Composición de la función

En matemáticas , el operador de composición${\displaystyle \circ }$toma dos funciones ,${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$y devuelve una nueva función${\displaystyle f\circ g}$Cuando la función compuesta${\displaystyle f\circ g}$(pronunciado "${\displaystyle f}$de${\displaystyle g}$") se evalúa en una entrada${\displaystyle x}$, el resultado es${\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))}$. Es decir, la función${\displaystyle f}$se aplica después de aplicar${\displaystyle g}$a${\displaystyle x}$. ^{[ 1 ]}

La composición de funciones es un caso especial de la composición de relaciones , a veces también denotada por${\displaystyle \circ }$. Como resultado, todas las propiedades de composición de relaciones son verdaderas para la composición de funciones, ^{[ 2 ]} como la asociatividad .

• Composición de funciones en un conjunto finito : Si f = {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} y g = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} , entonces g ∘ f = {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 3)} , como se muestra en la figura.
• Composición de funciones en un conjunto infinito : Si f : R → R (donde R es el conjunto de todos los números reales ) está dada por f ( x ) = 2 x + 4 y g : R → R está dada por g ( x ) = x ³ , entonces:
  ( f ∘ g )( x ) = f ( g ( x )) = f ( x ³ ) = 2 x ³ + 4 , y
  ( g ∘ f )( x ) = g ( f ( x )) = g (2 x + 4) = (2 x + 4) ³ .
• Si la altitud de un avión en el tiempo t es a ( t ) , y la presión del aire en la altitud x es p ( x ) , entonces ( p ∘ a )( t ) es la presión alrededor del avión en el tiempo t .  
• Las funciones definidas en conjuntos finitos que cambian el orden de sus elementos, como las permutaciones, pueden componerse en el mismo conjunto; esto se denomina composición de permutaciones.

La composición de funciones es siempre asociativa , una propiedad heredada de la composición de relaciones . ^{[ 2 ]} Es decir, si f , g y h son componibles, entonces f ∘ ( g ∘ h ) = ( f ∘ g ) ∘ h . ^{[ 3 ]} Dado que los paréntesis no cambian el resultado, generalmente se omiten.

En sentido estricto, la composición g ∘ f solo tiene sentido si el codominio de f es igual al dominio de g ; en un sentido más amplio, basta con que el primero sea un subconjunto impropio del segundo. ^{[ nb 1 ]} Además, a menudo es conveniente restringir tácitamente el dominio de f , de modo que f produzca solo valores en el dominio de g . Por ejemplo, la composición g ∘ f de las funciones f : R → (−∞,+9] definidas por f ( x ) = 9 − x ² y g : [0,+∞) → R definidas por${\displaystyle g(x)={\sqrt {x}}}$puede definirse en el intervalo [−3,+3] .

Se dice que las funciones g y f conmutan entre sí si g ∘ f = f ∘ g . La conmutatividad es una propiedad especial, que solo se cumple para ciertas funciones y, a menudo, en circunstancias especiales. Por ejemplo, | x | + 3 = | x + 3 | solo cuando x ≥ 0. La imagen muestra otro ejemplo.

La composición de funciones inyectivas ( uno a uno ) siempre es inyectiva. De manera similar, la composición de funciones sobreyectivas ( uno a uno ) siempre es sobreyectiva. Por lo tanto, la composición de dos biyecciones también es una biyección. La función inversa de una composición (que se supone invertible) tiene la propiedad de que ( f ∘ g ) ⁻¹ = g ⁻¹ ∘ f ⁻¹ . ^{[ 4 ]}

Las derivadas de composiciones que involucran funciones diferenciables se pueden encontrar usando la regla de la cadena . Las derivadas de orden superior de dichas funciones vienen dadas por la fórmula de Faà di Bruno . ^{[ 3 ]}

La composición de funciones se describe a veces como una especie de multiplicación en un espacio de funciones, pero tiene propiedades muy diferentes de la multiplicación puntual de funciones (por ejemplo, la composición no es conmutativa ). ^{[ 5 ]}

Supongamos que tenemos dos (o más) funciones f : X → X , g : X → X con el mismo dominio y codominio; a menudo se las denomina transformaciones . Entonces se pueden formar cadenas de transformaciones compuestas entre sí, como f ∘ f ∘ g ∘ f . Dichas cadenas tienen la estructura algebraica de un monoide , llamado monoide de transformación o (mucho más raramente) monoide de composición . En general, los monoides de transformación pueden tener una estructura notablemente compleja. Un ejemplo particularmente notable es la curva de De Rham . El conjunto de todas las funciones f : X → X se denomina semigrupo de transformación completo ^{[ 6 ]} o semigrupo simétrico ^{[ 7 ]} en X . (De hecho, se pueden definir dos semigrupos dependiendo de cómo se defina la operación de semigrupo como composición izquierda o derecha de funciones. ^{[ 8 ]} ) 

Si las transformaciones dadas son biyectivas (y por lo tanto invertibles), entonces el conjunto de todas las combinaciones posibles de estas funciones forma un grupo de transformaciones (también conocido como grupo de permutaciones ); y se dice que el grupo está generado por estas funciones.

El conjunto de todas las funciones biyectivas f : X → X (llamadas permutaciones ) forma un grupo con respecto a la composición de funciones. Este es el grupo simétrico , también llamado a veces grupo de composición . Un resultado fundamental en la teoría de grupos, el teorema de Cayley , esencialmente afirma que cualquier grupo es, de hecho, un subgrupo de un grupo simétrico ( salvo isomorfismo). ^{[ 9 ]}

En el semigrupo simétrico (de todas las transformaciones) también se encuentra una noción más débil y no única de inversa (llamada pseudoinversa) porque el semigrupo simétrico es un semigrupo regular . ^{[ 10 ]}

Si Y ⊆ X , entonces${\displaystyle f:X\to Y}$puede componerse consigo mismo; esto a veces se denota como${\displaystyle f^{2}}$. Eso es:

${\displaystyle (f\circ f)(x)=f(f(x))=f^{2}(x)}$

${\displaystyle (f\circ f\circ f)(x)=f(f(f(x)))=f^{3}(x)}$

${\displaystyle (f\circ f\circ f\circ f)(x)=f(f(f(f(x))))=f^{4}(x)}$

De manera más general, para cualquier número natural n ≥ 2 , la n -ésima potencia funcional se puede definir inductivamente por f ⁿ = f ∘ f ^{n −1} = f ^{n −1} ∘ f , una notación introducida por Hans Heinrich Bürmann ^{[ 11 ] [ 12 ]} y John Frederick William Herschel . ^{[ 13 ] [ 11 ] [ 14 ] [ 12 ]} La composición repetida de dicha función consigo misma se llama iteración de función .

• Por convención, f ⁰ se define como el mapa identidad en el dominio de f , id _X .
• Si Y = X y f : X → X admite una función inversa f ⁻¹ , las potencias funcionales negativas f ^{− n} se definen para n > 0 como la potencia negada de la función inversa: f ^{− n} = ( f ⁻¹ ) ⁿ . ^{[ 13 ] [ 11 ] [ 12 ]}

Si f toma sus valores en un anillo (en particular para f con valores reales o complejos ), existe el riesgo de confusión, ya que f ⁿ también podría representar el producto n -ésimo de f , por ejemplo, f ² ( x ) = f ( x ) · f ( x ) . ^{[ 12 ]} Para las funciones trigonométricas, generalmente se hace referencia a esto último, al menos para exponentes positivos. ^{[ 12 ]} Por ejemplo, en trigonometría , esta notación de superíndice representa la exponenciación estándar cuando se usa con funciones trigonométricas : 

pecado ² ( x ) = pecado ( x ) · pecado ( x ) .

Sin embargo, para exponentes negativos (especialmente − 1), generalmente se refiere a la función inversa, por ejemplo, tan ⁻¹ = arctan ≠ 1/tan .

En algunos casos, cuando, para una función dada f , la ecuación g ∘ g = f tiene una solución única g , esa función se puede definir como la raíz cuadrada funcional de f , y luego escribirse como g = f ^1/2 .

De manera más general, cuando g ⁿ = f tiene una solución única para algún número natural n > 0 , entonces f ^{m / n} se puede definir como g ^m .

Bajo ciertas restricciones, esta idea puede generalizarse de modo que el número de iteraciones se convierta en un parámetro continuo; en este caso, dicho sistema se denomina flujo y se especifica mediante soluciones de la ecuación de Schröder . Las funciones iteradas y los flujos aparecen de forma natural en el estudio de fractales y sistemas dinámicos .

Para evitar ambigüedad, algunos matemáticos optan por usar ∘ para denotar el significado compositivo, escribiendo f ^{∘ n} ( x ) para la n -ésima iteración de la función f ( x ) , como en, por ejemplo, f ^∘3 ( x ) que significa f ( f ( f ( x ))) . Con el mismo propósito, Benjamin Peirce usó f ^{[ n ]} ( x ) ^{[ 15 ] [ 12 ]} mientras que Alfred Pringsheim y Jules Molk sugirieron ⁿ f ( x ) en su lugar. ^{[ 16 ] [ 12 ] [ nb 2 ]}

Muchos matemáticos, particularmente en teoría de grupos , omiten el símbolo de composición, escribiendo gf para g ∘ f . ^{[ 17 ]}

Durante mediados del siglo XX, algunos matemáticos adoptaron la notación posfija , escribiendo xf para f ( x ) y ( xf ) g para g ( f ( x )) . ^{[ 18 ]} Esto puede ser más natural que la notación prefija en muchos casos, como en álgebra lineal cuando x es un vector fila y f y g denotan matrices y la composición es por multiplicación de matrices . El orden es importante porque la composición de funciones no es necesariamente conmutativa. Que las transformaciones sucesivas se apliquen y compongan hacia la derecha concuerda con la secuencia de lectura de izquierda a derecha.

Los matemáticos que usan notación posfija pueden escribir " fg ", que significa aplicar primero f y luego g , de acuerdo con el orden en que aparecen los símbolos en notación posfija, lo que hace que la notación " fg " sea ambigua. Los informáticos pueden escribir " f  ; g " para esto, ^{[ 19 ]} desambiguando así el orden de composición. Para distinguir el operador de composición izquierda de un punto y coma de texto, en la notación Z se usa el carácter ⨾ para la composición de relaciones izquierdas . ^{[ 20 ]} Dado que todas las funciones son relaciones binarias , es correcto usar el punto y coma [grueso] también para la composición de funciones (ver el artículo sobre composición de relaciones para más detalles sobre esta notación).

Dada una función g , el operador de composición C _g se define como el operador que mapea funciones a funciones como $${\displaystyle C_{g}f=f\circ g.}$$Los operadores de composición se estudian en el campo de la teoría de operadores .

La composición de funciones aparece de una forma u otra en numerosos lenguajes de programación .

La composición parcial es posible para funciones multivariadas . La función resultante cuando algún argumento x _i de la función f se reemplaza por la función g se denomina composición de f y g en algunos contextos de ingeniería informática, y se denota f | _{x i = g.}$${\displaystyle f|_{x_{i}=g}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),x_{i+1},\ldots ,x_{n}).}$$

Cuando g es una constante simple b , la composición degenera en una valuación (parcial), cuyo resultado también se conoce como restricción o cofactor . ^{[ 21 ]}

$${\displaystyle f|_{x_{i}=b}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},b,x_{i+1},\ldots ,x_{n}).}$$

En general, la composición de funciones multivariadas puede involucrar varias otras funciones como argumentos, como en la definición de función recursiva primitiva . Dada f , una función n -aria, y n funciones m -arias g ₁ , ..., g _n , la composición de f con g ₁ , ..., g _n , es la función m -aria.$${\displaystyle h(x_{1},\ldots ,x_{m})=f(g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),\ldots ,g_{n}(x_{1},\ldots ,x_{m})).}$$

Esto a veces se denomina composición generalizada o superposición de f con g ₁ , ..., g _n . ^{[ 22 ]} La composición parcial en un solo argumento mencionada anteriormente puede instanciarse a partir de este esquema más general estableciendo todas las funciones de los argumentos, excepto una, como funciones de proyección elegidas adecuadamente . Aquí, g ₁ , ..., g _n puede verse como una única función con valores de vector/ tupla en este esquema generalizado, en cuyo caso esta es precisamente la definición estándar de composición de funciones. ^{[ 23 ]}

Un conjunto de operaciones finitas sobre algún conjunto base X se llama clon si contiene todas las proyecciones y es cerrado bajo composición generalizada. Un clon generalmente contiene operaciones de diversas aridades . ^{[ 22 ]} La noción de conmutación también encuentra una generalización interesante en el caso multivariado; se dice que una función f de aridad n conmuta con una función g de aridad m si f es un homomorfismo que preserva g , y viceversa, es decir: ^{[ 22 ]}$${\displaystyle f(g(a_{11},\ldots ,a_{1m}),\ldots ,g(a_{n1},\ldots ,a_{nm}))=g(f(a_{11},\ldots ,a_{n1}),\ldots ,f(a_{1m},\ldots ,a_{nm})).}$$

Una operación unaria siempre conmuta consigo misma, pero esto no es necesariamente cierto para una operación binaria (o de mayor aridad). Una operación binaria (o de mayor aridad) que conmuta consigo misma se denomina medial o entrópica . ^{[ 22 ]}

La composición se puede generalizar a relaciones binarias arbitrarias . Si R ⊆ X × Y y S ⊆ Y × Z son dos relaciones binarias, entonces su composición equivale a:

${\displaystyle R\circ S=\{(x,z)\in X\times Z:(\exists y\in Y)((x,y)\in R\,\land \,(y,z)\in S)\}}$.

Considerando una función como un caso especial de una relación binaria (es decir, relaciones funcionales ), la composición de funciones satisface la definición de composición de relaciones. Se ha utilizado un pequeño círculo R ∘ S para la notación infija de la composición de relaciones , así como de funciones. Cuando se utiliza para representar la composición de funciones${\displaystyle (g\circ f)(x)\ =\ g(f(x))}$ Sin embargo, la secuencia de texto se invierte para ilustrar las diferentes secuencias de operaciones.

La composición se define de la misma manera para las funciones parciales y el teorema de Cayley tiene su análogo llamado teorema de Wagner-Preston . ^{[ 24 ]}

La categoría de conjuntos con funciones como morfismos es la categoría prototípica . Los axiomas de una categoría están inspirados, de hecho, en las propiedades (y también en la definición) de la composición de funciones. ^{[ 25 ]} Las estructuras dadas por la composición se axiomatizan y generalizan en la teoría de categorías con el concepto de morfismo como reemplazo categórico de las funciones. El orden inverso de la composición en la fórmula ( f ∘ g ) ⁻¹ = ( g ⁻¹ ∘ f ⁻¹ ) se aplica para la composición de relaciones usando relaciones inversas , y por lo tanto en la teoría de grupos . Estas estructuras forman categorías daga .

La base estándar de las matemáticas parte de los conjuntos y sus elementos . Sin embargo, es posible comenzar de otra manera, axiomatizando no los elementos de los conjuntos, sino las funciones entre ellos. Esto se puede lograr utilizando el lenguaje de las categorías y las construcciones universales.

...la relación de pertenencia para conjuntos a menudo puede reemplazarse por la operación de composición para funciones. Esto conduce a una base alternativa para las matemáticas sobre categorías, específicamente, sobre la categoría de todas las funciones. Gran parte de las matemáticas es dinámica, ya que trata con morfismos de un objeto en otro objeto del mismo tipo. Dichos morfismos ( al igual que las funciones ) forman categorías, por lo que el enfoque a través de categorías se ajusta bien al objetivo de organizar y comprender las matemáticas. Ese, en realidad, debería ser el objetivo de una filosofía de las matemáticas propiamente dicha.

- Saunders Mac Lane , Matemáticas: Forma y función ^{[ 26 ]}

El símbolo de composición ∘ se codifica como U+2218 ∘ OPERADOR DE ANILLO ( & compfn;, & SmallCircle; ) ; consulte el artículo sobre el símbolo de grado para ver caracteres Unicode de apariencia similar. En TeX , se escribe .\circ

• Diagrama de telaraña : una técnica gráfica para la composición funcional.
• Lógica combinatoria
• Anillo de composición , una axiomatización formal de la operación de composición.
• Flujo (matemáticas)
• Composición de funciones (informática)
• Función de una variable aleatoria , distribución de una función de una variable aleatoria.
• Descomposición funcional
• Raíz cuadrada funcional
• Ecuación funcional
• Función de orden superior
• Composiciones infinitas de funciones analíticas
• Función iterada
• Cálculo lambda

• "Función compuesta" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• " Composición de funciones " de Bruce Atwood, Proyecto de Demostraciones de Wolfram , 2007.