Entero algebraico

En teoría algebraica de números , un entero algebraico es un número complejo entero sobre los enteros . Es decir, un entero algebraico es una raíz compleja de algún polinomio mónico (un polinomio cuyo coeficiente principal es 1) cuyos coeficientes son enteros. El conjunto de todos los enteros algebraicos A es cerrado bajo la suma, la resta y la multiplicación, y por lo tanto es un subanillo conmutativo de los números complejos.

El anillo de enteros de un cuerpo numérico K , denotado por O _K , es la intersección de K y A : también puede caracterizarse como el orden máximo del cuerpo K . Cada entero algebraico pertenece al anillo de enteros de algún cuerpo numérico. Un número α es un entero algebraico si y solo si el anillo${\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha ]}$está finitamente generado como un grupo abeliano , es decir, como un${\displaystyle \mathbb {Z} }$- módulo .

Las siguientes son definiciones equivalentes de un entero algebraico. Sea K un cuerpo numérico (es decir, una extensión finita de${\displaystyle \mathbb {Q} }$, el campo de los números racionales ), en otras palabras,${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\theta )}$para algún número algebraico${\displaystyle \theta \in \mathbb {C} }$por el teorema del elemento primitivo .

• α ∈ K es un entero algebraico si existe un polinomio mónico.${\displaystyle f(x)\in \mathbb {Z} [x]}$de tal manera que f ( α ) = 0 .
• α ∈ K es un entero algebraico si elpolinomio mónico mínimo de α sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$está en${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$.
• α ∈ K es un entero algebraico si${\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha ]}$es un finito generado${\displaystyle \mathbb {Z} }$-módulo.
• α ∈ K es un entero algebraico si existe un número finito no nulo generado${\displaystyle \mathbb {Z} }$- submódulo${\displaystyle M\subset \mathbb {C} }$de tal manera que αM ⊆ M .

Los enteros algebraicos son un caso especial de elementos enteros de una extensión de anillo. En particular, un entero algebraico es un elemento entero de una extensión finita.${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$.

Nótese que si P ( x ) es un polinomio primitivo que tiene coeficientes enteros pero no es mónico, y P es irreducible sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$Entonces, ninguna de las raíces de P es un entero algebraico (pero sí son números algebraicos ). Aquí, el término "primitivo" se usa en el sentido de que el máximo común divisor de los coeficientes de P es 1, lo cual es menos estricto que exigir que los coeficientes sean primos relativos entre sí.

• Los únicos enteros algebraicos que se encuentran en el conjunto de los números racionales son los enteros. En otras palabras, la intersección de${\displaystyle \mathbb {Q} }$y A es exactamente${\displaystyle \mathbb {Z} }$. El número racional ⁠ a / b ⁠ no es un entero algebraico a menos que b divida a a . El coeficiente principal del polinomio bx − a es el entero b .
• La raíz cuadrada${\displaystyle {\sqrt {n}}}$de un entero no negativo n es un entero algebraico, pero es irracional a menos que n sea un cuadrado perfecto .
• Si d es un entero libre de cuadrados, entonces la extensión${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,)}$es un cuerpo cuadrático de números racionales. El anillo de enteros algebraicos O _K contiene${\displaystyle {\sqrt {d}}}$ya que esta es una raíz del polinomio mónico x² − d . Además, si d ≡ 1 mod 4 , entonces el ^elemento${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}}\,)}$También es un entero algebraico . Satisface el polinomio x² ⁻ x + 1/4 (1 − d ) donde el término constante 1/4 ( 1 − d ) es un entero. El anillo completo de enteros se genera mediante${\displaystyle {\sqrt {d}}}$o${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}}\,)}$respectivamente. Consulte la sección de números enteros cuadráticos para obtener más información.
• El anillo de enteros del campo${\displaystyle F=\mathbb {Q} [\alpha ]}$, α = ³ √ m (donde m es libre de cubos ), tiene la siguiente base integral , escribiendo m = hk ² para dos enteros coprimos libres de cuadrados h y k : ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\begin{cases}1,\alpha ,{\dfrac {\alpha ^{2}\pm k^{2}\alpha +k^{2}}{3k}}&m\equiv \pm 1{\bmod {9}}\\1,\alpha ,{\dfrac {\alpha ^{2}}{k}}&{\text{en otro caso}}\end{cases}}}$$
• Si ζ _n es una raíz primitiva n -ésima de la unidad , entonces el anillo de enteros del campo ciclotómico${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _ {n})}$es precisamente${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _ {n}]}$.
• Si α es un entero algebraico, entonces β = ⁿ √ α es otro entero algebraico. Un polinomio para β se obtiene sustituyendo x ⁿ en el polinomio para α .

Para cualquier α , la extensión de anillo (en el sentido de que es equivalente a la extensión de cuerpo ) de los enteros por α , denotada por${\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha ]\equiv \left\{\sum _{i=0}^{n}\alpha ^{i}z_{i}|z_{i}\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} \right\}}$, es finitamente generado si y solo si α es un entero algebraico.

La demostración es análoga a la del hecho correspondiente con respecto a los números algebraicos , con${\displaystyle \mathbb {Q} }$allí reemplazado por${\displaystyle \mathbb {Z} }$aquí, y la noción de grado de extensión de campo reemplazada por generación finita (utilizando el hecho de que${\displaystyle \mathbb {Z} }$es finitamente generado en sí mismo); el único cambio requerido es que solo se utilicen potencias no negativas de α en la demostración.

La analogía es posible porque tanto los enteros algebraicos como los números algebraicos se definen como raíces de polinomios mónicos sobre${\displaystyle \mathbb {Z} }$o${\displaystyle \mathbb {Q} }$, respectivamente.

La suma, la diferencia y el producto de dos enteros algebraicos es un entero algebraico. En general, su cociente no lo es. Por lo tanto, los enteros algebraicos forman un anillo .

Esto se puede demostrar de forma análoga a la demostración correspondiente para números algebraicos , utilizando los números enteros.${\displaystyle \mathbb {Z} }$en lugar de los racionales${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

También se puede construir explícitamente el polinomio mónico involucrado, que generalmente es de grado superior al de los enteros algebraicos originales, tomando resultantes y factorizando. Por ejemplo, si x² ⁻ x − 1 = 0 , y³ ⁻ y − 1 = 0 y z = xy , entonces eliminando x e y de z − xy = 0 y los polinomios que satisfacen x ^e y usando el resultante se obtiene z⁶ − 3z⁴ − 4z³ + ^z² + ^z − 1 = 0 , que es irreducible, y es la ecuación mónica que satisface el producto. (Para ver que ^xy es una raíz del x -resultante de z − xy y x² − x − 1 , se puede usar el hecho de que el resultante está contenido en el ideal generado por sus dos polinomios ^de entrada).

• Cualquier número que se pueda construir a partir de los enteros mediante raíces, suma y multiplicación es un entero algebraico; pero no todos los enteros algebraicos se pueden construir de esta manera: en un sentido ingenuo, la mayoría de las raíces de los números quínticos irreducibles no se pueden construir. Este es el teorema de Abel-Ruffini .
• El anillo de enteros algebraicos es un dominio de Bézout , como consecuencia del teorema del ideal principal .
• Si el polinomio mónico asociado a un entero algebraico tiene un término constante de 1 o −1, entonces el recíproco de ese entero algebraico también es un entero algebraico, y cada uno es una unidad , un elemento del grupo de unidades del anillo de enteros algebraicos.
• Si x es un número algebraico, entonces a _n x es un entero algebraico, donde x satisface un polinomio p ( x ) con coeficientes enteros y donde a _n x ⁿ es el término de mayor grado de p ( x ) . El valor y = a _n x es un entero algebraico porque es una raíz de q ( y ) = a ^{n − 1} _n p ( y / a _n ) , donde q ( y ) es un polinomio mónico con coeficientes enteros.
• Si x es un número algebraico, se puede escribir como la razón entre un entero algebraico y un entero algebraico distinto de cero. De hecho, el denominador siempre puede ser un entero positivo. La razón es | a _n | x / | a _n | , donde x satisface un polinomio p ( x ) con coeficientes enteros y donde a _n x ⁿ es el término de mayor grado de p ( x ) .
• Los únicos enteros algebraicos racionales son los enteros. Es decir, si x es un entero algebraico y${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$entonces${\displaystyle x\in \mathbb {Z} }$Esto es un resultado directo del teorema de la raíz racional para el caso de un polinomio mónico.

• entero gaussiano
• Entero de Eisenstein
• Raíz de la unidad
• Teorema de la unidad de Dirichlet
• Unidades fundamentales