Módulo Harish-Chandra

En matemáticas , específicamente en la teoría de representación de grupos de Lie , un módulo de Harish-Chandra , llamado así en honor al matemático y físico indio-estadounidense Harish-Chandra , es una representación de un grupo de Lie real , asociada a una representación general, con condiciones de regularidad y finitud. Cuando la representación asociada es un${\displaystyle ({\mathfrak {g}},K)}$-módulo, entonces su módulo de Harish-Chandra es una representación con propiedades de factorización deseables.

Sea G un grupo de Lie y K un subgrupo compacto de G. Si${\displaystyle (\pi ,V)}$es una representación de G , entonces el módulo de Harish-Chandra de${\displaystyle \pi }$es el subespacio X de V que consta de los vectores suaves K-finitos en V. Esto significa que X incluye exactamente aquellos vectores v tales que el mapa${\displaystyle \varphi _ {v}:G\longrightarrow V}$a través de

${\displaystyle \varphi _ {v}(g)=\pi (g)v}$

es suave y el subespacio

${\displaystyle {\text{span}}\{\pi (k)v:k\in K\}}$

es de dimensión finita.

En 1973, Lepowsky demostró que cualquier irreductible${\displaystyle ({\mathfrak {g}},K)}$-módulo X es isomorfo al módulo de Harish-Chandra de una representación irreducible de G en un espacio de Hilbert . Tales representaciones son admisibles , lo que significa que se descomponen de manera análoga a la factorización prima de enteros. (¡Por supuesto, la descomposición puede tener infinitos factores distintos!) Además, un resultado de Harish-Chandra indica que si G es un grupo de Lie reductivo con subgrupo compacto maximal K , y X es un irreducible ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},K)}$-módulo con una forma hermitiana definida positiva que satisface

${\displaystyle \langle k\cdot v,w\rangle =\langle v,k^{-1}\cdot w\rangle }$

y

${\displaystyle \langle Y\cdot v,w\rangle =-\langle v,Y\cdot w\rangle }$

a pesar de${\displaystyle Y\in {\mathfrak {g}}}$y${\displaystyle k\in K}$, entonces X es el módulo de Harish-Chandra de una única representación unitaria irreducible de G. 

• Vogan, Jr., David A. (1987), Representaciones unitarias de grupos de Lie reductivos , Annals of Mathematics Studies, vol.  118, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08482-4

• módulo (g,K)
• Representación admisible
• Representación unitaria