Superficie algebraica

En matemáticas , una superficie algebraica es una variedad algebraica de dimensión dos. Por lo tanto, una superficie algebraica es la solución de un sistema de ecuaciones polinómicas, en el que existen dos direcciones independientes en cada punto. Un ejemplo de superficie algebraica es la esfera , que está determinada por la ecuación polinómica simple.${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.}$ El estudio de la geometría intrínseca de las superficies algebraicas es un tema central en la geometría algebraica . La teoría es mucho más compleja que la de las curvas algebraicas (casos unidimensionales) y fue desarrollada sustancialmente por la escuela italiana de geometría algebraica a finales del siglo XIX y principios del XX. Sigue siendo un campo de investigación activo.

En los casos más simples, las superficies algebraicas se estudian como variedades algebraicas sobre los números complejos . Por ejemplo, la familiar esfera (para números reales)${\displaystyle x,y,z}$), se convierte en una superficie cuádrica compleja ( afín ) , que incorpora simultáneamente la esfera y los hiperboloides de una y dos hojas, y esto permite posponer algunas complicaciones (como la topología : si la superficie es conexa o simplemente conexa ). Las superficies de mayor grado incluyen, por ejemplo, la superficie de Kummer . La clasificación de las superficies algebraicas es mucho más intrincada que la clasificación de las curvas algebraicas , que tienen dimensión uno, y ya es bastante complicada.

Las superficies algebraicas, al igual que las curvas algebraicas, pueden presentar singularidades, que son puntos donde no existe un plano tangente . Una singularidad puede ser un punto de autointersección o un punto donde el número de dimensiones "libres" disminuye, como en una cúspide . La teoría de catástrofes está estrechamente relacionada con la clasificación de las singularidades de las superficies. Asimismo, las superficies algebraicas pueden definirse sobre otros campos además de los números complejos. Este artículo se centra principalmente en el caso complejo.

En el caso de la dimensión uno, las variedades se clasifican solo por el género topológico , pero, en la dimensión dos, es necesario distinguir el género aritmético.${\displaystyle p_{a}}$y el género geométrico${\displaystyle p_{g}}$porque no se puede distinguir birracionalmente solo el género topológico. Entonces, se introduce la irregularidad para la clasificación de variedades. A continuación se presenta un resumen de los resultados (en detalle, para cada tipo de superficie se hace referencia a cada redirección):

Ejemplos de superficies algebraicas incluyen (κ es la dimensión de Kodaira ):

• κ = −∞: el plano proyectivo , cuádricas en P ³ , superficies cúbicas , superficie de Veronese , superficies de Del Pezzo , superficies regladas
• κ = 0  : superficies K3 , superficies abelianas , superficies de Enriques , superficies hiperelípticas
• κ = 1: superficies elípticas
• κ = 2: superficies de tipo general .

Para ver más ejemplos, consulte la lista de superficies algebraicas .

Los primeros cinco ejemplos son, de hecho, birracionalmente equivalentes . Es decir, por ejemplo, una superficie cúbica tiene un campo de funciones isomorfo al del plano proyectivo , siendo las funciones racionales en dos indeterminadas. El producto cartesiano de dos curvas también proporciona ejemplos.

La geometría birracional de las superficies algebraicas es rica debido a la explosión (también conocida como transformación monoidal ), mediante la cual un punto se reemplaza por la curva formada por todas las direcciones tangentes límite que llegan a él (una línea proyectiva ). Ciertas curvas también pueden sufrir una explosión descendente , pero existe una restricción (el número de autointersección debe ser -1 ).

El criterio de Nakai dice que:

Un divisor D en una superficie S es amplio si y solo si D ² > 0 y para toda curva irreducible C en S D•C > 0 .

Los divisores amplios tienen una propiedad interesante, como por ejemplo, ser el retroceso de algún fibrado hiperplano del espacio proyectivo, cuyas propiedades son muy conocidas.${\displaystyle {\mathcal {D}}(S)}$Sea S el grupo abeliano formado por todos los divisores en S. Entonces, debido al teorema de intersección,

${\displaystyle {\mathcal {D}}(S)\times {\mathcal {D}}(S)\rightarrow \mathbb {Z}$ :(X,Y)\mapsto X\cdot Y}

se considera una forma cuadrática . Sea

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{0}(S):=\{D\in {\mathcal {D}}(S)|D\cdot X=0,{\text{para todo }}X\in {\mathcal {D}}(S)\}}$

entonces${\displaystyle {\mathcal {D}}/{\mathcal {D}}_{0}(S):=Num(S)}$se convierte en un grupo de clases numéricamente equivalente de S y

${\displaystyle Núm(S)\times Núm(S)\mapsto \mathbb {Z} =({\bar {D}},{\bar {E}})\mapsto D\cdot E}$

también se convierte en una forma cuadrática en${\displaystyle Num(S)}$, dónde${\displaystyle {\bar {D}}}$es la imagen de un divisor D en S. (En la imagen de abajo)${\displaystyle {\bar {D}}}$se abrevia con D. )

Para un fibrado lineal amplio H en S , la definición

${\displaystyle \{H\}^{\perp }:=\{D\in Num(S)|D\cdot H=0\}.}$

se utiliza en la versión de superficie del teorema del índice de Hodge :

para${\displaystyle D\in \{\{H\}^{\perp }|D\neq 0\},D\cdot D<0}$, es decir, la restricción de la forma de intersección a${\displaystyle \{H\}^{\perp }}$es una forma cuadrática definida negativa.

Este teorema se demuestra utilizando el criterio de Nakai y el teorema de Riemann-Roch para superficies. El teorema del índice de Hodge se utiliza en la demostración de Deligne de la conjetura de Weil .

Entre los resultados básicos sobre superficies algebraicas se incluyen el teorema del índice de Hodge y la división en cinco grupos de clases de equivalencia birracionales, denominada ^{clasificación} de superficies algebraicas . La clase de tipo general , de dimensión de Kodaira 2, es muy grande (por ejemplo, una superficie no singular de grado 5 o superior en P3 pertenece a ella).

Existen tres invariantes esenciales del número de Hodge de una superficie. De ellos, h ^1,0 se denominaba clásicamente irregularidad y se denotaba por q ; y h ^2,0 se denominaba género geométrico p _g . El tercero, h ^1,1 , no es un invariante birracional , porque la explosión puede añadir curvas enteras, con clases en H ^1,1 . Se sabe que los ciclos de Hodge son algebraicos y que la equivalencia algebraica coincide con la equivalencia homológica , de modo que h ^1,1 es una cota superior para ρ, el rango del grupo de Néron-Severi . El género aritmético p _a es la diferencia

género geométrico − irregularidad.

Esto explica por qué la irregularidad recibió ese nombre, como una especie de "término de error".

El teorema de Riemann-Roch para superficies fue formulado por primera vez por Max Noether . Las familias de curvas en las superficies pueden clasificarse, en cierto sentido, y dan lugar a gran parte de su interesante geometría.

• Programa modelo mínimo

• Dolgachev, IV (2001) [1994], "Superficie algebraica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Zariski, Oscar (1995), Superficies algebraicas , Clásicos en matemáticas, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-58658-6, MR 1336146 

• SURFER es un programa gratuito para visualizar superficies algebraicas en tiempo real, que incluye una galería de usuarios.
• SingSurf es un visor 3D interactivo para superficies algebraicas.
• La página sobre superficies algebraicas se creó en 2008.
• Descripción general y reflexiones sobre el diseño de superficies algebraicas