Explotando

En matemáticas , la explosión es un tipo de transformación geométrica que reemplaza un subespacio de un espacio dado por el espacio de todas las direcciones que apuntan fuera de ese subespacio. Por ejemplo, la explosión de un punto en un plano reemplaza el punto por el espacio tangente proyectivo en ese punto. La metáfora es la de ampliar una fotografía para agrandar una parte de la imagen, en lugar de referirse a una explosión . La operación inversa se llama derrumbe .

Las explosiones son la transformación más fundamental en la geometría birracional , ya que todo morfismo birracional entre variedades proyectivas es una explosión. El teorema de factorización débil establece que toda aplicación birracional puede factorizarse como una composición de explosiones particularmente simples. El grupo de Cremona , el grupo de automorfismos birracionales del plano, se genera mediante explosiones.

Además de su importancia para describir transformaciones birracionales, las explosiones también constituyen una forma importante de construir nuevos espacios. Por ejemplo, la mayoría de los procedimientos para la resolución de singularidades se basan en la explosión de estas hasta que se vuelven suaves. Como consecuencia, las explosiones pueden utilizarse para resolver las singularidades de las aplicaciones birracionales.

Clásicamente, las explosiones se definían extrínsecamente, definiéndolas primero en espacios como el espacio proyectivo mediante una construcción explícita en coordenadas y luego definiéndolas en otros espacios en términos de una inmersión. Esto se refleja en parte de la terminología, como el término clásico « transformación monoidal ». La geometría algebraica contemporánea trata la explosión como una operación intrínseca en una variedad algebraica . Desde esta perspectiva, una explosión es la forma universal (en el sentido de la teoría de categorías ) de convertir una subvariedad en un divisor de Cartier .

Una explosión también puede denominarse transformación monoidal , transformación localmente cuadrática , dilatación , proceso σ o mapa de Hopf .

El caso más simple de explosión es la explosión de un punto en un plano. La mayoría de las características generales de la explosión se pueden observar en este ejemplo.

La explosión tiene una descripción sintética como una correspondencia de incidencia. Recordemos que la grassmanniana${\displaystyle \mathbf {Gr} (1,2)}$Parametriza el conjunto de todas las rectas que pasan por un punto en el plano. La explosión del plano proyectivo.${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$en ese punto${\displaystyle P}$, que denotaremos${\displaystyle X}$, es

${\displaystyle X=\{(Q,\ell )\mid P,\,Q\in \ell \}\subseteq \mathbf {P} ^{2}\times \mathbf {Gr} (1,2).}$

Aquí${\displaystyle Q}$denota otro punto en${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$y${\displaystyle \ell }$es un elemento de la Grassmanniana.${\displaystyle X}$es una variedad proyectiva porque es una subvariedad cerrada de un producto de variedades proyectivas. Viene con un morfismo natural.${\displaystyle \pi }$a${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$eso toma la pareja${\displaystyle (Q,\ell )}$a${\displaystyle Q}$Este morfismo es un isomorfismo en el subconjunto abierto de todos los puntos.${\displaystyle (Q,\ell )\in X}$con${\displaystyle Q\neq P}$porque la línea${\displaystyle \ell }$está determinado por esos dos puntos. Cuando${\displaystyle Q=P}$Sin embargo, la línea${\displaystyle \ell }$puede ser cualquier línea a través de${\displaystyle P}$Estas líneas corresponden al espacio de direcciones a través de${\displaystyle P}$, que es isomorfo a${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$. Este${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$se denomina divisor excepcional y, por definición, es el espacio normal proyectivizado en${\displaystyle P}$. Porque${\displaystyle P}$es un punto, el espacio normal es el mismo que el espacio tangente, por lo que el divisor excepcional es isomorfo al espacio tangente proyectivizado en${\displaystyle P}$.

Para dar coordenadas en la explosión, podemos escribir ecuaciones para la correspondencia de incidencia anterior.${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$coordenadas homogéneas${\displaystyle [X_{0}:X_{1}:X_{2}]}$en el cual${\displaystyle P}$ese es el punto${\displaystyle [P_{0}:P_{1}:P_{2}]}$. Por dualidad proyectiva ,${\displaystyle \mathbf {Gr} (1,2)}$es isomorfo a${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$, por lo que podemos darle coordenadas homogéneas${\ Displaystyle [L_ {0}: L_ {1}: L_ {2}]}$Una línea${\displaystyle \ell _{0}=[L_{0}:L_{1}:L_{2}]}$es el conjunto de todos${\displaystyle [X_{0}:X_{1}:X_{2}]}$de tal manera que${\ Displaystyle X_ {0} L_ {0} + X_ {1} L_ {1} + X_ {2} L_ {2} = 0}$Por lo tanto, la explosión puede describirse como

${\displaystyle X={\bigl \{}{\bigl (}[X_{0}:X_{1}:X_{2}],[L_{0}:L_{1}:L_{2}]{\bigr )}\mid P_{0}L_{0}+P_{1}L_{1}+P_{2}L_{2}=0,\,X_{0}L_{0}+X_{1}L_{1}+X_{2}L_{2}=0{\bigr \}}\subseteq \mathbf {P} ^{2}\times \mathbf {P} ^{2}.}$

La explosión está a un isomorfismo de distancia de${\displaystyle P}$y trabajando en el plano afín en lugar del plano proyectivo, podemos dar ecuaciones más simples para la explosión. Después de una transformación proyectiva , podemos suponer que${\displaystyle P=[0:0:1]}$. Escribir${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$para las coordenadas en el plano afín${\displaystyle \{X_{2}\neq 0\}}$. La condición${\displaystyle P\in \ell }$implica que${\displaystyle L_{2}=0}$, por lo que podemos reemplazar el Grassmanniano con un${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$Entonces, la explosión es la variedad

${\displaystyle {\bigl \{}{\bigl (}(x,y),[z:w]{\bigr )}\mid xz+yw=0{\bigr \}}\subseteq \mathbf {A} ^{2}\times \mathbf {P} ^{1}.}$

Es más común cambiar las coordenadas para invertir uno de los signos. Entonces la explosión se puede escribir como

${\displaystyle \left\{{\bigl (}(x,y),[z:w]{\bigr )}\mid \det {\begin{bmatrix}x&y\\w&z\end{bmatrix}}=0\right\}.}$

Esta ecuación es más fácil de generalizar que la anterior.

La explosión se puede visualizar fácilmente si eliminamos el punto infinito de la Grassmanniana, por ejemplo, estableciendo${\displaystyle w=1}$y obtener la superficie de silla de montar estándar${\displaystyle y=xz}$en el espacio 3D.

La explosión también se puede describir utilizando directamente coordenadas en el espacio normal al punto. Nuevamente trabajamos en el plano afín.${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}}$El espacio normal al origen es el espacio vectorial${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$, dónde${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(x,y)}$es el ideal máximo del origen. Algebraicamente, la proyectividad de este espacio vectorial es Proj de su álgebra simétrica , es decir,

${\displaystyle X=\operatorname {Proj} \bigoplus _{r=0}^{\infty }\operatorname {Sym} _{k[x,y]}^{r}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}.}$

En este ejemplo, esto tiene una descripción concreta como

${\displaystyle X=\operatorname {Proj} k[x,y][z,w]/(xz-yw),}$

dónde${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$tienen grado  0 y${\displaystyle z}$y${\displaystyle w}$tener grado  1.

Sobre los números reales o complejos, la explosión tiene una descripción topológica como la suma conexa${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}\#\mathbf {P} ^{2}}$. Supongamos que${\displaystyle P}$es el origen en${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}\subseteq \mathbf {P} ^{2}}$y escribir${\displaystyle L}$para la línea en el infinito . ${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}\backslash \{0\}}$tiene un mapa de inversión${\displaystyle {t}}$que envía${\displaystyle (x,y)}$a${\displaystyle \left({\frac {x}{\vert x\vert ^{2}+\vert y\vert ^{2}}},{\frac {y}{\vert x\vert ^{2}+\vert y\vert ^{2}}}\right)}$. ${\displaystyle t}$es la inversión del círculo con respecto a la esfera unitaria${\displaystyle S}$: Lo arregla${\displaystyle S}$, conserva cada línea que pasa por el origen, e intercambia el interior de la esfera con el exterior.${\displaystyle t}$se extiende a un mapa continuo${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}\backslash \{0\}\to \mathbf {A} ^{2}}$enviando la línea en el infinito al origen. Esta extensión, que también denotamos${\displaystyle t}$, se puede utilizar para construir la explosión. Deje${\displaystyle C}$denotan el complemento de la bola unitaria. La explosión${\displaystyle X}$es la variedad obtenida al adjuntar dos copias de${\displaystyle C}$a lo largo de${\displaystyle S}$. ${\displaystyle X}$viene con un mapa${\displaystyle \pi }$a${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$que es la identidad en la primera copia de${\displaystyle C}$y${\displaystyle t}$en la segunda copia de${\displaystyle C}$Este mapa está a un isomorfismo de distancia de${\displaystyle P}$y la fibra sobre${\displaystyle P}$es la línea en el infinito en la segunda copia de${\displaystyle C}$Cada punto de esta línea corresponde a una línea única que pasa por el origen, por lo que la fibra sobre${\displaystyle \pi }$corresponde a las posibles direcciones normales que pasan por el origen.

Para${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}}$Este proceso debería producir una variedad orientada. Para que esto suceda, las dos copias de${\displaystyle C}$Se les deben dar orientaciones opuestas. En los símbolos,${\displaystyle X}$es${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}\#{\overline {\mathbf {CP} ^{2}}}}$, dónde${\displaystyle {\overline {\mathbf {CP} ^{2}}}}$es${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}}$con la orientación opuesta a la estándar.

Sea Z el origen en el espacio complejo n -dimensional , C ⁿ . Es decir, Z es el punto donde las n funciones de coordenadas${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$simultáneamente desaparecen. Sea P ^{n - 1} un espacio proyectivo complejo de ( n - 1) dimensiones con coordenadas homogéneas.${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$. Dejar${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}}$sea ​​el subconjunto de C ⁿ × P ^{n - 1} que satisface simultáneamente las ecuaciones${\displaystyle x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}}$para i, j = 1, ..., n . La proyección

${\displaystyle \pi$ :\mathbf {C} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-1}\to \mathbf {C} ^{n}}

induce naturalmente un mapa holomorfo

${\displaystyle \pi$ :{\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\to \mathbf {C} ^{n}.}

Este mapa π (o, a menudo, el espacio${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}}$) se llama la explosión (escrita de diversas maneras blow up o blowup ) de C ⁿ .

El divisor excepcional E se define como la imagen inversa del lugar geométrico de explosión Z bajo π. Es fácil ver que

${\displaystyle E=Z\times \mathbf {P} ^{n-1}\subseteq \mathbf {C} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-1}}$

es una copia del espacio proyectivo. Es un divisor efectivo . Lejos de E , π es un isomorfismo entre${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\setminus E}$y C ⁿ \ Z ; es un mapa birracional entre${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}}$y C ⁿ .

Si en cambio consideramos la proyección holomorfa

${\displaystyle q\colon {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\to \mathbf {P} ^{n-1}}$

obtenemos el fibrado de líneas tautológico de${\displaystyle \mathbf {P} ^{n-1}}$y podemos identificar el divisor excepcional${\displaystyle \lbrace Z\rbrace \times \mathbf {P} ^{n-1}}$con su sección cero, a saber:${\displaystyle \mathbf {0} \colon \mathbf {P} ^{n-1}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{n-1}}}$que asigna a cada punto${\displaystyle p}$el elemento cero${\displaystyle \mathbf {0} _{p}}$en la fibra sobre${\displaystyle p}$.

De manera más general, se puede hacer estallar cualquier codimensión.${\displaystyle k}$subconjunto complejo${\displaystyle Z}$de${\displaystyle \mathbf {C} ^{n}}$. Supongamos que${\displaystyle Z}$es el lugar geométrico de las ecuaciones${\displaystyle x_{1}=\cdots =x_{k}=0}$y dejar${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{k}}$sean coordenadas homogéneas en${\displaystyle \mathbf {P} ^{k-1}}$. Luego la explosión${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} }}^{n}}$es el lugar geométrico de las ecuaciones${\displaystyle x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}}$a pesar de${\displaystyle 1\leq i,j\leq k}$, en el espacio${\displaystyle \mathbf {C} ^{n}\times \mathbf {P} ^{k-1}}$.

De forma más general, se puede hacer estallar cualquier subvariedad de cualquier variedad compleja.${\displaystyle X}$aplicando esta construcción localmente. El efecto es, como antes, reemplazar el lugar geométrico de la explosión.${\displaystyle Z}$con el divisor excepcional${\displaystyle E}$En otras palabras, el mapa de explosión

${\displaystyle \pi$ :{\tilde {X}}\to X}

es un mapeo birracional que, lejos de${\displaystyle E}$, induce un isomorfismo y, en${\displaystyle E}$, una fibración localmente trivial con fibra${\displaystyle \mathbf {P} ^{k-1}}$De hecho, la restricción${\displaystyle \pi |_{E}:E\to Z}$se considera naturalmente como la proyectividad del fibrado normal de${\displaystyle Z}$en${\displaystyle X}$.

Desde${\displaystyle E}$es un divisor suave (que tiene codimensión 1), su fibrado normal es un fibrado de líneas . No es difícil demostrar que${\displaystyle E}$se interseca a sí mismo negativamente. Esto significa que su fibrado normal no posee secciones holomorfas;${\displaystyle E}$es el único representante complejo suave de su clase de homología en${\displaystyle {\tilde {X}}}$. (Suponer${\displaystyle E}$podría ser perturbado por sí mismo a otra subvariedad compleja en la misma clase. Entonces las dos subvariedades se intersecarían positivamente —como siempre lo hacen las subvariedades complejas— contradiciendo la autointersección negativa de${\displaystyle E}$Por eso se llama divisor excepcional.

Dejar${\displaystyle V}$ser alguna subvariedad de${\displaystyle X}$otro que${\displaystyle Z}$. Si${\displaystyle V}$es disjunto de${\displaystyle Z}$, entonces esencialmente no se ve afectado por la explosión a lo largo${\displaystyle Z}$Sin embargo, si se cruza${\displaystyle Z}$, entonces hay dos análogos distintos de${\displaystyle V}$en la explosión${\displaystyle {\tilde {X}}}$. Una es la transformación propia (o estricta ) , que es el cierre de${\displaystyle \pi ^{-1}(V\setminus Z)}$; su paquete normal en${\displaystyle {\tilde {X}}}$es típicamente diferente de la de${\displaystyle V}$en${\displaystyle X}$. La otra es la transformación total , que incorpora algunos o todos los${\displaystyle E}$; es esencialmente el retroceso de${\displaystyle V}$en cohomología .

Para llevar a cabo la explosión en su mayor generalidad, sea X un esquema y sea${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ser un haz coherente de ideales en X. La explosión de X con respecto a${\displaystyle {\mathcal {I}}}$es un plan${\displaystyle {\tilde {X}}}$junto con un morfismo

${\displaystyle \pi \colon {\tilde {X}}\rightarrow X}$

de tal manera que el retroceso${\displaystyle \pi ^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{\tilde {X}}}$es un haz invertible , caracterizado por esta propiedad universal : para cualquier morfismo f : Y → X tal que${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{Y}}$es un haz invertible, f se factoriza de forma única a través de π.

Observa que

${\displaystyle {\tilde {X}}=\mathbf {Proj} \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n}}$

tiene esta propiedad; así es como se construye la explosión (véase también el álgebra de Rees ). Aquí Proj es la construcción Proj en haces graduados de anillos conmutativos .

En la explosión de C ⁿ descrita anteriormente, no había nada esencial en el uso de números complejos; las explosiones se pueden realizar sobre cualquier campo . Por ejemplo, la explosión real de R ² en el origen da como resultado la cinta de Möbius ; correspondientemente, la explosión de la esfera bidimensional S ² da como resultado el plano proyectivo real .

La deformación al cono normal es una técnica de explosión utilizada para demostrar muchos resultados en geometría algebraica. Dado un esquema X y un subesquema cerrado V , se produce una explosión.

${\displaystyle V\times \{0\}\ {\text{in}}\ Y=X\times \mathbf {C} \ {\text{or}}\ X\times \mathbf {P} ^{1}}$

Entonces

${\displaystyle {\tilde {Y}}\to \mathbf {C} }$

es una fibración. La fibra general es naturalmente isomorfa a X , mientras que la fibra central es una unión de dos esquemas: uno es la explosión de X a lo largo de V , y el otro es el cono normal de V con sus fibras completadas a espacios proyectivos.

También se pueden realizar explosiones en la categoría simpléctica, dotando a la variedad simpléctica de una estructura casi compleja compatible y procediendo con una explosión compleja. Esto tiene sentido a nivel puramente topológico; sin embargo, dotar a la explosión de una forma simpléctica requiere cierta precaución, ya que no se puede extender arbitrariamente la forma simpléctica a través del divisor excepcional E. Es necesario modificar la forma simpléctica en un entorno de E , o realizar la explosión recortando un entorno de Z y colapsando el límite de forma bien definida. Esto se comprende mejor utilizando el formalismo del corte simpléctico , del cual la explosión simpléctica es un caso particular. El corte simpléctico, junto con la operación inversa de la suma simpléctica , es el análogo simpléctico de la deformación al cono normal a lo largo de un divisor suave.

• Punto infinitamente cercano : concepto en geometría algebraica. 
• Resolución de singularidades : concepto en geometría algebraica. 

• Fulton, William (1998). Teoría de la intersección . Springer-Verlag. ISBN 0-387-98549-2.
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1978). Principios de geometría algebraica . John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32792-1.
• Hartshorne, Robin (1977). Geometría algebraica . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.
• McDuff, Dusa; Salamon, Dietmar (1998). Introducción a la topología simpléctica . Oxford University Press. ISBN 0-19-850451-9.