Distribución F no central

En teoría de la probabilidad y estadística , la distribución F no central es una distribución de probabilidad continua que constituye una generalización no central de la distribución F (ordinaria) . Describe la distribución del cociente ( X / n ₁ )/( Y / n ₂ ), donde el numerador X tiene una distribución chi-cuadrado no central con n ₁ grados de libertad y el denominador Y tiene una distribución chi-cuadrado central con n ₂ grados de libertad. Además, se requiere que X e Y sean estadísticamente independientes entre sí.

Se trata de la distribución del estadístico de prueba en problemas de análisis de varianza cuando la hipótesis nula es falsa. La distribución F no central se utiliza para hallar la función de potencia de dicha prueba.

Si${\displaystyle X}$es una variable aleatoria chi-cuadrado no central con parámetro de no centralidad${\displaystyle \lambda }$y${\displaystyle \nu _{1}}$grados de libertad y${\displaystyle Y}$es una variable aleatoria chi-cuadrado con${\displaystyle \nu _{2}}$grados de libertad que son estadísticamente independientes de${\displaystyle X}$, entonces

${\displaystyle F={\frac {X/\nu _{1}}{Y/\nu _{2}}}}$

es una variable aleatoria con distribución F no central . La función de densidad de probabilidad (pdf) para la distribución F no central es ^{[ 1 ].}

${\displaystyle p(f)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda /2}(\lambda /2)^{k}}{B\left({\frac {\nu _{2}}{2}},{\frac {\nu _{1}}{2}}+k\right)k!}}\left({\frac {\nu _{1}}{\nu _{2}}}\right)^{{\frac {\nu _{1}}{2}}+k}\left({\frac {\nu _{2}}{\nu _{2}+\nu _{1}f}}\right)^{{\frac {\nu _{1}+\nu _{2}}{2}}+k}f^{\nu _{1}/2-1+k}}$

cuando${\displaystyle f\geq 0}$y cero en caso contrario. Los grados de libertad${\displaystyle \nu _{1}}$y${\displaystyle \nu _{2}}$son positivos. El término${\displaystyle B(x,y)}$es la función beta , donde

${\displaystyle B(x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}$

La función de distribución acumulativa para la distribución F no central es

${\displaystyle F(x\mid d_{1},d_{2},\lambda )=\sum \limits _{j=0}^{\infty }\left({\frac {\left({\frac {1}{2}}\lambda \right)^{j}}{j!}}e^{-\lambda /2}\right)I\left({\frac {d_{1}x}{d_{2}+d_{1}x}}{\bigg |}{\frac {d_{1}}{2}}+j,{\frac {d_{2}}{2}}\right)}$

dónde${\displaystyle I}$es la función beta incompleta regularizada .

La media y la varianza de la distribución F no central son

${\displaystyle \operatorname {E} [F]\quad {\begin{cases}={\frac {\nu _{2}(\nu _{1}+\lambda )}{\nu _{1}(\nu _{2}-2)}}&{\text{si }}\nu _{2}>2\\{\text{no existe}}&{\text{si }}\nu _{2}\leq 2\\\end{cases}}}$

y

${\displaystyle \operatorname {Var} [F]\quad {\begin{cases}=2{\frac {(\nu _{1}+\lambda )^{2}+(\nu _{1}+2\lambda )(\nu _{2}-2)}{(\nu _{2}-2)^{2}(\nu _{2}-4)}}\left({\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}\right)^{2}&{\text{si }}\nu _{2}>4\\{\text{no existe}}&{\text{si }}\nu _{2}\leq 4.\\\end{cases}}}$

Cuando λ  =  0, la distribución F no central se convierte en la distribución F.

Z tiene una distribución chi-cuadrado no central si

${\displaystyle Z=\lim _{\nu _{2}\to \infty }\nu _{1}F}$

donde F tiene una distribución F no central .

Véase también distribución t no central .

Una distribución F doblemente no central tiene una distribución chi-cuadrado no central en el numerador y el denominador. ^{[ 2 ]}

La distribución F no central está implementada en el lenguaje R (por ejemplo, la función pf), en MATLAB (funciones ncfcdf, ncfinv, ncfpdf, ncfrnd y ncfstat en la caja de herramientas de estadística), en Mathematica (función NoncentralFRatioDistribution), en NumPy (random.noncentral_f) y en las bibliotecas Boost C++ . ^{[ 3 ]}

Una página wiki colaborativa implementa una calculadora interactiva en línea, programada en el lenguaje R , para las distribuciones t no centrales, chi-cuadrado y F, en el Instituto de Estadística y Econometría de la Universidad Humboldt de Berlín . ^{[ 4 ]}

• Weisstein, Eric W. ; et  al. " Distribución F no central" . MathWorld . Wolfram Research, Inc. Recuperado el 20 de agosto de 2011 .