Serie de composición

En álgebra abstracta , una serie de composición proporciona una forma de descomponer una estructura algebraica , como un grupo o un módulo , en partes simples. La necesidad de considerar las series de composición en el contexto de los módulos surge del hecho de que muchos módulos que aparecen de forma natural no son semisimples , por lo que no pueden descomponerse en una suma directa de módulos simples . Una serie de composición de un módulo M es una filtración creciente finita de M mediante submódulos , de modo que los cocientes sucesivos son simples , y sirve como reemplazo de la descomposición en suma directa de M en sus constituyentes simples.

Una serie de composición puede no existir, y cuando existe, no necesariamente es única. Sin embargo, un conjunto de resultados conocidos como el teorema de Jordan-Hölder afirma que, siempre que existan series de composición, las clases de isomorfismo de las piezas simples (aunque, quizás, no su ubicación en la serie de composición en cuestión) y sus multiplicidades están determinadas de forma única. Por lo tanto, las series de composición pueden utilizarse para definir invariantes de grupos finitos y módulos artinianos .

Un concepto relacionado pero distinto es el de serie principal : una serie de composición es una serie subnormal máxima , mientras que una serie principal es una serie normal máxima .

Si un grupo G tiene un subgrupo normal N , entonces se puede formar el grupo de factores G / N , y algunos aspectos del estudio de la estructura de G pueden desglosarse estudiando los grupos más pequeños G/N y N. Si G no tiene ningún subgrupo normal distinto de G y del grupo trivial, entonces G es un grupo simple . De lo contrario, surge naturalmente la pregunta de si G puede reducirse a "piezas" simples, y si es así, si existen características únicas en la forma en que esto puede hacerse.

De manera más formal, una serie de composición de un grupo G es una serie subnormal de longitud finita.

${\displaystyle 1=H_{0}\triangleleft H_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft H_{n}=G,}$

con inclusiones estrictas, de modo que cada H _i es un subgrupo normal propio maximal de H _{i +1} . Equivalentemente, una serie de composición es una serie subnormal tal que cada grupo de factores H _{i +1} / H _i es simple . Los grupos de factores se denominan factores de composición .

Una serie subnormal es una serie de composición si y solo si tiene longitud máxima. Es decir, no hay subgrupos adicionales que puedan "insertarse" en una serie de composición. La longitud n de la serie se llama longitud de composición .

Si existe una serie de composición para un grupo G , entonces cualquier serie subnormal de G puede refinarse a una serie de composición, informalmente, insertando subgrupos en la serie hasta la maximalidad. Todo grupo finito tiene una serie de composición, pero no todo grupo infinito la tiene. Por ejemplo,${\displaystyle \mathbb {Z} }$No tiene serie de composición.

La definición de serie de composición para módulos restringe toda la atención a los submódulos, ignorando todos los subgrupos aditivos que no son submódulos. Dado un anillo R y un R -módulo M , una serie de composición para M es una serie de submódulos.

${\displaystyle \{0\}=J_{0}\subset \cdots \subset J_{n}=M}$

donde todas las inclusiones son estrictas y J _k es un submódulo maximal de J _{k +1} para cada k . En cuanto a los grupos, si M tiene una serie de composición, entonces cualquier serie finita estrictamente creciente de submódulos de M puede refinarse a una serie de composición, y cualesquiera dos series de composición para M son equivalentes. En ese caso, los módulos cociente (simples) J _{k +1} / J _k se conocen como los factores de composición de M, y se cumple el teorema de Jordan-Hölder, asegurando que el número de ocurrencias de cada tipo de isomorfismo de R -módulo simple como factor de composición no depende de la elección de la serie de composición.

Es bien sabido ^{[ 1 ]} que un módulo tiene una serie de composición finita si y solo si es a la vez un módulo artiniano y un módulo noetheriano . Si R es un anillo artiniano , entonces todo R -módulo finitamente generado es artiniano y noetheriano, y por lo tanto tiene una serie de composición finita. En particular, para cualquier cuerpo K , cualquier módulo de dimensión finita para un álgebra de dimensión finita sobre K tiene una serie de composición, única salvo equivalencia.

Los grupos con un conjunto de operadores generalizan las acciones de grupo y las acciones de anillo sobre un grupo. Se puede seguir un enfoque unificado tanto para grupos como para módulos, como en ( Bourbaki 1974 , Cap. 1) o ( Isaacs 1994 , Cap. 10) , lo que simplifica parte de la exposición. El grupo G se considera sometido a la acción de elementos (operadores) de un conjunto Ω. La atención se limita exclusivamente a los subgrupos invariantes bajo la acción de elementos de Ω, denominados Ω-subgrupos. Por lo tanto, las series de Ω-composición deben usar solo Ω-subgrupos, y los factores de Ω-composición solo necesitan ser Ω-simples. Los resultados estándar mencionados anteriormente, como el teorema de Jordan-Hölder, se establecen con demostraciones casi idénticas.

Entre los casos especiales recuperados se incluye cuando Ω = G, de modo que G actúa sobre sí mismo. Un ejemplo importante de esto es cuando los elementos de G actúan por conjugación, de manera que el conjunto de operadores consta de los automorfismos internos . Una serie de composición bajo esta acción es precisamente una serie principal . Las estructuras de módulos son un caso de acciones Ω donde Ω es un anillo y se satisfacen algunos axiomas adicionales.

Una serie de composición de un objeto A en una categoría abeliana es una secuencia de subobjetos.

${\displaystyle A=X_{0}\supsetneq X_{1}\supsetneq \dots \supsetneq X_{n}=0}$

de tal manera que cada objeto cociente X _i  / X _{i  +  1} sea simple (para 0 ≤ i < n ). Si A tiene una serie de composición, el ^entero n solo depende de A y se denomina longitud de A. [ ^{2 ]}

• Teoría de Krohn-Rhodes , un análogo de semigrupo
• Teorema de refinamiento de Schreier : cualesquiera dos series subnormales tienen refinamientos de series de composición equivalentes.
• Lema de Zassenhaus , utilizado para demostrar el teorema de refinamiento de Schreier.

• Birkhoff, Garrett (1934), "Series de subgrupos transfinitos" , Bulletin of the American Mathematical Society , 40 (12): 847– 850, doi : 10.1090/S0002-9904-1934-05982-2
• Baumslag, Benjamin (2006), "Una forma sencilla de demostrar el teorema de Jordan-Hölder-Schreier", American Mathematical Monthly , 113 (10): 933–935 , doi : 10.2307/27642092
• Bourbaki, N. (1974), Álgebra , Hermann, París; Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Massachusetts.
• Isaacs, I. Martin (1994), Álgebra: Un curso de posgrado , Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-19002-6
• Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (2006), Categorías y gavillas