Suma directa de matrices

La suma directa de dos matrices es la matriz diagonal donde las esquinas superior izquierda e inferior derecha de la matriz llenan las dos matrices dadas, y donde las esquinas superior derecha e inferior izquierda son todas ceros .

La suma directa de cualquier par de matrices A de tamaño m × n y B de tamaño p × q es una matriz de tamaño ( m + p ) × ( n + q ) definida como: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&\mathbf {B} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}}$

Por ejemplo,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

La suma directa de matrices es un tipo especial de matriz de bloques . En particular, la suma directa de matrices cuadradas es una matriz diagonal de bloques .

La matriz de adyacencia de la unión de grafos disjuntos (o multigrafos ) es la suma directa de sus matrices de adyacencia. Cualquier elemento de la suma directa de dos espacios vectoriales de matrices puede representarse como una suma directa de dos matrices.

En general, la suma directa de n matrices es: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{n}\mathbf {A} _{i}=\operatorname {diag} (\mathbf {A} _{1},\mathbf {A} _{2},\mathbf {A} _{3},\ldots ,\mathbf {A} _{n})={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}&{\boldsymbol {0}}&\cdots &{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&\mathbf {A} _{2}&\cdots &{\boldsymbol {0}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {0}}&\cdots &\mathbf {A} _{n}\\\end{bmatrix}}\,\!}$

donde los ceros son en realidad bloques de ceros (es decir, matrices de ceros).

• Suma de matrices
• suma de Kronecker

• Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (2017). Esquema de álgebra lineal de Schaum (6  ed.). Educación McGraw-Hill. ISBN 9781260011449.

• Suma directa de matrices en PlanetMath .
• Disparates abstractos: Suma directa de transformaciones lineales y suma directa de matrices