Tetraedro

Un disfenoides es un tetraedro con cuatro caras triangulares congruentes; todos los ángulos de estos triángulos son necesariamente agudos. El tetraedro regular es un caso particular de disfenoides. Otros nombres para esta misma figura son bisfenoides, tetraedro isósceles y tetraedro equifacial.

Un 3-ortosquema es un tetraedro cuyas cuatro caras son triángulos rectángulos . Un 3-ortosquema no es un disfenoides, ya que sus aristas opuestas no tienen la misma longitud. No es posible construir un disfenoides con caras de triángulos rectángulos o obtusos.

Un ortoesquema es un simplex irregular que constituye la envoltura convexa de un árbol en el que todas las aristas son mutuamente perpendiculares. En un ortoesquema tridimensional, el árbol consta de tres aristas perpendiculares que conectan los cuatro vértices en una trayectoria lineal que forma dos giros en ángulo recto. El ortoesquema tridimensional es un tetraedro con dos ángulos rectos en cada uno de sus dos vértices, por lo que también se le conoce como tetraedro birrectangular . Asimismo, se le denomina tetraedro cuadrirrectangular debido a que contiene cuatro ángulos rectos. ^{[ 5 ]}

Coxeter también llama a los tetraedros cuadrirrectangulares "tetraedros característicos", debido a su relación integral con los politopos regulares y sus grupos de simetría. ^{[ 6 ]} Por ejemplo, el caso especial de un 3-ortoesquema con aristas perpendiculares de igual longitud es característico del cubo , lo que significa que el cubo puede subdividirse en instancias de este ortoesquema. Si sus tres aristas perpendiculares son de longitud unitaria, sus aristas restantes son dos de longitud √ 2 y una de longitud √ 3 , por lo que todas sus aristas son aristas o diagonales del cubo. El cubo puede diseccionarse en seis de estos 3-ortoesquemas de cuatro maneras diferentes, con los seis rodeando la misma diagonal cúbica √ 3. El cubo también puede diseccionarse en 48 instancias más pequeñas de este mismo 3-ortoesquema característico (solo de una manera, por todos sus planos de simetría a la vez). El tetraedro característico del cubo es un ejemplo de un tetraedro heroniano .

Cada politopo regular, incluido el tetraedro regular, posee un ortoesquema característico . Existe un ortoesquema de orden 3, que corresponde al tetraedro característico del tetraedro regular. El tetraedro regular se subdivide en 24 instancias de su tetraedro característico mediante sus planos de simetría. Los 24 tetraedros característicos del tetraedro regular se presentan en dos formas especulares, 12 de cada una.

Si el tetraedro regular tiene una longitud de arista 𝒍 = 2, las seis aristas de su tetraedro característico tienen longitudes${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {4}{3}}}}$,${\displaystyle 1}$,${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}}$alrededor de su cara exterior triangular recta (los bordes opuestos a los ángulos característicos 𝟀, 𝝉, 𝟁), ^{[ a ]} ​​más${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{2}}}}$,${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}$,${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}$(aristas que son los radios característicos del tetraedro regular). El camino de 3 aristas a lo largo de las aristas ortogonales del ortoesquema es${\displaystyle 1}$,${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}}$,${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}$, primero desde un vértice del tetraedro hasta el centro de una arista del tetraedro, luego girando 90° hasta el centro de una cara del tetraedro, y luego girando 90° hasta el centro del tetraedro. El ortoesquema tiene cuatro caras de triángulos rectángulos disímiles. La cara exterior es un triángulo 60-90-30 que es un sexto de una cara del tetraedro. Las tres caras interiores del tetraedro son: un triángulo rectángulo con aristas${\displaystyle 1}$,${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{2}}}}$,${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}$, un triángulo rectángulo con aristas${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}}$,${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}$,${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}$y un triángulo rectángulo con aristas${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {4}{3}}}}$,${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{2}}}}$,${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}$.

Un tetraedro que llena el espacio se empaqueta con copias directamente congruentes o enantiomorfas ( imágenes especulares ) de sí mismo para recubrir el espacio. ^{[ 8 ]} El cubo se puede diseccionar en seis 3-ortoesquemas, tres levógiros y tres dextrógiros (uno de cada uno en cada cara del cubo), y los cubos pueden llenar el espacio, por lo que el 3-ortoesquema característico del cubo es un tetraedro que llena el espacio en este sentido. (El ortoesquema característico del cubo es uno de los tetraedros de Hill , una familia de tetraedros que llenan el espacio. Todos los tetraedros que llenan el espacio son congruentes por tijera con un cubo).

Un disfenoides puede ser un tetraedro que llena el espacio en el sentido directamente congruente, como en el panal tetraédrico disfenoides . Sin embargo, los tetraedros regulares no pueden llenar el espacio por sí solos (además, no es congruente por tijera con ningún otro poliedro que pueda llenar el espacio, véase el tercer problema de Hilbert ). El panal tetraédrico-octaédrico llena el espacio con celdas tetraédricas regulares alternadas y celdas octaédricas regulares en una proporción de 2:1.

Un tetraedro irregular que es el dominio fundamental ^{[ 9 ]} de un grupo de simetría es un ejemplo de un tetraedro de Goursat . Los tetraedros de Goursat generan todos los poliedros regulares (y muchos otros poliedros uniformes) mediante reflexiones especulares, un proceso conocido como construcción caleidoscópica de Wythoff .

Para los poliedros, la construcción de Wythoff dispone tres espejos en ángulos entre sí, como en un caleidoscopio . A diferencia de un caleidoscopio cilíndrico, los espejos de Wythoff se ubican en tres caras de un tetraedro de Goursat, de modo que los tres se intersecan en un único punto. (El diagrama de Coxeter-Dynkin del poliedro generado contiene tres nodos que representan los tres espejos. El ángulo diedro entre cada par de espejos está codificado en el diagrama, así como la ubicación de un único punto generador que se multiplica por las reflexiones de los espejos en los vértices del poliedro).

Entre los tetraedros de Goursat que generan panales de abeja tridimensionales podemos reconocer un ortoesquema (el tetraedro característico del cubo), un ortoesquema doble (el tetraedro característico del cubo unido por una cara a su imagen especular) y el disfenoides que llena el espacio ilustrado arriba . ^{[ 6 ]} El disfenoides es el ortoesquema doble unido por una cara a su imagen especular (un ortoesquema cuádruple). Por lo tanto, estos tres tetraedros de Goursat, y todos los poliedros que generan por reflexiones, pueden diseccionarse en tetraedros característicos del cubo .

El volumen de un tetraedro viene dado por la fórmula: $${\displaystyle V={\frac {1}{3}}Ah.}$$ dónde${\displaystyle A}$es el área de la base y${\displaystyle h}$es la altura desde la base hasta el vértice. Esto se aplica a cada una de las cuatro opciones de base, por lo que las distancias desde los vértices a las caras opuestas son inversamente proporcionales a las áreas de estas caras. Otra forma es diseccionando un prisma triangular en tres piezas. ^{[ 14 ]}

Otros enfoques

Dejar${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$, y${\displaystyle c}$sean las longitudes de tres aristas que se encuentran en un punto, y${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$, y${\displaystyle z}$sean los de los bordes opuestos. El volumen del tetraedro${\displaystyle V}$es: ^{[ 16 ]}$${\displaystyle V={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}c^{2}-a^{2}X^{2}-b^{2}Y^{2}-c^{2}Z^{2}+XYZ}}{12}}}$$ dónde $${\displaystyle {\begin{aligned}X&=b^{2}+c^{2}-x^{2},\\Y&=a^{2}+c^{2}-y^{2},\\Z&=a^{2}+b^{2}-z^{2}.\end{aligned}}}$$ La fórmula anterior utiliza seis longitudes de aristas, y la siguiente fórmula utiliza tres longitudes de aristas y tres ángulos. ^{[ 16 ]}$${\displaystyle V={\frac {abc}{6}}{\sqrt {1+2\cos {\alpha }\cos {\beta }\cos {\gamma }-\cos ^{2}{\alpha }-\cos ^{2}{\beta }-\cos ^{2}{\gamma }}}}$$

El volumen de un tetraedro se puede determinar utilizando la fórmula de Herón. Supongamos que${\displaystyle U}$,${\displaystyle V}$,${\displaystyle W}$,${\displaystyle u}$,${\displaystyle v}$, y${\displaystyle w}$son las longitudes de las aristas del tetraedro como en la siguiente imagen. Aquí, las tres primeras forman un triángulo, con${\displaystyle u}$opuesto${\displaystyle U}$,${\displaystyle v}$opuesto${\displaystyle V}$, y${\displaystyle w}$opuesto${\displaystyle W}$. Entonces, $${\displaystyle V={\frac {\sqrt {\,(-p+q+r+s)\,(p-q+r+s)\,(p+q-r+s)\,(p+q+r-s)}}{192\,u\,v\,w}}}$$

dónde $${\displaystyle {\begin{aligned}p={\sqrt {xYZ}},&\quad q={\sqrt {yZX}},\\r={\sqrt {zXY}},&\quad s={\sqrt {xyz}},\end{aligned}}}$$ y $${\displaystyle {\begin{aligned}X=(w-U+v)(U+v+w),&\quad x=(U-v+w)(v-w+U),\\Y=(u-V+w)(V+w+u),&\quad y=(V-w+u)(w-u+V),\\Z=(v-W+u)(W+u+v),&\quad z=(W-u+v)\,(u-v+W).\end{aligned}}}$$

Cualquier plano que contenga una bimediana (conector de los puntos medios de las aristas opuestas) de un tetraedro biseca el volumen del tetraedro. ^{[ 17 ]}

Para los tetraedros en el espacio hiperbólico o en la geometría elíptica tridimensional , los ángulos diedros del tetraedro determinan su forma y, por lo tanto, su volumen. En estos casos, el volumen viene dado por la fórmula de Murakami-Yano , en honor a Jun Murakami y Masakazu Yano. ^{[ 18 ]} Sin embargo, en el espacio euclidiano, al escalar un tetraedro se modifica su volumen, pero no sus ángulos diedros, por lo que no puede existir tal fórmula.

Dos aristas opuestas cualesquiera de un tetraedro se encuentran sobre dos líneas oblicuas , y la distancia entre las aristas se define como la distancia entre las dos líneas oblicuas. Sea${\displaystyle d}$sea ​​la distancia entre las líneas oblicuas formadas por los bordes opuestos${\displaystyle a}$y${\displaystyle \mathbf {b} -\mathbf {c} }$como se calcula aquí . Luego, otra fórmula para el volumen de un tetraedro.${\displaystyle V}$es dado por $${\displaystyle V={\frac {d|(\mathbf {a} \times \mathbf {(b-c)} )|}{6}}.}$$

El tetraedro posee muchas propiedades análogas a las de un triángulo, incluyendo una insfera, una circunsfera, un tetraedro medial y exsferas. Tiene centros respectivos como el incentro, el circuncentro, los excentros, el centro de Spieker y puntos como el centroide. Sin embargo, generalmente no existe un ortocentro en el sentido de alturas de intersección. ^{[ 19 ]}

Gaspard Monge descubrió un centro que existe en cada tetraedro, ahora conocido como el punto de Monge : el punto donde se intersecan los seis planos medios de un tetraedro. Un plano medio se define como un plano ortogonal a una arista que une dos vértices cualesquiera y que también contiene el centroide de una arista opuesta formada al unir los otros dos vértices. ^{[ 20 ]} Una línea ortogonal trazada desde el punto de Monge a cualquier cara interseca esa cara en el punto medio del segmento de línea entre el ortocentro de esa cara y el pie de la altura trazada desde el vértice opuesto. Si las alturas del tetraedro se intersecan, entonces el punto de Monge y el ortocentro coinciden para dar la clase de tetraedro ortocéntrico .

Un segmento de recta que une un vértice de un tetraedro con el centroide de la cara opuesta se llama mediana , y un segmento de recta que une los puntos medios de dos aristas opuestas se llama bimediana del tetraedro. Por lo tanto, un tetraedro tiene cuatro medianas y tres bimedianas. Estos siete segmentos de recta son concurrentes en un punto llamado centroide del tetraedro. ^{[ 21 ]} Además, las cuatro medianas están divididas en una proporción de 3:1 por el centroide . ^{[ 22 ]} El centroide de un tetraedro es el punto medio entre su punto de Monge y su circuncentro. Estos puntos definen la recta de Euler del tetraedro, que es análoga a la recta de Euler de un triángulo.

El círculo de nueve puntos del triángulo general tiene un análogo en la esfera circunscrita del tetraedro medial de un tetraedro. Se trata de la esfera de doce puntos y, además de los centroides de las cuatro caras del tetraedro de referencia, pasa por cuatro puntos de Euler sustitutos , a un tercio de la distancia desde el punto de Monge hacia cada uno de los cuatro vértices. Finalmente, pasa por los cuatro puntos base de las líneas ortogonales trazadas desde cada punto de Euler hasta la cara que no contiene el vértice que generó dicho punto. ^{[ 23 ]}

El centro${\displaystyle T}$El centro de la esfera de doce puntos también se encuentra sobre la línea de Euler. A diferencia de su contraparte triangular, este centro se encuentra a un tercio de la distancia desde el punto de Monge.${\displaystyle M}$hacia el circuncentro. Además, una línea ortogonal que pasa por${\displaystyle T}$Una línea perpendicular a una cara elegida es coplanar con otras dos líneas ortogonales a la misma cara. La primera es una línea ortogonal que pasa por el punto de Euler correspondiente a la cara elegida. La segunda es una línea ortogonal que pasa por el centroide de la cara elegida. Esta línea ortogonal que pasa por el centro de doce puntos se encuentra a medio camino entre la línea ortogonal del punto de Euler y la línea ortogonal del centroide. Además, para cualquier cara, el centro de doce puntos se encuentra en el punto medio entre el punto de Euler correspondiente y el ortocentro de esa cara.

El radio de la esfera de doce puntas es un tercio del radio de la circunferencia circunscrita del tetraedro de referencia.

Existe una relación entre los ángulos formados por las caras de un tetraedro general dada por ^{[ 24 ].}

${\displaystyle {\begin{vmatrix}-1&\cos {(\alpha _{12})}&\cos {(\alpha _{13})}&\cos {(\alpha _{14})}\\\cos {(\alpha _{12})}&-1&\cos {(\alpha _{23})}&\cos {(\alpha _{24})}\\\cos {(\alpha _{13})}&\cos {(\alpha _{23})}&-1&\cos {(\alpha _{34})}\\\cos {(\alpha _{14})}&\cos {(\alpha _{24})}&\cos {(\alpha _{34})}&-1\\\end{vmatrix}}=0\,}$

dónde${\displaystyle \alpha _{ij}}$es el ángulo entre las caras${\displaystyle i}$y${\displaystyle j}$.

La mediana geométrica de las coordenadas de posición de los vértices de un tetraedro y su centro isogónico están asociadas, en circunstancias análogas a las observadas para un triángulo. Lorenz Lindelöf descubrió que, correspondiente a cualquier tetraedro dado, hay un punto ahora conocido como centro isogónico,${\displaystyle O}$, en el que los ángulos sólidos subtendidos por las caras son iguales, teniendo un valor común de${\displaystyle \pi }$sr , y en el cual los ángulos subtendidos por los bordes opuestos son iguales. ^{[ 25 ]} Un ángulo sólido de${\displaystyle \pi }$sr es un cuarto de lo subtendido por todo el espacio. Cuando todos los ángulos sólidos en los vértices de un tetraedro son menores que${\displaystyle \pi }$Sr.,${\displaystyle O}$se encuentra dentro del tetraedro. Porque la suma de las distancias desde${\displaystyle O}$a los vértices es un mínimo,${\displaystyle O}$coincide con la mediana geométrica${\displaystyle M}$de los vértices. Si el ángulo sólido en uno de los vértices${\displaystyle v}$mide exactamente${\displaystyle \pi }$señor, entonces${\displaystyle O}$y${\displaystyle M}$coincidir con${\displaystyle v}$. Sin embargo, si un tetraedro tiene un vértice${\displaystyle v}$con ángulo sólido mayor que${\displaystyle \pi }$Sr.,${\displaystyle M}$todavía corresponde a${\displaystyle v}$, pero${\displaystyle O}$se encuentra fuera del tetraedro.

Un corolario de la ley usual de los senos es que en un tetraedro con vértices${\displaystyle O}$,${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$,${\displaystyle C}$, se da por $${\displaystyle \sin \angle OAB\cdot \sin \angle OBC\cdot \sin \angle OCA=\sin \angle OAC\cdot \sin \angle OCB\cdot \sin \angle OBA.}$$ Se pueden considerar los dos lados de esta identidad como correspondientes a las orientaciones en sentido horario y antihorario de la superficie. Poniendo cualquiera de los cuatro vértices en el papel de${\displaystyle O}$Se obtienen cuatro identidades de este tipo, pero como máximo tres de ellas son independientes. Si se multiplican los lados en sentido horario de tres de ellas, se deduce que el producto es igual al producto de los lados en sentido antihorario de las mismas tres identidades. Por lo tanto, los factores comunes se cancelan en ambos lados, y el resultado es la cuarta identidad.

Tres ángulos son los ángulos de un triángulo si y solo si su suma es 180° (π radianes). ¿Qué condición sobre 12 ángulos es necesaria y suficiente para que sean los 12 ángulos de un tetraedro? La suma de los ángulos de cualquier lado del tetraedro debe ser 180°. Dado que existen cuatro triángulos de este tipo, existen cuatro restricciones de este tipo sobre las sumas de los ángulos, y el número de grados de libertad se reduce así de 12 a 8. Las cuatro relaciones dadas por esta ley del seno reducen aún más el número de grados de libertad, de 8 a 5, no a 4, ya que la cuarta restricción no es independiente de las tres primeras. Por lo tanto, el espacio de todas las formas de tetraedros es pentadimensional. ^{[ 26 ]}

Dejar${\displaystyle P_{1}}$,${\displaystyle P_{2}}$,${\displaystyle P_{3}}$,${\displaystyle P_{4}}$Sean los vértices de un tetraedro.${\displaystyle \Delta _{i}}$sea ​​el área de la cara opuesta al vértice${\displaystyle P_{i}}$y dejar${\displaystyle \theta _{ij}}$sea ​​el ángulo diedro entre las dos caras del tetraedro adyacentes a la arista${\displaystyle P_{i}P_{j}}$. La ley de los cosenos para un tetraedro, que relaciona las áreas de las caras del tetraedro con los ángulos diedros alrededor de un vértice, viene dada por la siguiente relación: ^{[ 27 ]}$${\displaystyle \Delta _{i}^{2}=\Delta _{j}^{2}+\Delta _{k}^{2}+\Delta _{l}^{2}-2(\Delta _{j}\Delta _{k}\cos \theta _{il}+\Delta _{j}\Delta _{l}\cos \theta _{ik}+\Delta _{k}\Delta _{l}\cos \theta _{ij})}$$

Dejar${\displaystyle P}$sea ​​cualquier punto interior de un tetraedro de volumen${\displaystyle V}$para los cuales los vértices son${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$,${\displaystyle C}$, y${\displaystyle D}$y para las cuales las áreas de las caras opuestas son${\displaystyle F_{a}}$,${\displaystyle F_{b}}$,${\displaystyle F_{c}}$, y${\displaystyle F_{d}}$. Luego, ^{[ 28 ]}$${\displaystyle PA\cdot F_{\mathrm {a} }+PB\cdot F_{\mathrm {b} }+PC\cdot F_{\mathrm {c} }+PD\cdot F_{\mathrm {d} }\geq 9V.}$$

Para vértices${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$,${\displaystyle C}$, y${\displaystyle D}$, punto interior${\displaystyle P}$y pies${\displaystyle J}$,${\displaystyle K}$,${\displaystyle L}$, y${\displaystyle M}$de las perpendiculares desde${\displaystyle P}$a las caras, y supongamos que las caras tienen áreas iguales, entonces: ^{[ 29 ]}$${\displaystyle PA+PB+PC+PD\geq 3(PJ+PK+PL+PM).}$$

Denotando el radio interno de un tetraedro como${\displaystyle r}$y los radios internos de sus caras triangulares como${\displaystyle r_{1}}$para${\displaystyle i=1,2,3,4}$, entonces: ^{[ 30 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{r_{1}^{2}}}+{\frac {1}{r_{2}^{2}}}+{\frac {1}{r_{3}^{2}}}+{\frac {1}{r_{4}^{2}}}\leq {\frac {2}{r^{2}}},}$$ con igualdad si y solo si el tetraedro es regular.

Si${\displaystyle A_{1}}$,${\displaystyle A_{2}}$,${\displaystyle A_{3}}$y${\displaystyle A_{4}}$denotan el área de cada cara, el valor de${\displaystyle r}$es dado por $${\displaystyle r={\frac {3V}{A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}}}.}$$

Esta fórmula se obtiene dividiendo el tetraedro en cuatro tetraedros cuyos vértices son los tres vértices de una de las caras originales y el incentro. Dado que los cuatro subtetraedros llenan el volumen, entonces: $${\displaystyle V={\frac {1}{3}}A_{1}r+{\frac {1}{3}}A_{2}r+{\frac {1}{3}}A_{3}r+{\frac {1}{3}}A_{4}r.}$$

Denotemos el radio de la circunferencia circunscrita de un tetraedro como R. Sean a , b , c las longitudes de las tres aristas que se encuentran en un vértice, y A , B , C las longitudes de las aristas opuestas. Sea V el volumen del tetraedro. Entonces ^{[ 31 ] [ 32 ]}

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {(aA+bB+cC)(aA+bB-cC)(aA-bB+cC)(-aA+bB+cC)}}{24V}}.}$

El circuncentro de un tetraedro se puede encontrar como la intersección de tres planos bisectrices. Un plano bisectriz se define como el plano centrado en una arista del tetraedro y ortogonal a ella. Con esta definición, el circuncentro C de un tetraedro con vértices x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ se puede formular como un producto matriz-vector: ^{[ 33 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}C&=A^{-1}B&{\text{where}}&\ &A=\left({\begin{matrix}\left[x_{1}-x_{0}\right]^{T}\\\left[x_{2}-x_{0}\right]^{T}\\\left[x_{3}-x_{0}\right]^{T}\end{matrix}}\right)&\ &{\text{and}}&\ &B={\frac {1}{2}}\left({\begin{matrix}\|x_{1}\|^{2}-\|x_{0}\|^{2}\\\|x_{2}\|^{2}-\|x_{0}\|^{2}\\\|x_{3}\|^{2}-\|x_{0}\|^{2}\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}}$

A diferencia de un triángulo obtuso, el circuncentro no siempre puede estar fuera de un tetraedro obtuso (es decir, cuando uno o más ángulos diedros son mayores que${\displaystyle \pi /2}$), ni necesariamente se encuentra dentro de un tetraedro agudo (es decir, cuando todos los ángulos diedros son menores que${\displaystyle \pi /2}$) ^{[ 34 ]}