Teorema de Riemann-Roch para superficies

En matemáticas, el teorema de Riemann-Roch para superficies describe la dimensión de sistemas lineales en una superficie algebraica . Su formulación clásica fue presentada por primera vez por Castelnuovo ( 1896 , 1897 ) , tras versiones preliminares de Max Noether ( 1886 ) y Enriques ( 1894 ) . La versión basada en la teoría de haces se debe a Hirzebruch .   

Una forma del teorema de Riemann - Roch establece que si${\displaystyle D}$es un divisor en una superficie proyectiva no singular entonces

${\displaystyle \chi (D)=\chi (0)+{\tfrac {1}{2}}D.(DK)\,}$

dónde${\displaystyle \chi }$es la característica de Euler holomorfa , el punto${\displaystyle .}$es el número de intersección y${\displaystyle K}$es el divisor canónico. La constante${\displaystyle \chi (0)}$es la característica de Euler holomorfa del fibrado trivial, y es igual a${\displaystyle 1+p_{a}}$, dónde${\displaystyle p_{a}}$es el género aritmético de la superficie. A modo de comparación, el teorema de Riemann - Roch para una curva establece que${\displaystyle \chi (D)=\chi (0)+\operatorname {grados} (D)}$.

La fórmula de Noether establece que

${\displaystyle \chi ={\frac {c_{1}^{2}+c_{2}}{12}}={\frac {(KK)+e}{12}}}$

donde χ = χ (0) es la característica de Euler holomorfa, c ₁ ² =  ( K . K ) es un número de Chern y el número de autointersección de la clase canónica K , y e  = c ₂ es la característica de Euler topológica. Se puede usar para reemplazar el término χ (0) en el teorema de Riemann-Roch con términos topológicos; esto da el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch para superficies. 

Para superficies, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch es esencialmente el teorema de Riemann-Roch para superficies combinado con la fórmula de Noether. Para ver esto, recordemos que para cada divisor D en una superficie existe un haz invertible L = O( D ) tal que el sistema lineal de D es más o menos el espacio de secciones de L . Para superficies la clase de Todd es${\displaystyle 1+c_{1}(X)/2+(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X))/12}$y el carácter Chern del haz L es simplemente${\displaystyle 1+c_{1}(L)+c_{1}(L)^{2}/2}$, por lo que el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch establece que

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (D)&=h^{0}(L)-h^{1}(L)+h^{2}(L)\\&={\frac {1}{2}}c_{1}(L)^{2}+{\frac {1}{2}}c_{1}(L)\,c_{1}(X)+{\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right)\end{aligned}}}$

Afortunadamente, esto se puede escribir de forma más clara como sigue. Primero, al hacer D  =  0 se muestra que

${\displaystyle \chi (0)={\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right)}$  (Fórmula de Noether)

Para haces invertibles (fibrados de líneas), la segunda clase de Chern se anula. Los productos de las segundas clases de cohomología se pueden identificar con los números de intersección en el grupo de Picard , y obtenemos una versión más clásica de Riemann-Roch para superficies:

${\displaystyle \chi (D)=\chi (0)+{\frac {1}{2}}(DD-DK)}$

Si queremos, podemos usar la dualidad de Serre para expresar h ² (O( D )) como h ⁰ (O( K − D )), pero a diferencia del caso de las curvas, en general no hay una manera fácil de escribir el término h ¹ (O( D )) en una forma que no involucre la cohomología de haces (aunque en la práctica a menudo se desvanece).  

Las primeras formulaciones del teorema de Riemann - Roch para superficies a menudo se enunciaban como una desigualdad en lugar de una igualdad, porque no existía una descripción geométrica directa de los primeros grupos de cohomología. Un ejemplo típico lo proporciona Zariski (1995 , p. 78) , que afirma que 

${\displaystyle r\geq n-\pi +p_{a}+1-i}$

dónde

• r es la dimensión del sistema lineal completo | D | de un divisor D (por lo tanto , r  = h ⁰ (O( D )) − 1) 
• n es el grado virtual de D , dado por el número de autointersección ( D . D ).
• π es el género virtual de D , igual a 1 + (DD + KD)/2
• p _a es el género aritmético χ (O _F ) − 1 de la superficie
• i es el índice de especialidad de D , igual a dim H ⁰ (O( K − D )) (que por dualidad de Serre es lo mismo que dim H ² (O(D))).  

La diferencia entre ambos lados de esta desigualdad se denominó superabundancia s del divisor D. Al comparar esta desigualdad con la versión del teorema de Riemann - Roch en la teoría de haces, se observa que la superabundancia de D viene dada por s  =  dim H ¹ (O( D )). El divisor D se denominó regular si i  = s = 0 (o, dicho de otro modo, si todos los grupos de cohomología superiores de O( D ) se anulan) y superabundante si s > 0.      

• Métodos topológicos en geometría algebraica por Friedrich Hirzebruch ISBN 3-540-58663-6
• Zariski, Oscar (1995), Superficies algebraicas , Clásicos en matemáticas, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-58658-6, MR 1336146 
• Smith, Roy. "Sobre la generalización de Riemann-Roch y Hirzebruch clásicas" (PDF) . Departamento de Matemáticas, Centro de Investigación y Educación Boyd, Universidad de Georgia .