Serie de subgrupos

Una serie subnormal (también serie normal , torre normal , serie subinvariante o simplemente serie ) de un grupo G es una secuencia de subgrupos , cada uno un subgrupo normal del siguiente. En una notación estándar

${\displaystyle 1=A_{0}\triangleleft A_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft A_{n}=G.}$

No se exige que A _i sea un subgrupo normal de G , solo un subgrupo normal de A _{i +1} . Los grupos cociente A _{i +1} / A _i se denominan grupos factoriales de la serie.

Si además cada A _i es normal en G , entonces la serie se llama serie normal , cuando este término no se usa en el sentido más débil, o serie invariante .

Una serie con la propiedad adicional de que A _i ≠ A _{i +1} para todo i se llama serie sin repetición ; equivalentemente, cada A _i es un subgrupo propio de A _{i +1} . La longitud de una serie es el número de inclusiones estrictas A _i < A _{i +1} . Si la serie no tiene repetición, entonces la longitud es n .

Para una serie subnormal, la longitud es el número de grupos de factores no triviales . Cada grupo no trivial tiene una serie normal de longitud 1, a saber:${\displaystyle 1\triangleleft G}$y cualquier subgrupo normal propio no trivial da una serie normal de longitud 2. Para grupos simples , la serie trivial de longitud 1 es la serie subnormal más larga posible.

Las series se pueden anotar en orden ascendente:

${\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq A_{n}=G}$

o en orden descendente:

${\displaystyle G=B_{0}\geq B_{1}\geq \cdots \geq B_{n}=1.}$

Para una serie finita dada, no hay distinción entre una "serie ascendente" o una "serie descendente" más allá de la notación. Sin embargo, para las series infinitas , sí existe una distinción: la serie ascendente

${\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G}$

tiene un término más pequeño, un segundo término más pequeño, y así sucesivamente, pero no tiene el término propio más grande, ni el segundo término más grande, y así sucesivamente, mientras que, por el contrario, la serie descendente

${\displaystyle G=B_{0}\geq B_{1}\geq \cdots \geq 1}$

Tiene un término mayor, pero no un término propio menor.

Además, dada una fórmula recursiva para generar una serie, los términos resultantes son ascendentes o descendentes, y la serie resultante se denomina, respectivamente, ascendente o descendente. Por ejemplo, la serie derivada y la serie central inferior son descendentes, mientras que la serie central superior es ascendente.

Un grupo que satisface la condición de cadena ascendente (CCA) en subgrupos se llama grupo noetheriano , y un grupo que satisface la condición de cadena descendente (CCD) se llama grupo artiniano (que no debe confundirse con los grupos de Artin ), por analogía con los anillos noetherianos y los anillos artinianos . La CCA es equivalente a la condición maximal : toda colección no vacía de subgrupos tiene un miembro maximal, y la CCD es equivalente a la condición mínima análoga .

Un grupo puede ser noetheriano pero no artiniano, como el grupo cíclico infinito , y a diferencia de los anillos , un grupo puede ser artiniano pero no noetheriano, como el grupo de Prüfer . Todo grupo finito es claramente noetheriano y artiniano.

Las imágenes homomórficas y los subgrupos de grupos noetherianos son noetherianos, y una extensión de un grupo noetheriano por otro grupo noetheriano también es noetheriana. Resultados análogos se aplican a los grupos artinianos.

Los grupos noetherianos son equivalentes a aquellos tales que cada subgrupo es finitamente generado , lo cual es más fuerte que el hecho de que el grupo mismo sea finitamente generado: el grupo libre con 2 o un número finito de generadores es finitamente generado, pero contiene grupos libres de rango infinito.

Los grupos noetherianos no tienen por qué ser extensiones finitas de grupos policíclicos . ^{[ 1 ]}

También se pueden definir series de subgrupos infinitos, que surgen de forma natural, en cuyo caso el conjunto de índices específico ( totalmente ordenado ) cobra importancia y existe una distinción entre series ascendentes y descendentes. Una serie ascendente${\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G}$donde el${\displaystyle A_{i}}$Los subgrupos indexados por los números naturales pueden denominarse simplemente una serie ascendente infinita , y viceversa para una serie descendente infinita . Si los subgrupos se indexan de forma más general por números ordinales , se obtiene una serie transfinita , ^{[ 2 ]} como esta serie ascendente:

${\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq A_{\omega }\leq A_{\omega +1}=G}$

Dada una fórmula recursiva para producir una serie, se puede definir una serie transfinita mediante recursión transfinita definiendo la serie en los ordinales límite por ${\displaystyle A_{\lambda }:=\bigcup _{\alpha <\lambda }A_{\alpha }}$(para series ascendentes) o${\displaystyle A_{\lambda }:=\bigcap _{\alpha <\lambda }A_{\alpha }}$(para series descendentes). Ejemplos fundamentales de esta construcción son la serie central inferior transfinita y la serie central superior .

Otros conjuntos totalmente ordenados aparecen raramente, si es que alguna vez lo hacen, como conjuntos de índices de series de subgrupos. Por ejemplo, se puede definir, pero rara vez se observa, una serie de subgrupos bi-infinita que aparezca de forma natural (serie indexada por los enteros ):

${\displaystyle 1\leq \cdots \leq A_{-1}\leq A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G}$

• Una serie de composición es una serie subnormal máxima.

Equivalentemente, una serie subnormal para la cual cada uno de los A _i es un subgrupo normal maximal de A _{i +1} . Equivalentemente, una serie de composición es una serie subnormal para la cual cada uno de los grupos de factores es simple .

• Una serie principal es una serie normal máxima.

• Un grupo resoluble , o grupo soluble, es aquel que tiene una serie subnormal cuyos grupos de factores son todos abelianos .
• Una serie nilpotente es una serie subnormal tal que los cocientes sucesivos son nilpotentes .

Una serie nilpotente existe si y solo si el grupo es resoluble .

• Una serie central es una serie subnormal tal que los cocientes sucesivos son centrales , es decir, dada la serie anterior,${\displaystyle A_{i+1}/A_{i}\subseteq Z(G/A_{i})}$para${\displaystyle i=0,1,\ldots ,n-2}$.

Existe una serie central si y solo si el grupo es nilpotente .

Algunas series de subgrupos se definen funcionalmente , en términos de subgrupos como el centro y operaciones como el conmutador. Estas incluyen:

• Serie central inferior
• Serie central superior
• Series derivadas
• Serie de accesorios inferiores
• Serie de accesorios superiores

Hay series que provienen de subgrupos de orden de potencia prima o índice de potencia prima, relacionadas con ideas como los subgrupos de Sylow .

• Serie p inferior
• Serie p superior