\displaystyle M[G]}$son realmente propiedades de${\displaystyle M}$y la verificación de${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$en${\displaystyle M[G]}$Se vuelve sencillo. Esto generalmente se resume en las siguientes tres propiedades clave:

• Verdad :${\displaystyle M[G]\models \varphi (\operatorname {val} (u_{1},G),\ldots ,\operatorname {val} (u_{n},G))}$si y solo si es forzado por${\displaystyle G}$, es decir, para alguna condición${\displaystyle p\in G}$, tenemos${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$.
• Definibilidad : La afirmación "${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$" es definible en${\displaystyle M}$.
• Coherencia :${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})\land q\leq p\implies q\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$.

La discusión anterior se puede resumir en el resultado de consistencia fundamental que, dado un poset forzado${\displaystyle \mathbb {P} }$Podemos asumir la existencia de un filtro genérico.${\displaystyle G}$, que no pertenece al universo${\displaystyle V}$, de tal manera que${\displaystyle V[G]}$es de nuevo un universo de teoría de conjuntos que modela${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$Además, todas las verdades en${\displaystyle V[G]}$pueden reducirse a verdades en${\displaystyle V}$que implica la relación de forzamiento.

Ambos estilos, contiguos${\displaystyle G}$a cualquiera de los dos modelos transitivos contables${\displaystyle M}$o todo el universo${\displaystyle V}$Se utilizan comúnmente. Menos frecuente es el enfoque que emplea la definición "interna" de forzamiento, en la que no se mencionan modelos de conjuntos o clases. Este fue el método original de Cohen, y en una de sus elaboraciones, se convierte en el método de análisis de valores booleanos.

El poset de forzamiento no trivial más simple es${\displaystyle (\operatorname {Fin} (\omega ,2),\supseteq ,\emptyset )}$, las funciones parciales finitas de${\displaystyle \omega }$a${\displaystyle 2~{\stackrel {\text{df}}{=}}~\{0,1\}}$bajo inclusión inversa . Es decir, una condición${\displaystyle p}$es esencialmente dos subconjuntos finitos disjuntos${\displaystyle {p^{-1}}[1]}$y${\displaystyle {p^{-1}}[0]}$de${\displaystyle \omega }$, para ser consideradas como las partes "sí" y "no" de${\displaystyle p}$, sin proporcionar información sobre valores fuera del dominio de${\displaystyle p}$. "${\displaystyle q}$es más fuerte que${\displaystyle p}$" significa que${\displaystyle q\supseteq p}$, en otras palabras, las partes "sí" y "no" de${\displaystyle q}$son superconjuntos de las partes "sí" y "no" de${\displaystyle p}$y, en ese sentido, proporcionar más información.

Dejar${\displaystyle G}$ser un filtro genérico para este poset. Si${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$ambos están en${\displaystyle G}$, entonces${\displaystyle p\cup q}$es una condición porque${\displaystyle G}$es un filtro. Esto significa que${\displaystyle g=\bigcup G}$es una función parcial bien definida de${\displaystyle \omega }$a${\displaystyle 2}$porque cualesquiera dos condiciones en${\displaystyle G}$ponerse de acuerdo en su ámbito común.

De hecho,${\displaystyle g}$es una función total. Dado${\displaystyle n\in \omega }$, dejar${\displaystyle D_{n}=\{p\mid p(n)~{\text{is defined}}\}}$. Entonces${\displaystyle D_{n}}$es denso. (Dado cualquier${\displaystyle p}$, si${\displaystyle n}$no está en${\displaystyle p}$dominio de, adjuntar un valor para${\displaystyle n}$—el resultado está en${\displaystyle D_{n}}$.) Una condición${\displaystyle p\in G\cap D_{n}}$tiene${\displaystyle n}$en su dominio, y desde${\displaystyle p\subseteq g}$, encontramos que${\displaystyle g(n)}$está definido.

Dejar${\displaystyle X={g^{-1}}[1]}$, el conjunto de todos los miembros "sí" de las condiciones genéricas. Es posible darle un nombre a${\displaystyle X}$directamente. Deja

${\displaystyle {\underline {X}}=\left\{\left({\check {n}},p\right)\mid p(n)=1\right\}.}$

Entonces${\displaystyle \operatorname {val} ({\underline {X}},G)=X.}$Ahora supongamos que${\displaystyle A\subseteq \omega }$en${\displaystyle V}$Afirmamos que${\displaystyle X\neq A}$. Dejar

${\displaystyle D_{A}=\{p\mid \exists n(n\in \operatorname {Dom} (p)\land (p(n)=1\iff n\notin A))\}.}$

Entonces${\displaystyle D_{A}}$es denso. (Dado cualquier${\displaystyle p}$, encontrar${\displaystyle n}$que no está en su dominio, y adjuntar un valor para${\displaystyle n}$contrario al estatus de "${\displaystyle n\in A}$".) Entonces cualquier${\displaystyle p\in G\cap D_{A}}$testigos${\displaystyle X\neq A}$. En resumen,${\displaystyle X}$es un subconjunto "nuevo" de${\displaystyle \omega }$, necesariamente infinito.

Reemplazar${\displaystyle \omega }$con${\displaystyle \omega \times \omega _{2}}$, es decir, considerando en cambio funciones parciales finitas cuyas entradas son de la forma${\displaystyle (n,\alpha )}$, con${\displaystyle n<\omega }$y${\displaystyle \alpha <\omega _{2}}$y cuyos resultados son${\displaystyle 0}$o${\displaystyle 1}$, uno se obtiene${\displaystyle \omega _{2}}$nuevos subconjuntos de${\displaystyle \omega }$Todos ellos son distintos, según un argumento de densidad: Dado${\displaystyle \alpha <\beta <\omega _{2}}$, dejar

${\displaystyle D_{\alpha ,\beta }=\{p\mid \exists n(p(n,\alpha )\neq p(n,\beta ))\},}$

entonces cada uno${\displaystyle D_{\alpha ,\beta }}$es denso, y una condición genérica en él demuestra que el α -ésimo conjunto nuevo no está de acuerdo en algún punto con el${\displaystyle \beta }$el nuevo conjunto.

Esto aún no constituye la falsificación de la hipótesis del continuo. Hay que demostrar que no se han introducido nuevos mapas que...${\displaystyle \omega }$sobre${\displaystyle \omega _{1}}$, o${\displaystyle \omega _{1}}$sobre${\displaystyle \omega _{2}}$. Por ejemplo, si uno considera en cambio${\displaystyle \operatorname {Fin} (\omega ,\omega _{1})}$, funciones parciales finitas de${\displaystyle \omega }$a${\displaystyle \omega _{1}}$, el primer ordinal incontable , uno obtiene en${\displaystyle V[G]}$una biyección de${\displaystyle \omega }$a${\displaystyle \omega _{1}}$. En otras palabras,${\displaystyle \omega _{1}}$se ha derrumbado y, en la extensión forzante, es un ordinal contable.

El último paso para demostrar la independencia de la hipótesis del continuo consiste, por tanto, en demostrar que la forzadura de Cohen no colapsa los cardinales. Para ello, una propiedad combinatoria suficiente es que todas las anticadenas del conjunto parcialmente ordenado de forzadura sean numerables.

Una anticadena (fuerte)${\displaystyle A}$de${\displaystyle \mathbb {P} }$es un subconjunto tal que si${\displaystyle p,q\in A}$y${\displaystyle p\neq q}$, entonces${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$son incompatibles (escritos)${\displaystyle p\perp q}$), lo que significa que no hay${\displaystyle r}$en${\displaystyle \mathbb {P} }$de tal manera que${\displaystyle r\leq p}$y${\displaystyle r\leq q}$. En el ejemplo sobre conjuntos de Borel, la incompatibilidad significa que${\displaystyle p\cap q}$tiene medida cero. En el ejemplo sobre funciones parciales finitas, la incompatibilidad significa que${\displaystyle p\cup q}$no es una función, en otras palabras,${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$asignar diferentes valores a alguna entrada de dominio.

${\displaystyle \mathbb {P} }$Se dice que satisface la condición de cadena numerable (ccc) si cada anticadena en${\displaystyle \mathbb {P} }$es contable. (El nombre, que obviamente es inapropiado, es un vestigio de terminología antigua. Algunos matemáticos escriben "cac" por "condición de anticadena contable").

Es fácil ver que${\displaystyle \operatorname {Bor} (I)}$satisface el ccc porque las medidas suman como máximo${\displaystyle 1}$. También,${\displaystyle \operatorname {Fin} (E,2)}$Satisface el ccc, pero la demostración es más difícil.

Dado un subgrupo incontable${\displaystyle W\subseteq \operatorname {Fin} (E,2)}$, encoger${\displaystyle W}$a una subfamilia incontable${\displaystyle W_{0}}$de conjuntos de tamaño como máximo${\displaystyle n}$, para algunos${\displaystyle n<\omega }$(para algunos${\displaystyle n}$esto es incontable, ya que de lo contrario${\displaystyle W=\bigcup _{n<\omega }\{w\in W:|w|<n\}}$sería una unión numerable de conjuntos numerables, por lo tanto numerable). Si${\displaystyle p(e_{1})=b_{1}}$para incontables${\displaystyle p\in W_{0}}$reducir esto a una subfamilia incontable${\displaystyle W_{1}}$y repetir, obteniendo un conjunto finito${\displaystyle \{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}\in W_{0}}$y una familia incontable${\displaystyle W_{k}}$de condiciones incompatibles de tamaño${\displaystyle n-k}$de tal manera que cada${\displaystyle e}$está en${\displaystyle \operatorname {Dom} (p)}$para como máximo muchos contables${\displaystyle p\in W_{k}}$. Ahora, elige un valor arbitrario${\displaystyle p\in W_{k}}$y elegir entre${\displaystyle W_{k}}$cualquier${\displaystyle q}$que no es uno de los muchos miembros que tienen un miembro de dominio en común con${\displaystyle p}$. Entonces${\displaystyle p\cup \{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}}$y${\displaystyle q\cup \{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}}$son compatibles, por lo tanto${\displaystyle W}$no es una anticadena. En otras palabras,${\displaystyle \operatorname {Fin} (E,2)}$-Las anticadenas son contables. ^{[ 6 ]}

La importancia de las anticadenas en el forzamiento radica en que, para la mayoría de los propósitos, los conjuntos densos y las anticadenas máximas son equivalentes. Una anticadena máxima${\displaystyle A}$es uno que no se puede extender a una anticadena más grande. Esto significa que cada elemento${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$es compatible con algún miembro de${\displaystyle A}$. La existencia de una anticadena maximal se deduce del lema de Zorn . Dada una anticadena maximal${\displaystyle A}$, dejar

${\displaystyle D=\left\{p\in \mathbb {P} \mid (\exists q\in A)(p\leq q)\right\}.}$

Entonces${\displaystyle D}$es denso y${\displaystyle G\cap D\neq \varnothing }$si y solo si${\displaystyle G\cap A\neq \varnothing }$. Por el contrario, dado un conjunto denso${\displaystyle D}$El lema de Zorn demuestra que existe una anticadena maximal.${\displaystyle A\subseteq D}$, y luego${\displaystyle G\cap D\neq \varnothing }$si y solo si${\displaystyle G\cap A\neq \varnothing }$.

Supongamos que${\displaystyle \mathbb {P} }$satisface el ccc Dado${\displaystyle x,y\in V}$, con${\displaystyle f:x\to y}$una función en${\displaystyle V[G]}$, uno puede aproximarse${\displaystyle f}$adentro${\displaystyle V}$de la siguiente manera. Sea${\displaystyle u}$ser un nombre para${\displaystyle f}$(por definición de${\displaystyle V[G]}$) y deja${\displaystyle p}$ser una condición que obliga${\displaystyle u}$ser una función de${\displaystyle x}$a${\displaystyle y}$. Definir una función${\displaystyle F:x\to {\mathcal {P}}(y)}$, por

${\displaystyle F(a){\stackrel {\text{df}}{=}}\left\{b\left|(\exists q\in \mathbb {P} )\left[(q\leq p)\land \left(q\Vdash ~u\left({\check {a}}\right)={\check {b}}\right)\right]\right\}.\right.}$

Por la definibilidad de forzar, esta definición tiene sentido dentro de${\displaystyle V}$. Por la coherencia de la fuerza, una diferente${\displaystyle b}$debe provenir de un incompatible${\displaystyle p}$. Por ccc,${\displaystyle F(a)}$es contable.

En resumen,${\displaystyle f}$es desconocido en${\displaystyle V}$ya que depende de${\displaystyle G}$, pero no es del todo desconocido para un forzamiento ccc. Se puede identificar un conjunto contable de conjeturas sobre cuál es el valor de${\displaystyle f}$está en cualquier entrada, independientemente de${\displaystyle G}$.

Esto tiene la siguiente consecuencia muy importante. Si en${\displaystyle V[G]}$,${\displaystyle f:\alpha \to \beta }$Si existe una sobreyección de un ordinal infinito sobre otro, entonces existe una sobreyección.${\displaystyle g:\omega \times \alpha \to \beta }$en${\displaystyle V}$y, en consecuencia, una sobreyección${\displaystyle h:\alpha \to \beta }$en${\displaystyle V}$. En particular, los cardinales no pueden colapsar. La conclusión es que${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\geq \aleph _{2}}$en${\displaystyle V[G]}$.

El valor exacto del continuo en el modelo de Cohen anterior y variantes como${\displaystyle \operatorname {Fin} (\omega \times \kappa ,2)}$para cardenales${\displaystyle \kappa }$En general, fue elaborado por Robert M. Solovay , quien también ideó cómo violar${\displaystyle {\mathsf {GCH}}}$(la hipótesis del continuo generalizado ), solo para cardinales regulares , un número finito de veces. Por ejemplo, en el modelo de Cohen anterior, si${\displaystyle {\mathsf {CH}}}$se sostiene en${\displaystyle V}$, entonces${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{2}}$se sostiene en${\displaystyle V[G]}$.

William B. Easton elaboró ​​la versión de clase adecuada para violar la${\displaystyle {\mathsf {GCH}}}$para cardinales regulares, básicamente demostrando que las restricciones conocidas (monotonicidad, teorema de Cantor y teorema de König ) eran las únicas${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$-restricciones demostrables (véase el teorema de Easton ).

El trabajo de Easton fue notable porque implicaba forzar con una clase apropiada de condiciones. En general, el método de forzar con una clase apropiada de condiciones no logra dar un modelo de${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$. Por ejemplo, forzando con${\displaystyle \operatorname {Fin} (\omega \times \mathbf {On} ,2)}$, dónde${\displaystyle \mathbf {On} }$es la clase propia de todos los ordinales, hace que el continuo sea una clase propia. Por otro lado, forzar con${\displaystyle \operatorname {Fin} (\omega ,\mathbf {On} )}$introduce una enumeración contable de los ordinales. En ambos casos, el resultado${\displaystyle V[G]}$visiblemente no es un modelo de${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$.

En un momento dado, se pensó que una forzante más sofisticada también permitiría una variación arbitraria en las potencias de los cardinales singulares . Sin embargo, esto ha resultado ser un problema difícil, sutil e incluso sorprendente, con varias restricciones más demostrables en${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$y con los modelos de forzamiento dependiendo de la consistencia de varias propiedades de cardinalidad grande . Quedan muchos problemas abiertos.

El forzamiento aleatorio se puede definir como forzar sobre el conjunto${\displaystyle P}$de todos los subconjuntos compactos de${\displaystyle [0,1]}$de medida positiva, ordenados por la relación${\displaystyle \subseteq }$(un conjunto más pequeño en el contexto de la inclusión es un conjunto más pequeño en el ordenamiento y representa una condición con más información). Hay dos tipos de conjuntos densos importantes:

1. Para cualquier entero positivo${\displaystyle n}$, el conjunto$${\displaystyle D_{n}=\left\{p\in P:\operatorname {diam} (p)<{\frac {1}{n}}\right\}}$$es denso, donde${\displaystyle \operatorname {diam} (p)}$es el diámetro del conjunto${\displaystyle p}$.
2. Para cualquier subconjunto de Borel${\displaystyle B\subseteq [0,1]}$de medida 1, el conjunto$${\displaystyle D_{B}=\{p\in P:p\subseteq B\}}$$es denso.

Para cualquier filtro${\displaystyle G}$y cualquier par de elementos${\displaystyle p_{1},p_{2}\in G}$hay${\displaystyle q\in G}$de tal manera que${\displaystyle q\leq p_{1},p_{2}}$En este ordenamiento, esto significa que cualquier filtro es cerrado bajo intersección finita. Por lo tanto, según el teorema de intersección de Cantor , la intersección de todos los elementos de cualquier filtro no es vacía. Si${\displaystyle G}$es un filtro que interseca el conjunto denso${\displaystyle D_{n}}$para cualquier entero positivo${\displaystyle n}$, luego el filtro${\displaystyle G}$contiene condiciones de diámetro positivo arbitrariamente pequeño. Por lo tanto, la intersección de todas las condiciones de${\displaystyle G}$tiene diámetro 0. Pero los únicos conjuntos no vacíos de diámetro 0 son conjuntos unitarios. Por lo tanto, hay exactamente un número real${\displaystyle r_{G}}$de tal manera que${\displaystyle r_{G}\in \bigcap G}$.

Dejar${\displaystyle B\subseteq [0,1]}$sea ​​cualquier conjunto de medidas de Borel 1. Si${\displaystyle G}$interseca${\displaystyle D_{B}}$, entonces${\displaystyle r_{G}\in B}$.

Sin embargo, un filtro genérico sobre un modelo transitivo contable${\displaystyle M}$no está en${\displaystyle M}$. El verdadero${\displaystyle r_{G}}$definido por${\displaystyle G}$es demostrablemente no un elemento de${\displaystyle M}$. Un problema con esta construcción es que si${\displaystyle p\in P}$, entonces${\displaystyle M\models }$"${\displaystyle p}$es compacto", pero desde el punto de vista de un universo más grande${\displaystyle V\supseteq M}$,${\displaystyle p}$puede no ser compacto y la intersección de todas las condiciones del filtro genérico${\displaystyle G}$entonces puede estar vacío. Para solucionar esto, consideramos el conjunto${\displaystyle C=\{{\bar {p}}:p\in G\}}$de cierres topológicos de condiciones de${\displaystyle G}$. Porque${\displaystyle {\bar {p}}\supseteq p}$y porque${\displaystyle G}$es cerrado bajo intersección finita, se aplica el teorema de intersección de Cantor y la intersección del conjunto${\displaystyle C}$no es vacío. Dado que${\displaystyle \operatorname {diam} ({\bar {p}})=\operatorname {diam} (p)}$y el modelo terrestre${\displaystyle M}$hereda una métrica del universo${\displaystyle V}$, el conjunto${\displaystyle C}$tiene elementos de diámetro arbitrariamente pequeño. Finalmente, hay exactamente un número real que pertenece a todos los miembros del conjunto.${\displaystyle C}$El filtro genérico${\displaystyle G}$puede reconstruirse a partir de${\displaystyle r_{G}}$como${\displaystyle G=\{p\in P:r_{G}\in {\bar {p}}\}}$.

Si${\displaystyle a\in M^{(\mathbb {P} )}}$es un nombre para${\displaystyle r_{G}}$(es decir,${\displaystyle M[G]\models val(a,G)=r_{G}}$), y para${\displaystyle B\in M}$sostiene${\displaystyle M\models }$"${\displaystyle B}$es un conjunto de Borel de medida 1", entonces por la propiedad de verdad de forzar

${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }a\in {\check {B}}}$

para algunos${\displaystyle p\in G}$Hay un nombre${\displaystyle a}$que satisface

${\displaystyle \operatorname {val} (a,G)\in \bigcup _{p\in G}{\bar {p}}}$

para cualquier filtro genérico${\displaystyle G}$. Por eso${\displaystyle a}$,

${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }a\in {\check {B}}}$

se aplica a cualquier condición${\displaystyle p}$.

Todo conjunto de Borel puede construirse (de forma no única), partiendo de intervalos con extremos racionales y aplicando las operaciones de complemento y unión numerable, un número numerable de veces. El registro de dicha construcción se denomina código de Borel . Dado un conjunto de Borel${\displaystyle B}$en${\displaystyle V}$, se recupera un código Borel y luego se aplica la misma secuencia de construcción en${\displaystyle M[G]}$, consiguiendo un juego de Borel${\displaystyle B^{*}}$Se puede demostrar que se obtiene el mismo conjunto independientemente del código elegido para${\displaystyle B}$y que se conserven las propiedades básicas. Por ejemplo, si${\displaystyle B\subseteq C}$, entonces${\displaystyle B^{*}\subseteq C^{*}}$. Si${\displaystyle B}$tiene medida cero, entonces${\displaystyle B^{*}}$tiene medida cero. Este mapeo${\displaystyle B\mapsto B^{*}}$es inyectivo.

Para cualquier conjunto${\displaystyle B\subseteq [0,1]}$de tal manera que${\displaystyle B\in M}$y${\displaystyle M\models }$"${\displaystyle B}$es un juego de medidas Borel de 1" uno tiene${\displaystyle r_{G}\in B^{*}}$.

Esto significa que${\displaystyle r_{G}}$es una "secuencia aleatoria infinita de 0s y 1s" desde el punto de vista de${\displaystyle M}$lo que significa que satisface todas las pruebas estadísticas del modelo base.${\displaystyle M}$.

Así dado${\displaystyle r_{G}}$, un número real aleatorio, se puede demostrar que

${\displaystyle G=\left\{B~({\text{in }}M)\mid r\in B^{*}~({\text{in }}M[G])\right\}.}$

Debido a esta interdefinibilidad mutua entre${\displaystyle r}$y${\displaystyle G}$, uno generalmente escribe${\displaystyle M[r]}$para${\displaystyle M[G]}$.

Una interpretación diferente de los reales en${\displaystyle M[G]}$fue proporcionado por Dana Scott . Números racionales en${\displaystyle M[G]}$tienen nombres que corresponden a una cantidad numerable de valores racionales distintos asignados a una anticadena máxima de conjuntos de Borel; en otras palabras, una cierta función de valor racional en${\displaystyle I=[0,1]}$. Números reales en${\displaystyle M[G]}$entonces corresponden a cortes de Dedekind de tales funciones, es decir, funciones medibles .

Quizás de forma más clara, el método puede explicarse en términos de modelos booleanos. En estos, a cada enunciado se le asigna un valor de verdad a partir de un álgebra booleana completa sin átomos , en lugar de simplemente un valor verdadero/falso. Luego, se selecciona un ultrafiltro en esta álgebra booleana, que asigna valores verdadero/falso a los enunciados de nuestra teoría. La clave es que la teoría resultante tiene un modelo que contiene este ultrafiltro, el cual puede entenderse como un nuevo modelo obtenido al extender el anterior con este ultrafiltro. Al seleccionar un modelo booleano de manera apropiada, podemos obtener un modelo que posee la propiedad deseada. En él, solo los enunciados que deben ser verdaderos (que se ven obligados a serlo) serán verdaderos, en cierto sentido (dado que posee esta propiedad de extensión/minimalidad).

Al forzar, generalmente buscamos demostrar que alguna oración es consistente con${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$(o, opcionalmente, alguna extensión de${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$). Una forma de interpretar el argumento es asumir que${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$es consistente y luego demostrar que${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$La combinación con la nueva oración también es coherente.

Cada "condición" es una pieza finita de información; la idea es que solo las piezas finitas son relevantes para la consistencia, ya que, por el teorema de compacidad , una teoría es satisfacible si y solo si cada subconjunto finito de sus axiomas es satisfacible. Entonces podemos elegir un conjunto infinito de condiciones consistentes para extender nuestro modelo. Por lo tanto, asumiendo la consistencia de${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$, demostramos la consistencia de${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$extendido por este conjunto infinito.

Según el segundo teorema de incompletitud de Gödel , no se puede probar la consistencia de ninguna teoría formal suficientemente fuerte, como${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$, utilizando únicamente los axiomas de la propia teoría, a menos que la teoría sea inconsistente. En consecuencia, los matemáticos no intentan demostrar la consistencia de${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$utilizando únicamente los axiomas de${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$o para demostrar que${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+H}$es consistente para cualquier hipótesis${\displaystyle H}$utilizando únicamente${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+H}$Por esta razón, el objetivo de una prueba de consistencia es demostrar la consistencia de${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+H}$en relación con la consistencia de${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$. Estos problemas se conocen como problemas de consistencia relativa , uno de los cuales demuestra