Función sobreyectiva

En matemáticas , una función sobreyectiva (también conocida como sobreyección o función sobreyectiva / ˈ ɒ n . t uː / ) es una función f tal que, para cada elemento y del codominio de la función , existe al menos un elemento x en el dominio de la función tal que f ( x ) = y . En otras palabras, para una función f  : X → Y , el codominio Y es la imagen del dominio de la función X . ^{[ 1 ] [ 2 ]} No es necesario que x sea único ; la función f puede mapear uno o más elementos de X al mismo elemento de Y .

El término sobreyectivo y los términos relacionados inyectivo y biyectivo fueron introducidos por Nicolas Bourbaki , ^{[ 3 ] [ 4 ]} un grupo de matemáticos principalmente franceses del siglo XX que, bajo este seudónimo, escribieron una serie de libros que presentaban una exposición de las matemáticas avanzadas modernas, a partir de 1935. La palabra francesa sur significa sobre o encima , y ​​se relaciona con el hecho de que la imagen del dominio de una función sobreyectiva cubre completamente el codominio de la función.

Toda función induce una sobreyección al restringir su codominio a la imagen de su dominio. Toda función sobreyectiva tiene una inversa derecha, asumiendo el axioma de elección , y toda función con una inversa derecha es necesariamente una sobreyección. La composición de funciones sobreyectivas es siempre sobreyectiva. Toda función puede descomponerse en una sobreyección y una inyección.

Una función sobreyectiva es una función cuya imagen es igual a su codominio . De forma equivalente, una función${\displaystyle f}$con dominio${\displaystyle X}$y codominio${\displaystyle Y}$es sobreyectiva si para cada${\displaystyle y}$en${\displaystyle Y}$existe al menos uno${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$con${\displaystyle f(x)=y}$. ^{[ 1 ]} Las sobreyecciones a veces se denotan mediante una flecha de dos puntas hacia la derecha ( U+ 21A0 ↠ FLECHA DE DOS CABEZAS HACIA LA DERECHA ), ^{[ 5 ]} como en${\displaystyle f\colon X\twoheadrightarrow Y}$.

Simbólicamente,

Si${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$, entonces${\displaystyle f}$Se dice que es sobreyectiva si

${\displaystyle \forall y\in Y,\,\exists x\in X,\;\;f(x)=y}$. ^{[ 2 ] [ 6 ]}

• Para cualquier conjunto X , la función identidad id _X en X es sobreyectiva.
• La función f  : Z → {0, 1} definida por f ( n ) = n mod 2 (es decir, los enteros pares se asignan a 0 y los enteros impares a 1) es sobreyectiva.
• La función f  : R → R definida por f ( x ) = 2 x + 1 es sobreyectiva (e incluso biyectiva ), porque para cada número real y , tenemos un x tal que f ( x ) = y : un x apropiado de este tipo es ( y − 1)/2.
• La función f  : R → R definida por f ( x ) = x ³ − 3 x es sobreyectiva, ya que la preimagen de cualquier número real y es el conjunto solución de la ecuación polinómica cúbica x ³ − 3 x − y = 0, y todo polinomio cúbico con coeficientes reales tiene al menos una raíz real. Sin embargo, esta función no es inyectiva (y por lo tanto no es biyectiva ), puesto que, por ejemplo, la preimagen de y = 2 es { x = −1, x = 2}. (De hecho, la preimagen de esta función para todo y , −2 ≤ y ≤ 2 tiene más de un elemento).
• La función g  : R → R definida por g ( x ) = x ² no es sobreyectiva, ya que no hay ningún número real x tal que x ² = −1 . Sin embargo, la función g  : R → R _≥0 definida por g ( x ) = x ² (con el codominio restringido) es sobreyectiva, ya que para cada y en el codominio real no negativo Y , hay al menos un x en el dominio real X tal que x ² = y .
• La función logaritmo natural ln  : (0, +∞) → R es sobreyectiva e incluso biyectiva (mapea del conjunto de los números reales positivos al conjunto de todos los números reales). Su inversa, la función exponencial , si se define con el conjunto de los números reales como dominio y codominio, no es sobreyectiva (ya que su rango es el conjunto de los números reales positivos).
• La exponencial matricial no es sobreyectiva cuando se considera como una función del espacio de todas las matrices n × n a sí misma. Sin embargo, se suele definir como una función del espacio de todas las matrices n × n al grupo lineal general de grado n (es decir, el grupo de todas las matrices invertibles n × n ). Bajo esta definición, la exponencial matricial es sobreyectiva para matrices complejas, aunque sigue sin serlo para matrices reales.
• La proyección de un producto cartesiano A × B sobre uno de sus factores es sobreyectiva, a menos que el otro factor sea vacío.
• En un videojuego 3D, los vectores se proyectan sobre una pantalla plana 2D mediante una función sobreyectiva.

Una función es biyectiva si y solo si es sobreyectiva e inyectiva . ^{[ 7 ]}

Si (como suele hacerse) una función se identifica con su gráfica , entonces la sobreyectividad no es una propiedad de la función en sí, sino más bien una propiedad de la aplicación . ^{[ 8 ]} Es decir, la función junto con su codominio. A diferencia de la inyectividad, la sobreyectividad no se puede obtener únicamente de la gráfica de la función.

Dados conjuntos finitos fijos A y B , se puede formar el conjunto de sobreyecciones A ↠ B. La cardinalidad de este conjunto es uno de los doce aspectos del Camino Doce Vecesario de Rota , y está dada por${\textstyle |B|!{\begin{Bmatrix}|A|\\|B|\end{Bmatrix}}}$, dónde${\textstyle {\begin{Bmatrix}|A|\\|B|\end{Bmatrix}}}$denota un número de Stirling de segunda especie .

• Biyección, inyección y sobreyección
• Cubierta (álgebra)
• Mapa de cobertura
• Enumeración
• haz de fibras
• Conjunto de índices
• Sección (teoría de categorías)

• Bourbaki, N. (2004) [1968]. Teoría de conjuntos . Elementos de matemáticas . Vol.  1. Springer. doi : 10.1007/978-3-642-59309-3 . ISBN 978-3-540-22525-6. LCCN 2004110815 .