Esfera inscrita

En geometría , la esfera inscrita o insfera de un poliedro convexo es una esfera contenida dentro del poliedro y tangente a cada una de sus caras. Es la esfera más grande que se encuentra completamente dentro del poliedro y es dual a la circunsfera del poliedro dual .

El radio de la esfera inscrita en un poliedro P se llama radio de entrada de P.

Todos los poliedros regulares tienen esferas inscritas, pero la mayoría de los poliedros irregulares no tienen todas sus caras tangentes a una esfera común, aunque aún es posible definir la esfera contenida más grande para tales figuras. Para estos casos, la noción de esfera inscrita no parece haber sido definida correctamente y se pueden encontrar diversas interpretaciones de la misma :

• La esfera tangente a todas las caras (si existe).
• La esfera tangente a todos los planos de las caras (si existe).
• La esfera tangente a un conjunto dado de caras (si existe).
• La esfera más grande que puede caber dentro del poliedro.

A menudo, estas esferas coinciden, lo que genera confusión sobre qué propiedades definen exactamente la esfera interna de los poliedros cuando no coinciden.

Por ejemplo, el dodecaedro estrellado pequeño regular tiene una esfera tangente a todas sus caras, mientras que una esfera más grande aún puede encajar dentro del poliedro. ¿Cuál es la esfera inscrita? Autoridades importantes como Coxeter o Cundy y Rollett son suficientemente claras al afirmar que la esfera tangente a las caras es la esfera inscrita. Asimismo, coinciden en que los poliedros arquimedianos (con caras regulares y vértices equivalentes) no tienen esferas inscritas, mientras que los poliedros duales arquimedianos o catalanes sí las tienen. Sin embargo, muchos autores no respetan estas distinciones y asumen otras definiciones para las esferas inscritas de sus poliedros.

• esfera circunscrita
• Círculo inscrito
• Esfera media
• Empaquetamiento de esferas

• Coxeter, HSM Regular Polytopes 3rd Edn. Dover (1973).
• Cundy, HM y Rollett, AP Mathematical Models , 2.ª ed. OUP (1961).

• Weisstein, Eric W. "Insphere" . MundoMatemático .