Tamaño del efecto

La correlación de Pearson , a menudo denotada como r e introducida por Karl Pearson , se utiliza ampliamente como medida del tamaño del efecto cuando se dispone de datos cuantitativos pareados; por ejemplo, al estudiar la relación entre el peso al nacer y la longevidad. El coeficiente de correlación también puede utilizarse cuando los datos son binarios. El valor de r de Pearson puede variar de -1 a 1, donde -1 indica una relación lineal negativa perfecta, 1 una relación lineal positiva perfecta y 0 la ausencia de relación lineal entre dos variables.

El estadístico f ² de Cohen es una de las varias medidas de tamaño del efecto que se utilizan en el contexto de una prueba F para ANOVA o regresión múltiple . Su grado de sesgo (sobreestimación del tamaño del efecto para el ANOVA) depende del sesgo de su medida subyacente de varianza explicada (por ejemplo, R ² , η ² , ω ² ).

La medida del tamaño del efecto f2 para ^la regresión múltiple se define como: $${\displaystyle f^{2}={R^{2} \over 1-R^{2}}.}$$

Asimismo, f ² puede definirse como: $${\displaystyle f^{2}={\eta ^{2} \over 1-\eta ^{2}}}$$o$${\displaystyle f^{2}={\omega ^{2} \over 1-\omega ^{2}}}$$ para modelos descritos por esas medidas de tamaño del efecto. ^{[ 20 ]}

El${\displaystyle f^{2}}$La medida del tamaño del efecto para la regresión múltiple secuencial, y también común para el modelado PLS ^{[ 21 ],} se define como: $${\displaystyle f^{2}={R_{AB}^{2}-R_{A}^{2} \over 1-R_{AB}^{2}}}$$ donde R ² _A es la varianza explicada por un conjunto de una o más variables independientes A , y R ² _AB es la varianza combinada explicada por A y otro conjunto de una o más variables independientes de interés B . Por convención, f ² tamaños del efecto de${\displaystyle 0.1^{2}}$,${\displaystyle 0.25^{2}}$, y${\displaystyle 0.4^{2}}$se denominan pequeños , medianos y grandes , respectivamente. ^{[ 10 ]}

Cohen${\displaystyle {\hat {f}}}$También se puede encontrar para el análisis factorial de varianza (ANOVA) trabajando hacia atrás, utilizando: $${\displaystyle {\hat {f}}_{\text{efecto}}={\sqrt {(F_{\text{efecto}}df_{\text{efecto}}/N)}}.}$$

En un diseño equilibrado (tamaños de muestra equivalentes entre grupos) de ANOVA, el parámetro poblacional correspondiente de${\displaystyle f^{2}}$es $${\displaystyle {SS(\mu _{1},\mu _{2},\dots ,\mu _{K})} \over {K\times \sigma ^{2}},}$$ donde μ _j denota la media poblacional dentro del j ^-ésimo grupo de los K grupos totales, y σ la desviación estándar poblacional equivalente dentro de cada grupo. SS es la suma de cuadrados en ANOVA.

Otra medida que se utiliza con las diferencias de correlación es la q de Cohen. Esta es la diferencia entre dos coeficientes de regresión de Pearson transformados de Fisher. En símbolos, esto es $${\displaystyle q={\frac {1}{2}}\log {\frac {1+r_{1}}{1-r_{1}}}-{\frac {1}{2}}\log {\frac {1+r_{2}}{1-r_{2}}}}$$

donde r ₁ y r ₂ son las regresiones que se comparan. El valor esperado de q es cero y su varianza es $${\displaystyle \operatorname {var} (q)={\frac {1}{N_{1}-3}}+{\frac {1}{N_{2}-3}}}$$ donde N ₁ y N ₂ son el número de puntos de datos en la primera y segunda regresión respectivamente.

Un tamaño del efecto (poblacional) θ basado en medias generalmente considera la diferencia de medias estandarizada (DME) entre dos poblaciones ^{[ 22 ] : 78}$${\displaystyle \theta ={\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{\sigma }},}$$ donde μ ₁ es la media de una población, μ ₂ es la media de la otra población y σ es una desviación estándar basada en una o ambas poblaciones.

En la práctica, los valores poblacionales generalmente se desconocen y deben estimarse a partir de estadísticas muestrales. Las distintas versiones de los tamaños del efecto basadas en las medias difieren en cuanto a las estadísticas que se utilizan.

Esta forma para el tamaño del efecto se asemeja al cálculo para un estadístico de prueba t , con la diferencia crítica de que el estadístico de prueba t incluye un factor de${\displaystyle {\sqrt {n}}}$Esto significa que, para un tamaño del efecto dado, el nivel de significancia aumenta con el tamaño de la muestra. A diferencia del estadístico t , el tamaño del efecto busca estimar un parámetro poblacional y no se ve afectado por el tamaño de la muestra.

Los valores SMD de 0,2 a 0,5 se consideran pequeños, de 0,5 a 0,8 se consideran medianos y mayores que 0,8 se consideran grandes. ^{[ 23 ]}

La d de Cohen se define como la diferencia entre dos medias dividida por la desviación estándar de los datos, es decir $${\displaystyle d={\frac {{\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2}}{s}}.}$$

Jacob Cohen definió s , la desviación estándar combinada , como (para dos muestras independientes): ^{[ 10 ] : 67}$${\displaystyle s={\sqrt {\frac {(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}}}$$ donde la varianza para uno de los grupos se define como $${\displaystyle s_{1}^{2}={\frac {1}{n_{1}-1}}\sum _{i=1}^{n_{1}}(x_{1,i}-{\bar {x}}_{1})^{2},}$$ y de forma similar para el otro grupo.

Otros autores eligen un cálculo ligeramente diferente de la desviación estándar cuando se refieren a la " d de Cohen " donde el denominador no incluye "-2" ^{[ 24 ] [ 25 ] : 14}$${\displaystyle s={\sqrt {\frac {(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}}}}}$$ Esta definición de " d de Cohen " es denominada estimador de máxima verosimilitud por Hedges y Olkin, ^{[ 22 ]} y está relacionada con la g de Hedges mediante un factor de escala (véase más abajo).

Con dos muestras pareadas, un enfoque consiste en observar la distribución de las puntuaciones de diferencia. En ese caso, s es la desviación estándar de esta distribución de puntuaciones de diferencia (cabe destacar que la desviación estándar de las puntuaciones de diferencia depende de la correlación entre las muestras pareadas). Esto crea la siguiente relación entre el estadístico t para probar la diferencia en las medias de los dos grupos pareados y la d' de Cohen (calculada con las puntuaciones de diferencia): $${\displaystyle t={\frac {{\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}}{{\text{SE}}_{diff}}}={\frac {{\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}}{\frac {{\text{SD}}_{diff}}{\sqrt {N}}}}={\frac {{\sqrt {N}}({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2})}{SD_{diff}}}}$$ y $${\displaystyle d'={\frac {{\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}}{{\text{SD}}_{diff}}}={\frac {t}{\sqrt {N}}}}$$Sin embargo, para muestras pareadas, Cohen afirma que d' no proporciona la estimación correcta para obtener la potencia de la prueba para d, y que antes de buscar los valores en las tablas proporcionadas para d, se debe corregir para r como en la siguiente fórmula: ^{[ 26 ]}$${\displaystyle {\frac {d'}{\sqrt {1-r}}}.}$$donde r es la correlación entre mediciones pareadas. Con el mismo tamaño de muestra, cuanto mayor sea r, mayor será la potencia de una prueba de diferencia pareada.

Dado que d' depende de r, como medida del tamaño del efecto es difícil de interpretar; por lo tanto, en el contexto de análisis pareados, dado que es posible calcular d' o d (estimado con una desviación estándar combinada o la de un grupo o punto temporal), es necesario indicar explícitamente cuál se está informando. Como medida del tamaño del efecto, d (estimado con una desviación estándar combinada o la de un grupo o punto temporal) es más apropiado, por ejemplo, en metaanálisis. ^{[ 27 ]}

El coeficiente d de Cohen se utiliza frecuentemente para estimar el tamaño de la muestra en pruebas estadísticas. Un valor bajo de d de Cohen indica la necesidad de un tamaño de muestra mayor, y viceversa, como se puede determinar posteriormente junto con los parámetros adicionales de nivel de significancia y potencia estadística deseados . ^{[ 28 ]}

En 1976, Gene V. Glass propuso un estimador del tamaño del efecto que utiliza únicamente la desviación estándar del segundo grupo ^{[ 22 ] : 78}$${\displaystyle \Delta ={\frac {{\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2}}{s_{2}}}}$$

El segundo grupo puede considerarse un grupo de control, y Glass argumentó que si se comparaban varios tratamientos con el grupo de control, sería mejor utilizar solo la desviación estándar calculada a partir del grupo de control, de modo que los tamaños del efecto no difirieran bajo medias iguales y varianzas diferentes.

Bajo el supuesto correcto de que las varianzas poblacionales son iguales, una estimación combinada para σ es más precisa.

La g de Hedges , sugerida por Larry Hedges en 1981, ^{[ 29 ]} es similar a las otras medidas basadas en una diferencia estandarizada ^{[ 22 ] : 79}$${\displaystyle g={\frac {{\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2}}{s^{*}}}}$$ donde la desviación estándar combinada${\displaystyle s^{*}}$se calcula como: $${\displaystyle s^{*}={\sqrt {\frac {(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}}.}$$

Sin embargo, como estimador del tamaño del efecto poblacional θ, está sesgado . No obstante, este sesgo puede corregirse aproximadamente mediante la multiplicación por un factor. $${\displaystyle g^{*}=J(n_{1}+n_{2}-2)\,\,g\,\approx \,\left(1-{\frac {3}{4(n_{1}+n_{2})-9}}\right)\,\,g}$$ Hedges y Olkin se refieren a este estimador menos sesgado.${\displaystyle g^{*}}$como d , ^{[ 22 ]} pero no es lo mismo que la d de Cohen . La forma exacta para el factor de corrección J () involucra la función gamma ^{[ 22 ] : 104}$${\displaystyle J(a)={\frac {\Gamma (a/2)}{{\sqrt {a/2\,}}\,\Gamma ((a-1)/2)}}.}$$ También existen variantes multinivel de la g de Hedges, por ejemplo, para su uso en ensayos controlados aleatorizados por conglomerados (ECA). ^{[ 30 ]} Los ECA implican la aleatorización de conglomerados, como escuelas o aulas, a diferentes condiciones y se utilizan con frecuencia en la investigación educativa.

Un estimador de tamaño de efecto similar para comparaciones múltiples (por ejemplo, ANOVA ) es el efecto estandarizado de raíz cuadrática media Ψ: ^{[ 20 ]}$${\displaystyle \Psi ={\sqrt {{\frac {1}{k-1}}\cdot \sum _{j=1}^{k}\left({\frac {\mu _{j}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}}$$ donde k es el número de grupos en las comparaciones.

Esto presenta esencialmente la diferencia global de todo el modelo ajustada por la raíz cuadrática media, análoga a d o g .

Además, se ha proporcionado una generalización para diseños multifactoriales. ^{[ 20 ]}

Siempre que los datos tengan una distribución gaussiana , se utiliza una g de Hedges escalada .${\textstyle {\sqrt {n_{1}n_{2}/(n_{1}+n_{2})}}\,g}$, sigue una distribución t no central con el parámetro de no centralidad${\textstyle {\sqrt {n_{1}n_{2}/(n_{1}+n_{2})}}\theta }$y ( n ₁ + n ₂ − 2) grados de libertad. De igual modo, el Δ de Glass escalado se distribuye con n ₂ − 1 grados de libertad.

A partir de la distribución es posible calcular la esperanza matemática y la varianza de los tamaños del efecto.

En algunos casos se utilizan aproximaciones de muestras grandes para la varianza. Una sugerencia para la varianza del estimador insesgado de Hedges es ^{[ 22 ] : 86}$${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}(g^{*})={\frac {n_{1}+n_{2}}{n_{1}n_{2}}}+{\frac {(g^{*})^{2}}{2(n_{1}+n_{2})}}.}$$

Como parámetro estadístico, SSMD (denominado como${\displaystyle \beta }$) se define como la razón entre la media y la desviación estándar de la diferencia de dos valores aleatorios de dos grupos respectivamente. Supongamos que un grupo con valores aleatorios tiene media${\displaystyle \mu _{1}}$y varianza${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$y otro grupo tiene media${\displaystyle \mu _{2}}$y varianza${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$La covarianza entre los dos grupos es${\displaystyle \sigma _{12}.}$ Entonces, el SSMD para la comparación de estos dos grupos se define como ^{[ 31 ].}

${\displaystyle \beta ={\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{12}}}}.}$

Si los dos grupos son independientes,

${\displaystyle \beta ={\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}}.}$

Si los dos grupos independientes tienen varianzas iguales${\displaystyle \sigma ^{2}}$,

${\displaystyle \beta ={\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{{\sqrt {2}}\sigma }}.}$

La distancia de Mahalanobis (D) es una generalización multivariada de la d de Cohen, que tiene en cuenta las relaciones entre las variables. ^{[ 32 ]}

La E de Subin (${\displaystyle E_{HBG}}$) es un tamaño del efecto acotado para datos de evaluaciones repetidas pareadas. Estandariza la ganancia media utilizando una dispersión de referencia, incorpora la heterogeneidad en las puntuaciones de ganancia individuales y aplica una transformación arcotangente acotada. Está diseñado para comparaciones pareadas dentro de un grupo a través de ocasiones de evaluación repetidas. ^{[ 33 ] [ 34 ]}

$${\displaystyle E_{HBG}={\frac {2}{\pi }}\arctan \left({\frac {J({\bar {X}}_{2}-{\bar {X}}_{1})}{k\,S_{ref}{\sqrt {1+\lambda \left({\frac {s_{D}}{S_{ref}}}\right)^{2}}}}}\right)}$$

dónde

$${\displaystyle S_{ref}={\sqrt {\frac {s_{1}^{2}+s_{2}^{2}}{2}}}.}$$

En la calibración publicada del método, los valores de los parámetros recomendados fueron:${\displaystyle \lambda =2.8759}$y${\displaystyle k=0.5069}$. ^{[ 33 ]}

Aquí${\displaystyle {\bar {X}}_{1}}$y${\displaystyle {\bar {X}}_{2}}$denotan las medias en dos momentos de evaluación,${\displaystyle s_{1}}$y${\displaystyle s_{2}}$denotemos las desviaciones estándar correspondientes,${\displaystyle s_{D}}$es la desviación estándar de las puntuaciones de ganancia individuales, y${\displaystyle J}$es un factor de corrección para muestras pequeñas. En la aproximación práctica reportada para el método,${\displaystyle J\approx 1-{\frac {3}{4n-5}}}$. ^{[ 33 ]}

En las calibraciones publicadas, los valores absolutos de${\displaystyle E_{HBG}}$se han interpretado utilizando las siguientes bandas empíricas. ^{[ 33 ] [ 34 ]}

Otra medida del tamaño del efecto utilizada para las pruebas de chi-cuadrado es el omega de Cohen (${\displaystyle \omega }$). Esto se define como $${\displaystyle \omega ={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}{\frac {(p_{1i}-p_{0i})^{2}}{p_{0i}}}}}}$$ donde p _{0 i} es la proporción de la i- ^ésima célula bajo H ₀ , p _{1 i} es la proporción de la i- ^ésima célula bajo H ₁ y m es el número de células.

La razón de probabilidades (OR) es otra medida útil del tamaño del efecto. Es apropiada cuando la pregunta de investigación se centra en el grado de asociación entre dos variables binarias . Por ejemplo, consideremos un estudio sobre la habilidad ortográfica. En un grupo de control, dos estudiantes aprueban la clase por cada uno que reprueba, por lo que la probabilidad de aprobar es de dos a uno (o 2/1 = 2). En el grupo de tratamiento, seis estudiantes aprueban por cada uno que reprueba, por lo que la probabilidad de aprobar es de seis a uno (o 6/1 = 6). El tamaño del efecto se puede calcular observando que la probabilidad de aprobar en el grupo de tratamiento es tres veces mayor que en el grupo de control (porque 6 dividido entre 2 es 3). Por lo tanto, la razón de probabilidades es 3. Las estadísticas de la razón de probabilidades están en una escala diferente a la d de Cohen, por lo que este '3' no es comparable a una d de Cohen de  3.

El riesgo relativo (RR), también llamado razón de riesgo , es simplemente el riesgo (probabilidad) de un evento en relación con alguna variable independiente. Esta medida del tamaño del efecto difiere de la razón de probabilidades en que compara probabilidades en lugar de razones de probabilidades , pero se aproxima asintóticamente a esta última para probabilidades pequeñas. Usando el ejemplo anterior, las probabilidades de que los del grupo de control y del grupo de tratamiento aprueben son 2/3 (o 0,67) y 6/7 (o 0,86), respectivamente. El tamaño del efecto se puede calcular de la misma manera que antes, pero usando las probabilidades en lugar de la razón de probabilidades. Por lo tanto, el riesgo relativo es 1,28. Dado que se utilizaron probabilidades de aprobar bastante altas, existe una gran diferencia entre el riesgo relativo y la razón de probabilidades. Si se hubiera utilizado el fracaso (una probabilidad menor) como evento (en lugar de aprobar ), la diferencia entre las dos medidas del tamaño del efecto no sería tan grande.

Si bien ambas medidas son útiles, tienen diferentes usos estadísticos. En la investigación médica, la razón de probabilidades se usa comúnmente en estudios de casos y controles , ya que generalmente se estiman las probabilidades, pero no las probabilidades. ^{[ 37 ]} El riesgo relativo se usa comúnmente en ensayos controlados aleatorios y estudios de cohortes , pero contribuye a sobreestimar la efectividad de las intervenciones. ^{[ 38 ]}

La diferencia de riesgo (DR), a veces llamada reducción absoluta del riesgo, es simplemente la diferencia en el riesgo (probabilidad) de un evento entre dos grupos. Es una medida útil en la investigación experimental, ya que la DR indica en qué medida una intervención experimental cambia la probabilidad de un evento o resultado. Siguiendo el ejemplo anterior, las probabilidades de éxito para quienes pertenecen al grupo de control y al grupo de tratamiento son 2/3 (o 0,67) y 6/7 (o 0,86), respectivamente, por lo que el tamaño del efecto de la DR es 0,86  −  0,67 = 0,19 (o 19 %). La DR es la medida superior para evaluar la efectividad de las intervenciones. ^{[ 38 ]}

Una medida utilizada en el análisis de potencia al comparar dos proporciones independientes es la h de Cohen . Esta se define de la siguiente manera:  $${\displaystyle h=2(\arcsin {\sqrt {p_{1}}}-\arcsin {\sqrt {p_{2}}})}$$ donde p ₁ y p ₂ son las proporciones de las dos muestras que se comparan y arcsin es la transformación arcoseno.

Para describir más fácilmente el significado de un tamaño del efecto a personas ajenas a la estadística, el tamaño del efecto en lenguaje común, como su nombre lo indica, fue diseñado para comunicarlo en un inglés sencillo. Se utiliza para describir una diferencia entre dos grupos y fue propuesto, así como nombrado, por Kenneth McGraw y SP Wong en 1992. ^{[ 39 ]} Utilizaron el siguiente ejemplo (sobre las alturas de hombres y mujeres): "en cualquier emparejamiento aleatorio de hombres y mujeres adultos jóvenes, la probabilidad de que el hombre sea más alto que la mujer es de 0,92, o en términos aún más simples, en 92 de cada 100 citas a ciegas entre adultos jóvenes, el hombre será más alto que la mujer", ^{[ 39 ]} al describir el valor poblacional del tamaño del efecto en lenguaje común.

delta de Cliff o${\displaystyle d}$, desarrollado originalmente por Norman Cliff para su uso con datos ordinales, ^{[ 40 ]} es una medida de con qué frecuencia los valores de una distribución son mayores que los valores de una segunda distribución. Fundamentalmente, no requiere ninguna suposición sobre la forma o la dispersión de las dos distribuciones.

La estimación de la muestra${\displaystyle d}$está dado por: $${\displaystyle d={\frac {\sum _{i,j}[x_{i}>x_{j}]-[x_{i}<x_{j}]}{mn}}}$$ donde las dos distribuciones son de tamaño${\displaystyle n}$y${\displaystyle m}$con artículos${\displaystyle x_{i}}$y${\displaystyle x_{j}}$, respectivamente, y${\displaystyle [\cdot ]}$es el corchete de Iverson , que es 1 cuando el contenido es verdadero y 0 cuando es falso.

${\displaystyle d}$está linealmente relacionado con el estadístico U de Mann-Whitney ; sin embargo, captura la dirección de la diferencia en su signo. Dado el estadístico U de Mann-Whitney${\displaystyle U}$,${\displaystyle d}$es: $${\displaystyle d={\frac {2U}{mn}}-1}$$

Una de las medidas de tamaño del efecto más sencillas para determinar cuánto difiere una proporción del 50% es la g de Cohen. ^{[ 10 ] : 147} Mide cuánto difiere una proporción del 50%. Por ejemplo, si el 85,2% de los arrestos por robo de automóviles son hombres, entonces el tamaño del efecto del sexo en el arresto, medido con la g de Cohen, es${\displaystyle g=0.852-0.5=0.352}$. En general:

${\displaystyle g=P-0.50{\text{ or }}0.50-P\quad ({\text{directional}}),}$

${\displaystyle g=|P-0.50|\quad ({\text{nondirectional}}).}$

Las unidades de la g de Cohen son más intuitivas (proporcionales) que en otros tamaños del efecto. A veces se utiliza en combinación con la prueba binomial .