Lema del colapso de Mostowski

En lógica matemática , el lema del colapso de Mostowski , también conocido como colapso de Shepherdson-Mostowski , es un teorema de la teoría de conjuntos introducido por Andrzej Mostowski  (1949, teorema 3) y John Shepherdson (1953).

Supongamos que R es una relación binaria en una clase X tal que

• R es similar a un conjunto : R ⁻¹ [ x ] = { y  : y R x } es un conjunto para cada x ,
• R está bien fundado : cada subconjunto no vacío S de X contiene un elemento R -minimal (es decir, un elemento x ∈ S tal que R ⁻¹ [ x ] ∩ S está vacío),
• R es extensional : R ⁻¹ [ x ] ≠ R ⁻¹ [ y ] para cada elemento distinto x e y de X

El lema de colapso de Mostowski establece que para cada R existe una clase transitiva única (posiblemente propia ) cuya estructura bajo la relación de pertenencia es isomorfa a ( X , R ), y el isomorfismo es único. El isomorfismo asigna cada elemento x de X al conjunto de imágenes de elementos y de X tales que y R x (Jech 2003:69).

Toda relación bien fundada de tipo conjunto puede ser incorporada a una relación extensional bien fundada de tipo conjunto. Esto implica la siguiente variante del lema de colapso de Mostowski: toda relación bien fundada de tipo conjunto es isomorfa a la pertenencia a un conjunto en una clase (no única y no necesariamente transitiva).

Una aplicación F tal que F ( x ) = { F ( y ) : y R x } para todo x en X se puede definir para cualquier relación de tipo conjunto bien fundada R en X mediante recursión bien fundada . Proporciona un homomorfismo de R sobre una clase transitiva (no única, en general). El homomorfismo F es un isomorfismo si y solo si R es extensional.

El supuesto de fundamento del lema de Mostowski se puede aliviar o descartar en teorías de conjuntos no bien fundadas . En la teoría de conjuntos de Boffa, cada relación extensional de tipo conjunto es isomorfa a la pertenencia al conjunto en una clase transitiva (no única). En la teoría de conjuntos con el axioma de antifundamento de Aczel , cada relación de tipo conjunto es bisimilar a la pertenencia al conjunto en una clase transitiva única, por lo tanto, cada relación de tipo conjunto mínima de bisimulación es isomorfa a una clase transitiva única.

Todo modelo de conjunto de ZF es extensional y de tipo conjunto. Si el modelo está bien fundado, entonces, según el lema de colapso de Mostowski, es isomorfo a un modelo transitivo de ZF y dicho modelo transitivo es único.

Decir que la relación de pertenencia de algún modelo de ZF está bien fundada es más fuerte que decir que el axioma de regularidad es verdadero en el modelo. Existe un modelo M (suponiendo la consistencia de ZF) cuyo dominio tiene un subconjunto A sin ningún elemento R -minimal, pero este conjunto A no es un "conjunto en el modelo" ( A no está en el dominio del modelo, aunque todos sus miembros lo estén). Más precisamente, para ningún conjunto A existe x en M tal que A = R ⁻¹ [ x ]. Por lo tanto, M satisface el axioma de regularidad (está "internamente" bien fundado), pero no está bien fundado y el lema del colapso no se le aplica.

• Jech, Thomas (2003), Teoría de conjuntos , Springer Monographs in Mathematics (edición del tercer milenio), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-44085-7
• Mostowski, Andrzej (1949), "Un enunciado aritmético indecidible" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 36 (1), Instituto de Matemáticas de la Academia Polaca de Ciencias: 143–164, doi : 10.4064/fm-36-1-143-164
• Shepherdson, John (1953), "Modelos internos para la teoría de conjuntos, Parte III", Journal of Symbolic Logic , 18 (2), Association for Symbolic Logic: 145–167, doi :10.2307/2268947, JSTOR  2268947, S2CID  35526998