Función definida positiva en un grupo

En matemáticas, y específicamente en la teoría de operadores , una función definida positiva sobre un grupo relaciona las nociones de positividad, en el contexto de los espacios de Hilbert , y los grupos algebraicos . Puede considerarse como un tipo particular de núcleo definido positivo donde el conjunto subyacente posee la estructura de grupo adicional.

Dejar${\displaystyle G}$ser un grupo,${\displaystyle H}$ser un espacio de Hilbert complejo, y${\displaystyle L(H)}$sean los operadores acotados en${\displaystyle H}$. Una función definida positiva en${\displaystyle G}$es una función${\displaystyle F:G\to L(H)}$que satisface

${\displaystyle \sum _{s,t\in G}\langle F(s^{-1}t)h(t),h(s)\rangle \geq 0,}$

para cada función${\displaystyle h:G\to H}$con soporte finito (${\displaystyle h}$toma valores distintos de cero solo para un número finito de${\displaystyle s}$).

En otras palabras, una función${\displaystyle F:G\to L(H)}$Se dice que es una función definida positiva si el núcleo${\displaystyle K:G\times G\to L(H)}$definido por${\displaystyle K(s,t)=F(s^{-1}t)}$es un núcleo definido positivo. Tal núcleo es${\displaystyle G}$-simétrico, es decir, invariante bajo la izquierda${\displaystyle G}$-acción:$${\displaystyle K(s,t)=K(rs,rt),\quad \forall r\in G}$$Cuando${\displaystyle G}$es un grupo localmente compacto , la definición se generaliza mediante la integración sobre su medida de Haar invariante por la izquierda.${\displaystyle \mu }$. Una función definida positiva en${\displaystyle G}$es una función continua${\displaystyle F:G\to L(H)}$que satisface$${\displaystyle \int _{s,t\in G}\langle F(s^{-1}t)h(t),h(s)\rangle \;\mu (ds)\mu (dt)\geq 0,}$$para cada función continua${\displaystyle h:G\to H}$con soporte compacto .

Una representación unitaria es un homomorfismo unitario.${\displaystyle \Phi :G\to L(H)}$dónde${\displaystyle \Phi (s)}$es un operador unitario para todos${\displaystyle s}$. Para tal${\displaystyle \Phi }$,${\displaystyle \Phi (s^{-1})=\Phi (s)^{*}}$.

Funciones definidas positivas en${\displaystyle G}$están íntimamente relacionados con las representaciones unitarias de${\displaystyle G}$. Toda representación unitaria de${\displaystyle G}$da lugar a una familia de funciones definidas positivas. Recíprocamente, dada una función definida positiva, se puede definir una representación unitaria de${\displaystyle G}$de forma natural.

Dejar${\displaystyle \Phi :G\to L(H)}$ser una representación unitaria de${\displaystyle G}$. Si${\displaystyle P\in L(H)}$es la proyección sobre un subespacio cerrado${\displaystyle H'}$de${\displaystyle H}$. Entonces${\displaystyle F(s)=P\Phi (s)}$es una función definida positiva en${\displaystyle G}$con valores en${\displaystyle L(H')}$Esto se puede demostrar fácilmente:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{s,t\in G}\langle F(s^{-1}t)h(t),h(s)\rangle &=\sum _{s,t\in G}\langle P\Phi (s^{-1}t)h(t),h(s)\rangle \\{}&=\sum _{s,t\in G}\langle \Phi (t)h(t),\Phi (s)h(s)\rangle \\{}&=\left\langle \sum _{t\in G}\Phi (t)h(t),\sum _{s\in G}\Phi (s)h(s)\right\rangle \\{}&\geq 0\end{aligned}}}$

por cada${\displaystyle h:G\to H'}$con soporte finito. Si${\displaystyle G}$tiene una topología y${\displaystyle \Phi }$es débilmente (respectivamente, fuertemente) continua, entonces claramente también lo es.${\displaystyle F}$.

Por otro lado, consideremos ahora una función definida positiva.${\displaystyle F}$en${\displaystyle G}$. Una representación unitaria de${\displaystyle G}$se puede obtener de la siguiente manera. Sea${\displaystyle C_{00}(G,H)}$ser la familia de funciones${\displaystyle h:G\to H}$con soporte finito. El núcleo positivo correspondiente${\displaystyle K(s,t)=F(s^{-1}t)}$define un producto interno (posiblemente degenerado) en${\displaystyle C_{00}(G,H)}$. Sea el espacio de Hilbert resultante denotado por${\displaystyle V}$.

Observamos que los "elementos de la matriz"${\displaystyle K(s,t)=K(a^{-1}s,a^{-1}t)}$a pesar de${\displaystyle a,s,t}$en${\displaystyle G}$. Entonces${\displaystyle U_{a}h(s)=h(a^{-1}s)}$conserva el producto interno en${\displaystyle V}$, es decir, es unitario en${\displaystyle L(V)}$Está claro que el mapa${\displaystyle \Phi (a)=U_{a}}$es una representación de${\displaystyle G}$en${\displaystyle V}$.

La representación unitaria es única, salvo isomorfismo de espacio de Hilbert, siempre que se cumpla la siguiente condición de minimalidad:

${\displaystyle V=\bigvee _{s\in G}\Phi (s)H}$

dónde${\displaystyle \bigvee }$denota el cierre del intervalo lineal .

Identificar${\displaystyle H}$como elementos (posiblemente clases de equivalencia) en${\displaystyle V}$, cuyo soporte consiste en el elemento identidad${\displaystyle e\in G}$y dejar${\displaystyle P}$sea ​​la proyección sobre este subespacio. Entonces tenemos${\displaystyle PU_{a}P=F(a)}$a pesar de${\displaystyle a\in G}$.

Dejar${\displaystyle G}$sea ​​el grupo aditivo de los números enteros${\displaystyle \mathbb {Z} }$El núcleo${\displaystyle K(n,m)=F(m-n)}$se denomina núcleo de tipo Toeplitz , por analogía con las matrices de Toeplitz . Si${\displaystyle F}$es de la forma${\displaystyle F(n)=T^{n}}$dónde${\displaystyle T}$es un operador acotado que actúa sobre algún espacio de Hilbert, se puede demostrar que el núcleo${\displaystyle K(n,m)}$es positivo si y solo si${\displaystyle T}$es una contracción . Según la discusión de la sección anterior, tenemos una representación unitaria de${\displaystyle \mathbb {Z} }$,${\displaystyle \Phi (n)=U^{n}}$para un operador unitario${\displaystyle U}$Además, la propiedad${\displaystyle PU_{a}P=F(a)}$ahora se traduce a ${\displaystyle PU^{n}P=T^{n}}$Este es precisamente el teorema de dilatación de Sz.-Nagy , que sugiere una importante caracterización de la positividad desde la perspectiva de la teoría de la dilatación, la cual conduce a una parametrización de núcleos definidos positivos arbitrarios.

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