Estructura compleja generalizada

Consideremos una variedad N -dimensional M. El fibrado tangente de M , que denotaremos T , es el fibrado vectorial sobre M cuyas fibras consisten en todos los vectores tangentes a M. Una sección de T es un campo vectorial sobre M. El fibrado cotangente de M , denotado T ^* , es el fibrado vectorial sobre M cuyas secciones son 1 -formas sobre M.

En geometría compleja se consideran estructuras en los fibrados tangentes de variedades. En geometría simpléctica, en cambio, se está interesado en potencias exteriores del fibrado cotangente. La geometría generalizada unifica estos dos campos al tratar secciones del fibrado tangente generalizado , que es la suma directa.${\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$de los haces tangente y cotangente, que son sumas formales de un campo vectorial y una 1-forma.

Las fibras están dotadas de un producto interno natural con signatura ( N , N ). Si X e Y son campos vectoriales y ξ y η son 1-formas, entonces el producto interno de X+ξ e Y+η se define como 

${\displaystyle \langle X+\xi ,Y+\eta \rangle ={\frac {1}{2}}(\xi (Y)+\eta (X)).}$

Una estructura casi compleja generalizada es simplemente una estructura casi compleja del fibrado tangente generalizado que conserva el producto interno natural:

${\displaystyle {\mathcal {J}}:\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}\to \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$

de tal manera que${\displaystyle {\mathcal {J}}^{2}=-{\rm {Id}},}$y

${\displaystyle \langle {\mathcal {J}}(X+\xi ),{\mathcal {J}}(Y+\eta )\rangle =\langle X+\xi ,Y+\eta \rangle .}$

Al igual que en el caso de una estructura casi compleja ordinaria , una estructura casi compleja generalizada está determinada de forma única por su${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$- haz propio , es decir, un subhaz${\displaystyle L}$del haz tangente generalizado complejizado${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$ dado por

${\displaystyle L=\{X+\xi \in (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} \$ :\ {\mathcal {J}}(X+\xi )={\sqrt {-1}}(X+\xi )\}}

Dicho subfibrado L satisface las siguientes propiedades:

Recíprocamente, cualquier subbanda L que satisfaga (i), (ii) es la${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$-haz de autovalores de una estructura casi compleja generalizada única, de modo que las propiedades (i), (ii) pueden considerarse como una definición alternativa de estructura casi compleja generalizada.

En geometría compleja ordinaria, una estructura casi compleja es integrable a una estructura compleja si y solo si el corchete de Lie de dos secciones del subfibrado holomorfo es otra sección del subfibrado holomorfo.

En geometría compleja generalizada, uno no está interesado en campos vectoriales, sino más bien en las sumas formales de campos vectoriales y formas de orden. Un tipo de corchete de Lie para tales sumas formales fue introducido en 1990 y se llama corchete de Courant que se define por

${\displaystyle [X+\xi ,Y+\eta ]=[X,Y]+{\mathcal {L}}_{X}\eta -{\mathcal {L}}_{Y}\xi -{\frac {1}{2}}d(i(X)\eta -i(Y)\xi )}$

dónde${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$es la derivada de Lie a lo largo del campo vectorial X , d es la derivada exterior e i es el producto interior .

Una estructura compleja generalizada es una estructura casi compleja generalizada tal que el espacio de secciones suaves de L es cerrado bajo el corchete de Courant.

Existe una correspondencia uno a uno entre el subhaz isotrópico máximo de${\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$y pares${\displaystyle (\mathbf {E} ,\varepsilon )}$donde E es un subconjunto de T y${\displaystyle \varepsilon }$es una 2-forma. Esta correspondencia se extiende directamente al caso complejo.

Dado un par${\displaystyle (\mathbf {E} ,\varepsilon )}$se puede construir un subhaz máximo isotrópico${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$de${\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$de la siguiente manera. Los elementos del subpaquete son las sumas formales.${\displaystyle X+\xi }$donde el campo vectorial X es una sección de E y la 1-forma ξ está restringida al espacio dual${\displaystyle \mathbf {E} ^{*}}$es igual a la forma única${\displaystyle \varepsilon (X).}$

Para ver eso${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$es isotrópico, observe que si Y es una sección de E y${\displaystyle \xi }$restringido a${\displaystyle \mathbf {E} ^{*}}$es${\displaystyle \varepsilon (X)}$entonces${\displaystyle \xi (Y)=\varepsilon (X,Y),}$como parte de${\displaystyle \xi }$ortogonal a${\displaystyle \mathbf {E} ^{*}}$aniquila a Y. Por lo tanto, si${\displaystyle X+\xi }$y${\displaystyle Y+\eta }$son secciones de${\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$entonces

${\displaystyle \langle X+\xi ,Y+\eta \rangle ={\frac {1}{2}}(\xi (Y)+\eta (X))={\frac {1}{2}}(\varepsilon (Y,X)+\varepsilon (X,Y))=0}$

y entonces${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$es isotrópico. Además,${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$es máximo porque hay${\displaystyle \dim(\mathbf {E} )}$Dimensiones (complejas) de las opciones para${\displaystyle \mathbf {E} ,}$y${\displaystyle \varepsilon }$no está restringido en el complemento de${\displaystyle \mathbf {E} ^{*},}$que es de dimensión (compleja)${\displaystyle n-\dim(\mathbf {E} ).}$Por lo tanto, la dimensión total (compleja) es n . Gualtieri ha demostrado que todos los subfibrados isotrópicos máximos son de la forma${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$para algunos${\displaystyle \mathbf {E} }$y${\displaystyle \varepsilon .}$

El tipo de un subhaz isotrópico máximo${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$es la dimensión real del subfibrado que aniquila a E. Equivalentemente, es 2N menos la dimensión real de la proyección de${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$sobre el fibrado tangente T. En otras palabras, el tipo de un subfibrado isotrópico maximal es la codimensión de su proyección sobre el fibrado tangente. En el caso complejo se utiliza la dimensión compleja y el tipo a veces se denomina tipo complejo . Si bien el tipo de un subfibrado puede en principio ser cualquier entero entre 0 y 2N , las estructuras casi complejas generalizadas no pueden tener un tipo mayor que N porque la suma del subfibrado y su conjugado complejo debe ser todo${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$

El tipo de un subfibrado isotrópico máximo es invariante bajo difeomorfismos y también bajo desplazamientos del campo B , que son isometrías de${\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$de la forma

${\displaystyle X+\xi \longrightarrow X+\xi +i_{X}B}$

donde B es una 2-forma cerrada arbitraria llamada campo B en la literatura de la teoría de cuerdas .

El tipo de una estructura casi compleja generalizada no es constante en general, puede variar en cualquier número entero par . Sin embargo, es semicontinua superiormente , lo que significa que cada punto tiene un entorno abierto en el que el tipo no aumenta. En la práctica, esto implica que subconjuntos de tipo mayor que el tipo ambiente aparecen en subvariedades con codimensión positiva .

El índice real r de un subespacio isotrópico maximal L es la dimensión compleja de la intersección de L con su conjugado complejo. Un subespacio isotrópico maximal de${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$es una estructura casi compleja generalizada si y solo si r = 0.

El fibrado canónico es un subfibrado de dimensión compleja unidimensional del fibrado${\displaystyle \mathbf {\Lambda } ^{*}\mathbf {T} \otimes \mathbb {C} }$de formas diferenciales complejas en M. Recordemos que las matrices gamma definen un isomorfismo entre formas diferenciales y espinores. En particular, las formas pares e impares se corresponden con las dos quiralidades de los espinores de Weyl . Los vectores tienen una acción sobre las formas diferenciales dada por el producto interior. Las 1-formas tienen una acción sobre las formas dada por el producto exterior. Por lo tanto, secciones del fibrado${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$Actúa sobre formas diferenciales. Esta acción es una representación de la acción del álgebra de Clifford sobre espinores.

Se dice que un espinor es un espinor puro si es anulado por la mitad de un conjunto de generadores del álgebra de Clifford. Los espinores son secciones de nuestro fibrado.${\displaystyle \mathbf {\Lambda } ^{*}\mathbf {T} ,}$y los generadores del álgebra de Clifford son las fibras de nuestro otro fibrado.${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$Por lo tanto, un espinor puro dado es aniquilado por un subfibrado semidimensional E de${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$Tales subhaces son siempre isotrópicos, por lo que para definir una estructura casi compleja solo hay que imponer que la suma de E y su conjugado complejo sea todo${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$Esto se cumple siempre que el producto exterior del espinor puro y su conjugado complejo contenga un componente de dimensión superior. Dichos espinores puros determinan estructuras casi complejas generalizadas.

Dada una estructura casi compleja generalizada, también se puede determinar un espinor puro salvo multiplicación por una función compleja arbitraria . Estas elecciones de espinores puros se definen como las secciones del fibrado canónico.

Si un espinor puro que determina una estructura compleja particular es cerrado , o más generalmente si su derivada exterior es igual a la acción de una matriz gamma sobre sí misma, entonces la estructura casi compleja es integrable y, por lo tanto, dichos espinores puros corresponden a estructuras complejas generalizadas.

Si además se impone que el fibrado canónico es holomorfamente trivial, lo que significa que son secciones globales las que son formas cerradas, entonces define una estructura generalizada de Calabi-Yau y se dice que M es una variedad generalizada de Calabi-Yau .

Localmente, todos los espinores puros pueden escribirse de la misma forma, dependiendo de un entero k , la 2-forma B del campo B , una forma simpléctica no degenerada ω y una k -forma Ω. En un entorno local de cualquier punto, un espinor puro Φ que genera el fibrado canónico siempre puede escribirse de la forma

${\displaystyle \Phi =e^{B+i\omega }\Omega }$

donde Ω se puede descomponer como el producto exterior de formas de orden 1.

Defina el subhaz E del haz tangente complejizado.${\displaystyle \mathbf {T} \otimes \mathbb {C} }$ser la proyección del subfibrado holomorfo L de${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$a${\displaystyle \mathbf {T} \otimes \mathbb {C} .}$En la definición de una estructura casi compleja generalizada hemos impuesto que la intersección de L y su conjugado contiene solo el origen, de lo contrario no podrían abarcar la totalidad de${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$Sin embargo, la intersección de sus proyecciones no tiene por qué ser trivial. En general, esta intersección tiene la forma

${\displaystyle E\cap {\overline {E}}=\Delta \otimes \mathbb {C} }$

para algún subfibrado Δ. Un punto que tiene un entorno abierto en el que la dimensión de las fibras de Δ es constante se denomina punto regular .

Cada punto regular en una variedad compleja generalizada tiene un entorno abierto que, después de un difeomorfismo y un desplazamiento del campo B, tiene la misma estructura compleja generalizada que el producto cartesiano del espacio vectorial complejo.${\displaystyle \mathbb {C} ^{k}}$y el espacio simpléctico estándar${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n-2k}}$con la forma simpléctica estándar, que es la suma directa de dos matrices fuera de la diagonal con entradas 1 y −1.

Cerca de puntos no regulares, el teorema de clasificación anterior no se aplica. Sin embargo, alrededor de cualquier punto, una variedad compleja generalizada es, salvo difeomorfismo y campo B, un producto de una variedad simpléctica con una variedad compleja generalizada de tipo complejo en dicho punto, de forma muy similar al teorema de Weinstein para la estructura local de las variedades de Poisson . La cuestión restante sobre la estructura local es: ¿cómo es una estructura compleja generalizada cerca de un punto de tipo complejo? De hecho, estará inducida por una estructura de Poisson holomorfa .

El espacio de formas diferenciales complejas${\displaystyle \mathbf {\Lambda } ^{*}\mathbf {T} \otimes \mathbb {C} }$tiene una operación de conjugación compleja dada por la conjugación compleja en${\displaystyle \mathbb {C} .}$Esto permite definir formas holomorfas y antiholomorfas , así como formas ( m , n ), que son polinomios homogéneos en dichas formas con m factores holomorfos y n factores antiholomorfos. En particular, todas las formas ( n , 0) están relacionadas localmente por la multiplicación por una función compleja, formando así un fibrado lineal complejo.

Las ( n , 0)-formas son espinores puros, ya que son aniquiladas por vectores tangentes antiholomorfos y por 1-formas holomorfas. Por lo tanto, este fibrado de líneas puede usarse como un fibrado canónico para definir una estructura compleja generalizada. Restringiendo el aniquilador de${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$al fibrado tangente complejizado se obtiene el subespacio de campos vectoriales antiholomorfos. Por lo tanto, esta estructura compleja generalizada en${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$define una estructura compleja ordinaria en el fibrado tangente.

Como solo la mitad de una base de campos vectoriales son holomorfos, estas estructuras complejas son de tipo N. De hecho, las variedades complejas, y las variedades obtenidas al multiplicar el fibrado espinorial puro que define una variedad compleja por un complejo,${\displaystyle \partial }$-forma cerrada (2,0), son las únicas variedades complejas generalizadas de tipo N.

El haz de espinores puros generado por

${\displaystyle \phi =e^{i\omega }}$

Para una 2-forma no degenerada ω, se define una estructura simpléctica en el espacio tangente. Por lo tanto, las variedades simplécticas son también variedades complejas generalizadas.

El espinor puro mencionado anteriormente está definido globalmente, por lo que el fibrado canónico es trivial. Esto significa que las variedades simplécticas no solo son variedades complejas generalizadas, sino que, de hecho, son variedades de Calabi-Yau generalizadas.

El espinor puro${\displaystyle \phi }$está relacionado con un espinor puro que es simplemente un número por un desplazamiento imaginario del campo B, que es un desplazamiento de la forma de Kähler . Por lo tanto, estas estructuras complejas generalizadas son del mismo tipo que las que corresponden a un espinor puro escalar . Un escalar es aniquilado por todo el espacio tangente, y por lo tanto estas estructuras son de tipo 0 .

Salvo un desplazamiento del campo B, que corresponde a multiplicar el espinor puro por la exponencial de una 2-forma real cerrada, las variedades simplécticas son las únicas variedades complejas generalizadas de tipo 0. Las variedades que son simplécticas salvo un desplazamiento del campo B se denominan a veces B-simplécticas .

Nótese que una estructura métrica de Calabi generalizada, introducida por Marco Gualtieri, es una condición más fuerte que una estructura de Calabi - Yau generalizada, introducida por Nigel Hitchin . En particular, una estructura métrica de Calabi - Yau generalizada implica la existencia de dos estructuras casi complejas generalizadas conmutativas.