Par de gelfand

En matemáticas , un par de Gelfand es un par ( G , K  ) que consiste en un grupo G y un subgrupo K (llamado subgrupo de Euler de G ) que satisface una cierta propiedad en representaciones restringidas . La teoría de pares de Gelfand está estrechamente relacionada con el tema de las funciones esféricas en la teoría clásica de funciones especiales , y con la teoría de espacios simétricos de Riemann en geometría diferencial . En términos generales, la teoría existe para abstraer de estas teorías su contenido en términos de análisis armónico y teoría de la representación .

Cuando G es un grupo finito , la definición más simple es, en términos generales, que las clases laterales  dobles ( K , K ) en G conmutan. Más precisamente, el álgebra de Hecke , el álgebra de funciones en G que son invariantes bajo la traslación en ambos lados por K , debería ser conmutativa para la convolución en G .

En general, la definición de par Gelfand es aproximadamente que la restricción a K de cualquier representación irreducible de G contiene la representación trivial de K con multiplicidad no mayor que 1. En cada caso, se debe especificar la clase de representaciones consideradas y el significado de "contiene".

En cada área, la clase de representaciones y la definición de contención de las representaciones es ligeramente diferente. Aquí se dan definiciones explícitas de varios de estos casos.

Cuando G es un grupo finito, son equivalentes:

• ( G , K ) es un par Gelfand.
• El álgebra de funciones ( K , K )-dobles invariantes en G con multiplicación definida por convolución es conmutativa.
• Para cualquier representación irreducible π de G , el espacio π ^K de K - vectores invariantes en π no es más que unidimensional.
• Para cualquier representación irreducible π de G , la dimensión de Hom _K ( π , C ) es menor o igual a 1, donde C denota la representación trivial .
• La representación de permutación de G en los clases laterales de K no tiene multiplicidad, es decir, se descompone en una suma directa de representaciones distintas absolutamente irreducibles en característica cero.
• El álgebra centralizadora ( álgebra de Schur ) de la representación de permutación es conmutativa.
• ( G / N , K / N ) es un par Gelfand, donde N es un subgrupo normal de G contenido en K .

Cuando G es un grupo topológico compacto , los siguientes son equivalentes:

• ( G , K ) es un par Gelfand.
• El álgebra de medidas continuas de soporte compacto , doblemente invariantes ( K , K ) en G con multiplicación definida por convolución es conmutativa.
• Para cualquier representación continua , localmente convexa e irreducible π de G , el espacio π ^K de K - vectores invariantes en π no es más que unidimensional.
• Para cualquier representación continua, localmente convexa e irreducible π de G , la dimensión de Hom _K ( π , C ) es menor o igual a 1.
• La representación L ² ( G / K ) de G no tiene multiplicidad; es decir, es una suma directa de representaciones unitarias irreducibles distintas.

Cuando G es un grupo de Lie y K es un subgrupo compacto , los siguientes son equivalentes:

• ( G , K ) es un par Gelfand.
• El álgebra de medidas continuas de soporte compacto , doblemente invariantes ( K , K ) en G con multiplicación definida por convolución es conmutativa.
• El álgebra D ( G / K ) ^K de operadores diferenciales K -invariantes en G / K es conmutativa.
• Para cualquier representación continua , localmente convexa e irreducible π de G , el espacio π ^K de K - vectores invariantes en π no es más que unidimensional.
• Para cualquier representación continua, localmente convexa e irreducible π de G , la dimensión de Hom _K ( π , C ) es menor o igual a 1.
• La representación L ² ( G / K ) de G no tiene multiplicidad; es decir, es una integral directa de distintas representaciones unitarias irreducibles.

Para una clasificación de dichos pares de Gelfand, véase ^{[1] .}

Ejemplos clásicos de tales pares Gelfand son ( G , K ), donde G es un grupo de Lie reductivo y K es un subgrupo compacto maximal .

Cuando G es un grupo topológico localmente compacto y K es un subgrupo compacto, los siguientes son equivalentes:

• ( G , K ) es un par Gelfand.
• El álgebra de medidas continuas de soporte compacto , doblemente invariantes ( K , K ) en G con multiplicación definida por convolución es conmutativa.
• Para cualquier representación irreducible localmente convexa continua π de G , el espacio π ^K de K - vectores invariantes en π no es más que unidimensional.
• Para cualquier representación continua, localmente convexa e irreducible π de G , la dimensión de Hom _K ( π , C ) es menor o igual a 1.
• La representación L ² ( G / K ) de G no tiene multiplicidad; es decir, es una integral directa de distintas representaciones unitarias irreducibles.

En ese contexto, G tiene una descomposición de Iwasawa - Monod , es decir , G = KP para algún subgrupo susceptible P de G. ^[2] Este es el análogo abstracto de la descomposición de Iwasawa de grupos de Lie semisimples .

Cuando G es un grupo de Lie y K es un subgrupo cerrado , el par ( G , K ) se denomina par de Gelfand generalizado si para cualquier representación unitaria irreducible π de G en un espacio de Hilbert , la dimensión de Hom _K ( π , C ) es menor o igual a 1, donde π ^∞ denota la subrepresentación de vectores suaves .

Cuando G es un grupo reductivo sobre un campo local y K es un subgrupo cerrado, hay tres nociones (posiblemente no equivalentes) del par Gelfand que aparecen en la literatura:

( GP1 ) Para cualquier representación admisible irreducible π de G , la dimensión de Hom _K ( π , C ) es menor o igual a 1.

( GP2 ) Para cualquier representación admisible irreducible π de G , tenemos , donde denota el dual suave . ${\textstyle \dim \operatorname {Hom} _{K}(\pi ,\mathbf {C} )\cdot \dim \operatorname {Hom} _{K}({\tilde {\pi }},\mathbf { C} )\leq 1}$${\displaystyle {\tilde {\pi }}}$

( GP3 ) Para cualquier representación unitaria irreducible π de G en un espacio de Hilbert , la dimensión de Hom _K ( π , C ) es menor o igual a 1.

Aquí, representación admisible es la noción usual de representación admisible cuando el cuerpo local no es arquimediano . Cuando el cuerpo local es arquimediano, representación admisible significa en cambio representación de Fréchet suave de crecimiento moderado tal que el módulo de Harish-Chandra correspondiente es admisible .

Si el campo local es arquimediano, entonces GP3 es lo mismo que la propiedad Gelfand generalizada definida en el caso anterior.

Claramente, GP1 ⇒ GP2 ⇒ GP3 .

Un par ( G , K ) se denomina par Gelfand fuerte si el par ( G × K , Δ K ) es un par Gelfand, donde Δ K ≤ G × K es el subgrupo diagonal: . A veces, esta propiedad también se denomina propiedad de multiplicidad de uno . ${\textstyle \{(k,k)\en G\times K:k\en K\}}$

Cada uno de los casos anteriores se puede adaptar a pares Gelfand fuertes. Por ejemplo, supongamos que G es un grupo finito. En ese caso, los siguientes son equivalentes:

• ( G , K ) es un par Gelfand fuerte.
• El álgebra de funciones en G invariante con respecto a la conjugación por K (con multiplicación definida por convolución) es conmutativa.
• Para cualquier representación irreducible π de G y τ de K , el espacio Hom _K ( τ , π ) no es más que unidimensional.
• Para cualquier representación irreducible π de G y τ de K , el espacio Hom _K ( π , τ ) no es más que unidimensional.

En este caso, existe un criterio clásico debido a Gelfand para que el par ( G , K ) sea Gelfand: supongamos que existe un antiautomorfismo involutivo σ de G tal que cualquier clase doble ( K , K ) es σ -invariante. Entonces el par ( G , K ) es un par Gelfand.

Este criterio es equivalente al siguiente: Supóngase que existe un antiautomorfismo involutivo σ de G tal que cualquier función en G que sea invariante con respecto a las traslaciones tanto a la derecha como a la izquierda de K es σ -invariante. Entonces el par ( G , K ) es un par Gelfand.

En este caso, existe un criterio debido a Gelfand y Kazhdan para que el par ( G , K ) satisfaga GP2 . Supóngase que existe un antiautomorfismo involutivo σ de G tal que cualquier distribución ( K , K )-doble invariante en G es σ -invariante. Entonces el par ( G , K ) satisface GP2 (véase ^{[3] [4] [5]} ).

Si la afirmación anterior sólo es válida para distribuciones definidas positivas , entonces el par satisface GP3 (véase el siguiente caso).

La propiedad GP1 suele derivarse de GP2 . Por ejemplo, esto se cumple si existe un antiautomorfismo involutivo de G que preserva K y preserva toda clase de conjugación cerrada. Para G = GL( n ), la transposición puede servir como tal involución.

En este caso, existe el siguiente criterio para que el par ( G , K ) sea un par Gelfand generalizado. Supóngase que existe un antiautomorfismo involutivo σ de G tal que cualquier distribución definida positiva invariante K × K en G es σ -invariante. Entonces el par ( G , K ) es un par Gelfand generalizado (véase ^[6] ).

Todos los criterios anteriores se pueden convertir en criterios para pares Gelfand fuertes reemplazando la acción bilateral de K × K por la acción de conjugación de K .

Un par ( G , K ) se denomina par Gelfand trenzado con respecto al carácter χ del grupo K , si la propiedad Gelfand se cumple cuando la representación trivial se reemplaza por el carácter χ. Por ejemplo, en el caso en que K es compacto, significa que la dimensión de Hom _K ( π , χ) es menor o igual a 1. El criterio para pares Gelfand se puede adaptar al caso de pares Gelfand trenzados. ^{[ cita requerida ]}

La propiedad de Gelfand se cumple a menudo con pares simétricos . Un par ( G , K ) se denomina par simétrico si existe un automorfismo involutivo θ de G tal que K es una unión de componentes conexos del grupo de elementos θ -invariantes: G ^θ .

Si G es un grupo reductivo conexo sobre R y K  =  G ^θ es un subgrupo compacto, entonces ( G , K ) es un par de Gelfand. Ejemplo: G  = GL( n , R ) y K  = O( n , R ), el subgrupo de matrices ortogonales .

En general, resulta interesante saber cuándo un par simétrico de un grupo reductivo sobre un campo local tiene la propiedad de Gelfand. Para investigaciones de pares simétricos de rango uno, véase. ^{[7] [8]}

Un ejemplo de par simétrico de Gelfand de alto rango es . Esto se demostró en ^[9] sobre cuerpos locales no arquimedianos y más tarde en ^[10] para todos los cuerpos locales de característica cero. ${\textstyle ({\text{GL}}(n+k),{\text{GL}}(n)\times {\text{L}}(k))}$

Para obtener más detalles sobre esta cuestión para pares simétricos de alto rango, consulte. ^[11]

En el contexto de los grupos algebraicos , los análogos de los pares de Gelfand se denominan pares esféricos . Es decir, un par ( G , K ) de grupos algebraicos se denomina par esférico si se cumple una de las siguientes condiciones equivalentes:

• Existe una clase lateral abierta ( B , K ) -doble en G , donde B es el subgrupo de Borel de G.
• Hay un número finito de clases laterales dobles ( B , K ) en G .
• Para cualquier representación algebraica π de G , tenemos .${\displaystyle {\text{dim}}\ \pi ^{K}\leq 1}$

En este caso el espacio G / H se llama espacio esférico .

Se conjetura que cualquier par esférico ( G , K ) sobre un cuerpo local satisface la siguiente versión débil de la propiedad de Gelfand: Para cualquier representación admisible π de G , el espacio Hom _K ( π , C ) es de dimensión finita; además, el límite para esta dimensión no depende de π . Esta conjetura se demuestra para una gran clase de pares esféricos que incluyen todos los pares simétricos. ^[12]

Los pares Gelfand se utilizan a menudo para la clasificación de representaciones irreducibles de la siguiente manera:

Sea ( G , K ) un par de Gelfand. Una representación irreducible de G se llama K -distinguible si Hom _K ( π , C ) es unidimensional. La representación Ind^G
_K( C ) es un modelo para todas las representaciones K -distinguidas, es decir, cualquier representación K -distinguida aparece allí con una multiplicidad exactamente 1. Una noción similar existe para los pares Gelfand trenzados.

Ejemplo: Si G es un grupo reductivo sobre un cuerpo local y K es su subgrupo compacto máximo, entonces las representaciones con K -distinguibles se denominan esféricas y dichas representaciones se pueden clasificar mediante la correspondencia de Satake. La noción de representación esférica se encuentra en la base de la noción de módulo de Harish-Chandra .

Ejemplo: Si G es un grupo reductivo dividido sobre un cuerpo local y K es su subgrupo unipotente máximo, entonces el par ( G , K ) es un par de Gelfand trenzado con respecto a cualquier carácter no degenerado ψ (ver ^{[3] [13]} ). En este caso, las representaciones distinguidas por K se denominan genéricas (o no degeneradas) y son fáciles de clasificar. Casi cualquier representación irreducible es genérica. La incrustación única (hasta escalar) de una representación genérica en Ind^G
_K( ψ ) se llama modelo de Whittaker .

En el caso de G = GL( n ) hay una versión más fina del resultado anterior; es decir, existe una secuencia finita de subgrupos K _i y caracteres tales que ( G , K _i ) es un par Gelfand trenzado con respecto a y cualquier representación unitaria irreducible es K _i distinguida por exactamente un i (véase ^{[14] [15]} ). ${\displaystyle \psi_{i}}$${\displaystyle \psi_{i}}$

También se pueden utilizar pares Gelfand para construir bases para representaciones irreducibles.

Supongamos que tenemos una secuencia tal que es un par Gelfand fuerte. Para simplificar, supongamos que G _n es compacto. Entonces esto da una descomposición canónica de cualquier representación irreducible de G _n en subrepresentaciones unidimensionales. Cuando G _n = U( n ) (el grupo unitario), esta construcción se llama base de Gelfand–Zeitlin. Dado que las representaciones de U( n ) son las mismas que las representaciones algebraicas de GL( n ), también obtenemos una base de cualquier representación algebraica irreducible de GL( n ). Sin embargo, la base construida no es canónica ya que depende de la elección de las incrustaciones . ${\textstyle \{1\}\subset G_{1}\subset \cdots \subset G_{n}}$${\textstyle (G_{i},G_{i-1})}$${\textstyle U(i)\subset U(i+1)}$

Un uso más reciente de los pares Gelfand es la división de períodos de formas automórficas.

Sea G un grupo reductivo definido sobre un cuerpo global F y sea K un subgrupo algebraico de G. Supóngase que para cualquier lugar de F , el par ( G , K ) es un par Gelfand sobre la completitud . Sea m una forma automórfica sobre G , entonces su H -periodo se divide como un producto de factores locales (es decir, factores que dependen solo del comportamiento de m en cada lugar ). ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle F_{\nu }}$${\displaystyle \nu }$

Ahora supongamos que se nos da una familia de formas automorfas con un parámetro complejo  s . Entonces, el período de esas formas es una función analítica que se descompone en un producto de factores locales. A menudo, esto significa que esta función es una determinada función L y esto da una continuación analítica y una ecuación funcional para esta función L.

Generalmente estos periodos no convergen y conviene regularizarlos. ^{[ cita requerida ]}

Un enfoque posible para la teoría de la representación es considerar la teoría de la representación de un grupo G como un análisis armónico sobre el grupo G con respecto a la acción bilateral de G × G . De hecho, conocer todas las representaciones irreducibles de G es equivalente a conocer la descomposición del espacio de funciones en G como una representación G × G . En este enfoque, la teoría de la representación se puede generalizar reemplazando el par ( G × G , G ) por cualquier par esférico ( G , K ). Entonces seremos llevados a la cuestión del análisis armónico sobre el espacio G / K con respecto a la acción de G .

Ahora bien, la propiedad de Gelfand para el par ( G , K ) es un análogo del lema de Schur .

Con este enfoque, cualquier concepto de la teoría de la representación se puede generalizar al caso del par esférico. Por ejemplo, la fórmula de la traza relativa se obtiene a partir de la fórmula de la traza mediante este procedimiento.

Algunos ejemplos comunes de pares Gelfand son:

• ${\displaystyle ({\text{Sym}}(n+1),\ {\text{Sym}}(n))}$, el grupo simétrico que actúa sobre n +1 puntos y un estabilizador puntual que es naturalmente isomorfo a n en n puntos.
• ${\displaystyle ({\text{AGL}}(n,q),\ {\text{GL}}(n,q))}$, el grupo afín (lineal general) y un estabilizador puntual que es naturalmente isomorfo al grupo lineal general .

Si ( G , K ) es un par Gelfand, entonces ( G / N , K / N ) es un par Gelfand para cada G - subgrupo normal N de K . Para muchos propósitos es suficiente considerar K sin ninguno de esos subgrupos normales no identidad. La acción de G sobre las clases laterales de K es, por lo tanto, fiel, por lo que uno está considerando grupos de permutación G con estabilizadores puntuales K . Ser un par Gelfand es equivalente a para cada χ en Irr( G ). Dado que por reciprocidad de Frobenius y es el carácter de la acción de permutación, un grupo de permutación define un par Gelfand si y solo si el carácter de permutación es un llamado carácter de permutación libre de multiplicidad . Tales caracteres de permutación libres de multiplicidad se determinaron para los grupos esporádicos en (Breuer & Lux 1996). ${\displaystyle [1_{K},\chi \downarrow _{K}^{G}]\leq 1}$${\displaystyle [1_{K},\chi \downarrow _{K}^{G}]=[1\uparrow _{K}^{G},\chi ]}$${\displaystyle 1\uparrow _{K}^{G}}$

Esto da lugar a una clase de ejemplos de grupos finitos con pares Gelfand: los grupos 2-transitivos . Un grupo de permutación G es 2-transitivo si el estabilizador K de un punto actúa transitivamente sobre los puntos restantes. En particular, G el grupo simétrico sobre n +1 puntos y K el grupo simétrico sobre n puntos forman un par Gelfand para cada n  ≥ 1. Esto se deduce porque el carácter de una acción de permutación 2-transitiva es de la forma 1+ χ para algún carácter irreducible χ y el carácter trivial  1, (Isaacs 1994, p. 69).

De hecho, si G es un grupo de permutación transitiva cuyo estabilizador puntual K tiene como máximo cuatro órbitas (incluida la órbita trivial que contiene solo el punto estabilizado), entonces su anillo de Schur es conmutativo y ( G , K ) es un par Gelfand (Wielandt 1964, p. 86). Si G es un grupo primitivo de grado dos veces primo con estabilizador puntual K , entonces nuevamente ( G , K ) es un par Gelfand (Wielandt 1964, p. 97).

Los pares de Gelfand (Sym( n ), K ) se clasificaron en (Saxl 1981). En términos generales, K debe estar contenido como un subgrupo de índice pequeño en uno de los siguientes grupos a menos que n sea menor que 18:

• Sím( n − k ) × Sím( k )
• Sym( n /2) wr Sym(2), Sym(2) wr Sym( n /2) para n par ^{[ aclaración necesaria ]}
• Sym( n − 5) × AGL(1,5)
• Sim( n − 6) × PGL(2,5)
• Sym( n − 9) × PΓL(2,8)

También se han investigado pares Gelfand para grupos clásicos.

• (GL( n , R ), O( n , R ))
• (GL( n , C ), U( n ))
• (O( n  +  k , R ), O( n , R ) × O( k , R ))
• (U( n  +  k ), U( n ) × U( k ))
• ( G , K ) donde G es un grupo de Lie reductivo y K es un subgrupo compacto maximalista

Sea F un campo local de característica cero.

• (SL( n  + 1, F ), GL( n , F )) para n > 5
• (Sp(2 n  + 2, F ), Sp(2 n , F )) × Sp(2, F )) para n > 4
• (SO( V ⊕ F ), SO( V )) donde V es un espacio vectorial sobre F con una forma cuadrática no degenerada

Sea F un cuerpo local de característica cero. Sea G un grupo reductivo sobre F. Los siguientes son ejemplos de pares Gelfand simétricos de alto rango:

• ( G × G , Δ G ), se sigue del lema de Schur
• (GL( norte  +  k , F ), GL( norte , F ) × GL( k , F )) ^{[9] [10]}
• (GL(2 n , F ), Sp(2 n , F )) ^{[16] [17]}
• (O( n  +  k , C ), O( n , C ) × O( k , C )) ^[18]
• (GL ( norte , C ), O ( norte , C )) ^[18]
• (GL( n , E ), GL( n , F )) donde E es una extensión cuadrática de F ^{[11] [19]}

Los siguientes pares son pares Gelfand fuertes:

• (Sym( n  + 1), Sym( n )), demostrado usando el antiautomorfismo involutivo g ↦ g ⁻¹
• (GL( n  + 1, F ), GL( n , F )) donde F es un campo local de característica cero ^{[20] [21] [22]}
• (O( V ⊕ F ), O( V )) donde V es un espacio vectorial sobre F con una forma cuadrática no degenerada ^{[20] [22]}
• U( V ⊕ E ), U( V )) donde E es una extensión cuadrática de F y V es un espacio vectorial sobre E con una forma hermítica no degenerada ^{[20] [22]}

Estos cuatro ejemplos pueden reformularse como la afirmación de que los siguientes son pares Gelfand:

• (Sym( n  + 1) × Sym( n ), Δ Sym( n ))
• (GL( norte  + 1, F ) × GL( norte , F ), Δ GL( norte , F ))
• (O( V ⊕ F ) × O( V ), Δ O( V ))
• (U( V ⊕ mi ) × U( V ), Δ U( V ))

• Función esférica

• Breuer, T.; Lux, K. (1996), "Los caracteres de permutación sin multiplicidad de los grupos simples esporádicos y sus grupos de automorfismo", Communications in Algebra , 24 (7): 2293–2316, doi :10.1080/00927879608825701, MR  1390375
• Isaacs, I. Martin (1994), Teoría del carácter de grupos finitos , Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-68014-9, Sr.  0460423
• Saxl, Jan (1981), "Sobre representaciones de permutaciones sin multiplicidad", Geometrías y diseños finitos (Proc. Conf., Chelwood Gate, 1980) , London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 49, Cambridge University Press , págs. 337–353, MR  0627512
• van Dijk, Gerrit (2009), Introducción al análisis armónico y pares Gelfand generalizados , De Gruyter studies in mathematics, vol. 36, Walter de Gruyter, ISBN 978-3-11-022019-3
• Wielandt, Helmut (1964), Grupos de permutación finitos , Boston, MA: Academic Press , MR  0183775