Ciclo de Hodge

En geometría diferencial , un ciclo de Hodge o clase de Hodge es un tipo particular de clase de homología definida en una variedad algebraica compleja V , o más generalmente en una variedad de Kähler . Una clase de homología x en un grupo de homología

${\displaystyle H_{k}(V,\mathbb {C} )=H}$

donde V es una variedad algebraica compleja no singular o la variedad de Kähler es un ciclo de Hodge , siempre que satisfaga dos condiciones. En primer lugar, k es un entero par.${\displaystyle 2p}$y en la descomposición de suma directa de H que se ha demostrado que existe en la teoría de Hodge , x es puramente de tipo${\displaystyle (p,p)}$En segundo lugar, x es una clase racional, en el sentido de que se encuentra en la imagen del homomorfismo de grupos abelianos.

${\displaystyle H_{k}(V,\mathbb {Q} )\to H}$

definido en topología algebraica (como un caso especial del teorema del coeficiente universal ). Por lo tanto, el término convencional ciclo de Hodge es ligeramente impreciso, ya que x se considera como una clase ( módulo límites); pero este es el uso normal.

La importancia de los ciclos de Hodge radica principalmente en la conjetura de Hodge , que establece que los ciclos de Hodge siempre deben ser ciclos algebraicos para V una variedad algebraica completa . Este es un problema sin resolver, uno de los Problemas del Premio del Milenio . Se sabe que ser un ciclo de Hodge es una condición necesaria para ser un ciclo algebraico racional, y se conocen numerosos casos particulares de la conjetura.

• "Conjetura de Hodge" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]