Relación total

En matemáticas , una relación binaria R ⊆ X × Y entre dos conjuntos X e Y es total (o total por la izquierda ) si el conjunto fuente X es igual al dominio { x  : existe un y tal que xRy }. Por el contrario, R se denomina total por la derecha si Y es igual al rango { y  : existe un x tal que xRy }.

Cuando f : X → Y es una función , su dominio es todo X ; por lo tanto, f es una relación total. En cambio, si f es una función parcial , su dominio puede ser un subconjunto propio de X , en cuyo caso f no es una relación total.

"Se dice que una relación binaria es total con respecto a un universo de discurso si y solo si todo en ese universo de discurso se encuentra en esa relación con otra cosa." ^{[ 1 ]}

Las relaciones totales pueden caracterizarse algebraicamente mediante igualdades y desigualdades que involucran composiciones de relaciones . Para ello, sea:${\displaystyle X,Y}$sean dos conjuntos, y sea${\displaystyle R\subseteq X\times Y.}$Para cualesquiera dos conjuntos${\displaystyle A,B,}$dejar${\displaystyle L_{A,B}=A\times B}$ser la relación universal entre${\displaystyle A}$y${\displaystyle B,}$y dejar${\displaystyle I_{A}=\{(a,a):a\in A\}}$sea ​​la relación de identidad en${\displaystyle A.}$Utilizamos la notación${\displaystyle R^{\top }}$para la relación inversa de${\displaystyle R.}$

• ${\displaystyle R}$es total si y solo si para cualquier conjunto${\displaystyle W}$y cualquier${\displaystyle S\subseteq W\times X,}$${\displaystyle S\neq \emptyset }$implica${\displaystyle SR\neq \emptyset .}$^{[ 2 ] : 54}
• ${\displaystyle R}$es total si y solo si${\displaystyle I_{X}\subseteq RR^{\top }.}$^{[ 2 ] : 54}
• Si${\displaystyle R}$es total, entonces${\displaystyle L_{X,Y}=RL_{Y,Y}.}$Lo contrario es cierto si${\displaystyle Y\neq \emptyset .}$^{[ nota 1 ]}
• Si${\displaystyle R}$es total, entonces${\displaystyle {\overline {RL_{Y,Y}}}=\emptyset.}$Lo contrario es cierto si${\displaystyle Y\neq \emptyset .}$^{[ nota 2 ] [ 2 ] : 63}
• Si${\displaystyle R}$es total, entonces${\displaystyle {\overline {R}}\subseteq R{\overline {I_{Y}}}.}$Lo contrario es cierto si${\displaystyle Y\neq \emptyset .}$^{[ 2 ] : 54 [ 3 ]}
• En términos más generales, si${\displaystyle R}$es total, entonces para cualquier conjunto${\displaystyle Z}$y cualquier${\displaystyle S\subseteq Y\times Z,}$${\displaystyle {\overline {RS}}\subseteq R{\overline {S}}.}$Lo contrario es cierto si${\displaystyle Y\neq \emptyset .}$^{[ nota 3 ] [ 2 ] : 57}

• Relación serial : una relación totalmente homogénea.

• Gunther Schmidt y Michael Winter (2018) Topología relacional
• C. Brink, W. Kahl y G. Schmidt (1997) Métodos relacionales en informática , Advances in Computer Science, página 5, ISBN 3-211-82971-7
• Gunther Schmidt y Thomas Strohlein (2012)[1987] Relaciones y grafos , pág. 54, en Google Books
• Gunther Schmidt (2011) Matemáticas relacionales , pág. 57, en Google Libros