esfera circunscrita

En geometría , una esfera circunscrita a un poliedro es una esfera que contiene al poliedro y toca cada uno de sus vértices . ^{[ 1 ]} El término «circunsfera» se usa a veces con el mismo significado, por analogía con el término «circunferencia» . ^{[ 2 ]} Al igual que en el caso de las circunferencias circunscritas bidimensionales (circunferencias), el radio de una esfera circunscrita a un poliedro P se llama radio de la circunferencia circunscrita a P , ^{[ 3 ]} y el centro de esta esfera se llama centro de la ^{circunferencia} circunscrita a P. [ ^{4 ]}

Cuando existe, una esfera circunscrita no tiene por qué ser la esfera más pequeña que contiene el poliedro ; por ejemplo, el tetraedro formado por un vértice de un cubo y sus tres vecinos tiene la misma esfera circunscrita que el cubo mismo, pero puede estar contenido dentro de una esfera más pequeña que tenga los tres vértices vecinos en su ecuador. Sin embargo, la esfera más pequeña que contiene un poliedro dado es siempre la esfera circunscrita de la envoltura convexa de un subconjunto de los vértices del poliedro. ^{[ 5 ]}

En De solidorum elementis (alrededor de 1630), René Descartes observó que, para un poliedro con una esfera circunscrita, todas sus caras tienen círculos circunscritos, los círculos donde el plano de la cara intersecta la esfera circunscrita. Descartes sugirió que esta condición necesaria para la existencia de una esfera circunscrita es suficiente, pero no es cierto: algunas bipirámides , por ejemplo, pueden tener círculos circunscritos en sus caras (todas ellas triángulos) pero aun así no tener una esfera circunscrita para todo el poliedro. Sin embargo, siempre que un poliedro simple tenga un círculo circunscrito en cada una de sus caras, también tiene una esfera circunscrita. ^{[ 6 ]}

La esfera circunscrita es el análogo tridimensional del círculo circunscrito . Todos los poliedros regulares tienen esferas circunscritas, pero la mayoría de los poliedros irregulares no la tienen, ya que, en general, no todos los vértices se encuentran en una esfera común. La esfera circunscrita (cuando existe) es un ejemplo de esfera delimitadora , una esfera que contiene una forma dada. Es posible definir la esfera delimitadora más pequeña para cualquier poliedro y calcularla en tiempo lineal . ^{[ 5 ]}

Otras esferas definidas para algunos, pero no para todos, los poliedros incluyen una esfera media , una esfera tangente a todas las aristas de un poliedro, y una esfera inscrita , una esfera tangente a todas las caras de un poliedro. En los poliedros regulares , la esfera inscrita, la esfera media y la esfera circunscrita existen y son concéntricas . ^{[ 7 ]}

Cuando la esfera circunscrita es el conjunto de infinitos puntos límite del espacio hiperbólico , un poliedro que circunscribe se conoce como un poliedro ideal .

Hay cinco poliedros regulares convexos , conocidos como sólidos platónicos . Todos los sólidos platónicos tienen esferas circunscritas. Para un punto arbitrario${\displaystyle M}$en la esfera circunscrita de cada sólido platónico con número de vértices${\displaystyle n}$, si ${\displaystyle MA_{i}}$son las distancias a los vértices${\displaystyle A_{i}}$, entonces ^{[ 8 ]}

${\displaystyle 4(MA_{1}^{2}+MA_{2}^{2}+...+MA_{n}^{2})^{2}=3n(MA_{1}^{4}+MA_{2}^{4}+...+MA_{n}^{4}).}$

• Weisstein, Eric W. "Circumesfera" . MundoMatemático .