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Articulo de referencia

Género (matemáticas)

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Una superficie de género 2

En matemáticas , género ( pl.: géneros ) tiene varios significados distintos, pero estrechamente relacionados. Intuitivamente, el género es el número de "agujeros" de una superficie . [ 1 ] Una esfera tiene género 0, mientras que un toro tiene género 1.

Topología

Superficies orientables

La taza de café y la rosquilla que se muestran en esta animación pertenecen al género uno.

El género de una superficie conexa y orientable es un número entero que representa el número máximo de cortes a lo largo de curvas cerradas simples que no se intersecan sin que la variedad resultante se vuelva desconectada. [ 2 ] Es igual al número de asas en ella. Alternativamente, puede definirse en términos de la característica de Euler.χ{\displaystyle \chi }, a través de la relaciónχ=2−2gramo{\displaystyle \chi =2-2g}para superficies cerradas , dondegramo{\displaystyle g}es el género. Para superficies conb{\displaystyle b}componentes de contorno , la ecuación se leeχ=2−2gramo−b{\displaystyle \chi =2-2g-b}.

En términos sencillos, el género es el número de "agujeros" que tiene un objeto ("agujeros" interpretado en el sentido de agujeros de rosquilla; una esfera hueca se consideraría que tiene cero agujeros en este sentido). [ 3 ] Un toroide tiene 1 agujero de este tipo, mientras que una esfera tiene 0. La superficie verde que se muestra arriba tiene 2 agujeros del tipo relevante.

Por ejemplo:

  • La esferaS2{\displaystyle S^{2}}y un disco tienen ambos género cero.
  • Un toroide tiene género uno, al igual que la superficie de una taza de café con asa.

La construcción explícita de superficies del género g se da en el artículo sobre el polígono fundamental .

Superficies no orientables

El género no orientable , semigénero o género de Euler de una superficie cerrada conexa y no orientable es un número entero positivo que representa la cantidad de tapas cruzadas unidas a una esfera . Alternativamente, se puede definir para una superficie cerrada en términos de la característica de Euler χ, mediante la relación χ = 2 − k , donde k es el género no orientable.

Por ejemplo:

Nudo

El género de un nudo K se define como el género mínimo de todas las superficies de Seifert para K. [ 5 ] Sin embargo, una superficie de Seifert de un nudo es una variedad con frontera , siendo la frontera el nudo, es decir, homeomorfa al círculo unitario . El género de dicha superficie se define como el género de la variedad bidimensional, que se obtiene pegando el disco unitario a lo largo de la frontera.

Cuerpo del manillar

El género de un cuerpo de asa tridimensional es un número entero que representa la cantidad máxima de cortes a lo largo de discos incrustados sin que la variedad resultante quede desconectada. Es igual al número de asas que posee.

Por ejemplo:

  • Una bola tiene género 0.
  • Un toro sólido D 2 × S 1 tiene género 1.

teoría de grafos

El género de un grafo es el entero mínimo n tal que el grafo puede dibujarse sin cruzarse consigo mismo en una esfera con n asas (es decir, una superficie orientada de género n ). Por lo tanto, un grafo planar tiene género 0, porque puede dibujarse en una esfera sin autocruzarse.

El género no orientable de un grafo es el entero mínimo n tal que el grafo puede dibujarse sin cruzarse consigo mismo en una esfera con n extremos (es decir, una superficie no orientable de género n ). (Este número también se denomina semigénero ).

El género de Euler es el entero mínimo n tal que el grafo se puede dibujar sin cruzarse a sí mismo en una esfera con n tapas cruzadas o en una esfera con n/2 asas. [ 6 ]

En la teoría topológica de grafos hay varias definiciones del género de un grupo . Arthur T. White introdujo el siguiente concepto. El género de un grupo G es el género mínimo de un grafo de Cayley (conectado, no dirigido) para G.

El problema del género de grafos es NP-completo . [ 7 ]

Geometría algebraica

Existen dos definiciones relacionadas de género de cualquier esquema algebraico proyectivo .incógnita{\displaystyle X}: el género aritmético y el género geométrico . [ 8 ] Cuandoincógnita{\displaystyle X}es una curva algebraica con campo de definición de los números complejos , y siincógnita{\displaystyle X}no tiene puntos singulares , entonces estas definiciones concuerdan y coinciden con la definición topológica aplicada a la superficie de Riemann deincógnita{\displaystyle X}(su variedad de puntos complejos). Por ejemplo, la definición de curva elíptica de la geometría algebraica es una curva proyectiva no singular conectada de género 1 con un punto racional dado en ella .

Por el teorema de Riemann-Roch , una curva plana irreducible de gradod{\displaystyle d}dado por el lugar de desaparición de una seccións∈Γ(PAG2,OPAG2(d)){\displaystyle s\in \Gamma (\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(d))}tiene género geométrico

gramo=(d−1)(d−2)2−s,{\displaystyle g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}-s,}

dóndes{\displaystyle s}es el número de singularidades cuando se cuentan correctamente.

Geometría diferencial

En geometría diferencial , un género de una variedad orientadaMETRO{\displaystyle M}puede definirse como un número complejoΦ(METRO){\displaystyle \Phi (M)}sujeto a las condiciones

  • Φ(METRO1⨿METRO2)=Φ(METRO1)+Φ(METRO2){\displaystyle \Phi (M_{1}\amalg M_{2})=\Phi (M_{1})+\Phi (M_{2})}
  • Φ(METRO1×METRO2)=Φ(METRO1)⋅Φ(METRO2){\displaystyle \Phi (M_{1}\times M_{2})=\Phi (M_{1})\cdot \Phi (M_{2})}
  • Φ(METRO1)=Φ(METRO2){\displaystyle \Phi (M_{1})=\Phi (M_{2})}siMETRO1{\displaystyle M_{1}}yMETRO2{\displaystyle M_{2}}son cobordantes .

En otras palabras,Φ{\displaystyle \Phi }es un homomorfismo de anillosR→do{\displaystyle R\to \mathbb {C} }, dóndeR{\displaystyle R}es el anillo de cobordismo orientado de Thom . [ 9 ]

El géneroΦ{\displaystyle \Phi }es multiplicativo para todos los fibrados en variedades espinoriales con una estructura compacta conexa siregistroΦ{\displaystyle \log _{\Phi }}es una integral elíptica comoregistroΦ⁡(incógnita)=∫0incógnita(1−2δt2+εt4)−1/2dt{\displaystyle \log _{\Phi }(x)=\int _{0}^{x}(1-2\delta t^{2}+\varepsilon t^{4})^{-1/2}dt}para algunosδ,ε∈do.{\displaystyle \delta ,\varepsilon \in \mathbb {C} .}Este género se denomina género elíptico.

La característica de Eulerχ(METRO){\displaystyle \chi (M)}no es un género en este sentido ya que no es invariante con respecto a los cobordismos.

Biología

El género también puede calcularse para el grafo generado por la red de interacciones químicas en ácidos nucleicos o proteínas . En particular, se puede estudiar el crecimiento del género a lo largo de la cadena. Dicha función (denominada traza del género) muestra la complejidad topológica y la estructura de dominios de las biomoléculas. [ 10 ]

Véase también

Citas

  1. ↑ Popescu-Pampu 2016 , pág. xiii, Introducción.
  2. ↑ Popescu-Pampu 2016 , pág. xiv, Introducción.
  3. ↑ Weisstein, EW "Género" . MundoMatemático . Consultado el 4 de junio de 2021 .
  4. 1 2 3 4 Oeste 2000 .
  5. ↑ Adams, Colin (2004), The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3678-1
  6. ↑ Ellis-Monaghan, Joanna A.; Moffatt, Iain (2013). Graphs on Surfaces: Dualities, Polynomials, and Knots . Nueva York, NY: Springer New York. doi : 10.1007/978-1-4614-6971-1 . ISBN 978-1-4614-6970-4.
  7. ^ Thomassen, Carsten (1989). "El problema del género de gráficos es NP-completo". Revista de algoritmos . 10 (4): 568– 576. doi : 10.1016/0196-6774(89)90006-0 . ISSN 0196-6774 . Zbl 0689.68071 .  
  8. ↑ Hirzebruch, Friedrich (1995) [1978]. Métodos topológicos en geometría algebraica . Clásicos de las matemáticas. Traducción del alemán y apéndice uno de RLE Schwarzenberger. Apéndice dos de A. Borel (Reimpresión de la 2.ª, impresión corregida de la 3.ª ed.). Berlín: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-58663-0. Zbl 0843.14009 . 
  9. ↑ Charles Rezk - Cohomología elíptica y curvas elípticas (Conferencias Felix Klein, Bonn 2015. Departamento de Matemáticas, Universidad de Illinois, Urbana, IL)
  10. ↑ Sułkowski, Piotr; Sulkowska, Joanna I. ; Dabrowski-Tumanski, Pawel; Andersen, Ebbe Sloth; Geary, Cody; Zając, Sebastian (2018-12-03). " Genus trace revela la complejidad topológica y la estructura de dominios de las biomoléculas" . Scientific Reports . 8 (1): 17537. Bibcode : 2018NatSR...817537Z . doi : 10.1038/s41598-018-35557-3 . ISSN 2045-2322 . PMC 6277428. PMID 30510290 .   

Referencias

  • Popescu-Pampu, Patrick (2016). ¿Qué es el género? Springer Verlag . ISBN 978-3-319-42312-8.
  • West, Douglas Brent (2000). «Superficies de género superior». Introducción a la teoría de grafos . págs. 266-269 . ISBN  978-0130144003.