Subobjeto

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un subobjeto es, en términos generales, un objeto que se encuentra dentro de otro objeto de la misma categoría . Esta noción es una generalización de conceptos como subconjuntos de la teoría de conjuntos , subgrupos de la teoría de grupos [ ^{1 ] y} subespacios de la topología . Dado que la estructura detallada de los objetos es irrelevante en la teoría de categorías, la definición de subobjeto se basa en un morfismo que describe cómo un objeto se encuentra dentro de otro, en lugar de basarse en el uso de elementos.

El concepto dual a un subobjeto es unobjeto cociente . Esto generaliza conceptos comoconjuntos cociente,grupos cociente,espacios cociente,grafos cociente, etc.

Una definición categórica apropiada de "subobjeto" puede variar según el contexto y el objetivo. Una definición común es la siguiente.

En detalle, dejemos${\displaystyle A}$ser un objeto de alguna categoría. Dados dos monomorfismos

${\displaystyle u:S\to A\ {\text{y}}\ v:T\to A}$

con codominio${\displaystyle A}$, definimos una relación de equivalencia por${\displaystyle u\equiv v}$ si existe un isomorfismo${\displaystyle \phi :S\to T}$con${\displaystyle u=v\circ \phi }$.

De forma equivalente, escribimos${\displaystyle u\leq v}$si${\displaystyle u}$factores a través de${\displaystyle v}$—es decir, si existe${\displaystyle \phi :S\to T}$de tal manera que${\displaystyle u=v\circ \phi }$. La relación binaria${\displaystyle \equiv }$definido por

${\displaystyle u\equiv v\iff u\leq v\ {\text{y}}\ v\leq u}$

es una relación de equivalencia en los monomorfismos con codominio${\displaystyle A}$y las clases de equivalencia correspondientes de estos monomorfismos son los subobjetos de${\displaystyle A}$.

La relación ≤ induce un orden parcial en la colección de subobjetos de${\displaystyle A}$.

La colección de subobjetos de un objeto puede ser, de hecho, una clase propia ; esto significa que la discusión presentada es algo imprecisa. Si la colección de subobjetos de cada objeto es un conjunto , la categoría se denomina bien potenciada o, raramente, localmente pequeña (esto entra en conflicto con otro uso del término localmente pequeña , a saber, que existe un conjunto de morfismos entre dos objetos cualesquiera).

Para obtener el concepto dual de objeto cociente , sustituya "monomorfismo" por " epimorfismo " arriba e invierta las flechas. Un objeto cociente de A es entonces una clase de equivalencia de epimorfismos con dominio A.

Sin embargo, en algunos contextos estas definiciones son inadecuadas, ya que no concuerdan con las nociones bien establecidas de subobjeto u objeto cociente. En la categoría de espacios topológicos, los monomorfismos son precisamente las funciones inyectivas continuas; pero no todas las funciones inyectivas continuas son incrustaciones de subespacios. En la categoría de anillos, la inclusión${\displaystyle \mathbb {Z} \hookrightarrow \mathbb {Q} }$es un epimorfismo pero no es el cociente de${\displaystyle \mathbb {Z} }$mediante un ideal bilateral. Para obtener mapas que se comporten verdaderamente como incrustaciones de subobjetos o cocientes, en lugar de como funciones inyectivas arbitrarias o mapas con imagen densa, es necesario restringirse a monomorfismos y epimorfismos que satisfagan hipótesis adicionales. Por lo tanto, se podría definir un "subobjeto" como una clase de equivalencia de los llamados "monomorfismos regulares" (monomorfismos que pueden expresarse como un ecualizador de dos morfismos) y un "objeto cociente" como cualquier clase de equivalencia de "epimorfismos regulares" (morfismos que pueden expresarse como un coecualizador de dos morfismos).

Esta definición corresponde a la comprensión ordinaria de un subobjeto fuera de la teoría de categorías. Cuando los objetos de la categoría son conjuntos (posiblemente con estructura adicional, como una estructura de grupo) y los morfismos son funciones de conjunto (que preservan la estructura adicional), se piensa en un monomorfismo en términos de su imagen. Una clase de equivalencia de monomorfismos está determinada por la imagen de cada monomorfismo en la clase; es decir, dos monomorfismos f y g en un objeto T son equivalentes si y solo si sus imágenes son el mismo subconjunto (por lo tanto, subobjeto) de T. En ese caso existe el isomorfismo.${\displaystyle g^{-1}\circ f}$de sus dominios bajo los cuales los elementos correspondientes de los dominios se mapean mediante f y g , respectivamente, al mismo elemento de T ; esto explica la definición de equivalencia.

En Set , la categoría de conjuntos , un subobjeto de A corresponde a un subconjunto B de A , o más bien a la colección de todas las aplicaciones de conjuntos equipotentes a B con imagen exactamente B. El orden parcial de un subobjeto de un conjunto en Set es simplemente su retículo de subconjuntos .

En Grp , la categoría de grupos , los subobjetos de A corresponden a los subgrupos de A.

Dada una clase parcialmente ordenada P = ( P , ≤), podemos formar una categoría con los elementos de P como objetos, y una sola flecha de p a q si y solo si p ≤ q . Si P tiene un elemento máximo, el orden parcial de subobjetos de este elemento máximo será P mismo. Esto se debe en parte a que todas las flechas en dicha categoría serán monomorfismos.

Un subobjeto de un objeto terminal se denomina objeto subterminal .

• clasificador de subobjetos
• Subcociente

• Mac Lane, Saunders (1998), Categorías para el matemático en activo , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  5 (2.ª  ed.), Nueva York, NY: Springer-Verlag , ISBN 0-387-98403-8, Zbl 0906.18001 
• Pedicchio, Maria Cristina ; Tholen, Walter, eds. (2004). Fundamentos categóricos. Temas especiales en orden, topología, álgebra y teoría de haces . Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones. Vol.  97. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001 .