Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Bipirámide triangular

\n"}"> [[Deltahedron|Deltahedra]] [[Johnson solid|Johnson]] \n {{math|[[gyroelongated pentagonal pyramid|''J'' 11 ]] – '''''J'' 12 ''' – [[Pentagonal bipyramid|''J'' 13 ]]}} [[S...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita
Este es un buen artículo. Haz clic aquí para obtener más información.

Una bipirámide triangular es un hexaedro , un poliedro con seis caras triangulares. Se construye uniendo dos tetraedros cara a cara. Esta misma forma también se conoce como dipirámide triangular [ 1 ] [ 2 ] o bipirámide trigonal [ 3 ] . Si estos tetraedros son regulares, todas las caras de una bipirámide triangular son equiláteras . Es un ejemplo de deltaedro , poliedro compuesto y sólido de Johnson .

Muchos poliedros están relacionados con la bipirámide triangular, como las formas similares derivadas de diferentes enfoques y el prisma triangular como su poliedro dual . Entre las aplicaciones de la bipirámide triangular se incluyen la geometría molecular bipiramidal trigonal , que describe su cúmulo atómico , la solución del problema de Thomson y la representación de sistemas de orden de color en el siglo XVIII.

Casos especiales

Como una bipirámide recta

Al igual que otras bipirámides , una bipirámide triangular se puede construir uniendo dos tetraedros cara a cara. [ 2 ] Estos tetraedros cubren su base triangular, y el poliedro resultante tiene seis triángulos, cinco vértices y nueve aristas. [ 3 ] Debido a sus caras triangulares de cualquier tipo, la bipirámide triangular es un poliedro simplicial como otras infinitas bipirámides. [ 4 ] Una bipirámide recta es aquella en la que los vértices de ambas pirámides están en una línea que pasa por el centro de la base, de modo que sus caras son triángulos isósceles. [ 5 ] Si dos tetraedros son de otro tipo, la bipirámide triangular es oblicua. [ 6 ] [ 7 ]

Un dibujo lineal con puntos multicolores
Gráfico de una bipirámide triangular

Según el teorema de Steinitz , un grafo puede representarse como el esqueleto de un poliedro si es un grafo planar (puede dibujarse sin cruzar ninguna arista) y triconexo (permanece conexo si se eliminan dos vértices cualesquiera). Una bipirámide triangular se representa mediante un grafo con nueve aristas, construido añadiendo un vértice a los vértices de un grafo rueda que representa tetraedros . [ 8 ] [ 9 ]

Al igual que otras bipirámides rectas, una bipirámide triangular tiene simetría de grupo puntual tridimensional , el grupo diedral.D3h{\displaystyle D_{3\mathrm {h} }}De orden doce: la apariencia de una bipirámide triangular no cambia al girarla un ángulo, dos tercios y un ángulo completo alrededor del eje de simetría (una línea que pasa verticalmente por dos vértices y el centro de la base), y tiene simetría especular con cualquier bisectriz de la base; también es simétrica por reflexión respecto a un plano horizontal. [ 10 ] Una bipirámide triangular es transitiva en caras (o isoédrica). [ 11 ]

Como un sólido Johnson

Una bipirámide triangular con caras regulares
Imagen plana multicolor de una bipirámide triangular.
Bipirámide triangular con caras regulares a lo largo de su red
Una imagen en escala de grises
Modelo 3D de una bipirámide triangular como un sólido de Johnson

Si los tetraedros son regulares, todas las aristas de una bipirámide triangular tienen la misma longitud y forman caras triangulares equiláteras . Un poliedro con solo triángulos equiláteros como caras se llama deltaedro . Hay ocho deltaedros convexos, uno de los cuales es una bipirámide triangular con caras poligonales regulares . [ 1 ] Un poliedro convexo en el que todas sus caras son polígonos regulares es un sólido de Johnson . Una bipirámide triangular con caras regulares se numera como el duodécimo sólido de Johnson.J12{\displaystyle J_{12}}. [ 12 ] Es un ejemplo de poliedro compuesto , porque puede ser cortado, por un plano que lo interseca solo en aristas, en dos tetraedros regulares . [ 13 ]

Área superficial de una bipirámide triangularA{\displaystyle A}es seis veces el de cada triángulo. Su volumenV{\displaystyle V}se puede calcular dividiendo el tetraedro en dos y sumando su volumen. En el caso de la longitud de la aristaa{\displaystyle a}, esto es: [ 14 ]A=332a2≈2.598a2,V=26a3≈0,238a3.{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}&\approx 2.598a^{2},\\V&={\frac {\sqrt {2}}{6}}a^{3}&\approx 0.238a^{3}.\end{aligned}}}

El ángulo diedro de una bipirámide triangular se obtiene sumando el ángulo diedro de dos tetraedros regulares. El ángulo diedro de una bipirámide triangular entre caras triangulares adyacentes es el del tetraedro regular: 70,5 grados. En una arista donde se unen dos tetraedros, el ángulo diedro de triángulos adyacentes es el doble: 141,1 grados. [ 15 ]

La kleetope de una bipirámide triangular se obtiene al aumentar una bipirámide triangular con tetraedros en cada cara.

Algunos tipos de bipirámides triangulares pueden derivarse de diferentes maneras. El Kleetopo de una bipirámide triangular se puede construir a partir de una bipirámide triangular uniendo tetraedros a cada una de sus caras, reemplazándolos con otros tres triángulos; el esqueleto del poliedro resultante representa el grafo de Goldner-Harary . [ 16 ] [ 17 ] Otro tipo de bipirámide triangular resulta de cortar sus vértices, un proceso conocido como truncamiento . [ 18 ]

Las bipirámides son el poliedro dual de los prismas . Esto significa que los vértices de las bipirámides corresponden a las caras de un prisma, y ​​las aristas entre pares de vértices de una corresponden a las aristas entre pares de caras de la otra; al duplicarla se obtiene el poliedro original. Una bipirámide triangular es el poliedro dual de un prisma triangular , y viceversa. [ 19 ] [ 3 ] Un prisma triangular tiene cinco caras, nueve aristas y seis vértices, con la misma simetría que una bipirámide triangular. [ 3 ]

Aplicaciones

Cuatro círculos, con figuras geométricas en su interior.
La solución conocida del problema de Thomson, con una bipirámide triangular

El problema de Thomson trata sobre la configuración de energía mínima de partículas cargadas en una esfera. Una bipirámide triangular es una solución conocida en el caso de cinco electrones, colocando los vértices de una bipirámide triangular dentro de una esfera . [ 20 ] Esta solución se obtiene mediante un cálculo matemático riguroso. [ 21 ]

La geometría molecular bipiramidal trigonal de un compuesto químico puede describirse como el cúmulo atómico de una bipirámide triangular. Esta molécula tiene un elemento del grupo principal sin un par de electrones no enlazantes activos , descrito por un modelo que predice la geometría de las moléculas conocido como teoría VSEPR . [ 22 ] Ejemplos de esta estructura incluyen el pentafluoruro de fósforo y el pentacloruro de fósforo en fase gaseosa . [ 23 ]

En la teoría del color , la bipirámide triangular se utilizó para representar el sistema tridimensional de orden de colores en colores primarios . El astrónomo alemán Tobias Mayer escribió en 1758 que cada uno de sus vértices representa un color: el blanco y el negro son los vértices axiales superior e inferior, respectivamente, y el resto de los vértices son rojo, azul y amarillo. [ 24 ] [ 25 ]

Referencias

  1. 1 2 Trigg, Charles W. (1978). "Una clase infinita de deltaedros". Mathematics Magazine . 51 (1): 55– 57. doi : 10.1080/0025570X.1978.11976675 . JSTOR 2689647 . MR 1572246 .  
  2. 1 2 Rajwade, AR (2001). Poliedros convexos con condiciones de regularidad y el tercer problema de Hilbert . Textos y lecturas en matemáticas. Hindustan Book Agency. pág. 84. doi : 10.1007/978-93-86279-06-4 . ISBN  978-93-86279-06-4.
  3. 1 2 3 4 King, Robert B. (1994). "Dinámica poliédrica" . En Bonchev, Danail D.; Mekenyan, OG (eds.). Enfoques teóricos de grafos para la reactividad química . Springer. doi : 10.1007/978-94-011-1202-4 . ISBN 978-94-011-1202-4.
  4. ↑ Kumar, CP Anil (2020). "Sobre la conjetura de etiquetado coherente de un poliedro en tres dimensiones". arXiv : 1801.08685 [ math.CO ].
  5. ↑ Montroll, John (2011). Diseño de poliedros de origami . CRC Press . pág. 6. ISBN  978-1-4398-7106-5..
  6. ↑ Niu, Wenxin; Xu, Guobao (2011). "Control cristalográfico de nanocristales de metales nobles". Nano Today . 6 (3): 265– 285. doi : 10.1016/j.nantod.2011.04.006 .
  7. ↑ Alexandrov, Victor (2017). "¿Cuántas veces se puede aumentar el volumen de un poliedro convexo mediante deformaciones isométricas?". Beiträge zur Algebra und Geometrie . 58 (3): 549– 554. arXiv : 1607.06604 . doi : 10.1007/s13366-017-0336-8 .
  8. ↑ Tutte, WT (2001). Teoría de grafos . Cambridge University Press. pág. 113. ISBN  978-0-521-79489-3.
  9. ↑ Sajjad, Wassid; Sardar, Muhammad S.; Pan, Xiang-Feng (2024). "Cálculo de la distancia de resistencia y el índice de Kirchhoff de la cadena del hexaedro bipirámide triangular". Matemáticas Aplicadas y Computación . 461 : 1–12 . doi : 10.1016/j.amc.2023.128313 . S2CID 261797042 . 
  10. ↑ Alexander, Daniel C.; Koeberlin, Geralyn M. (2014). Geometría elemental para estudiantes universitarios (6.ª ed.). Cengage Learning. pág. 403. ISBN   978-1-285-19569-8.
  11. ↑ McLean, K. Robin (1990). "Dungeons, dragons, and dice". The Mathematical Gazette . 74 (469): 243– 256. doi : 10.2307/3619822 . JSTOR 3619822 . S2CID 195047512 .  
  12. ↑ Uehara, Ryuhei (2020). Introducción al origami computacional: El mundo de la nueva geometría computacional . Springer. doi : 10.1007/978-981-15-4470-5 . ISBN 978-981-15-4470-5. S2CID 220150682 . 
  13. ↑ Timofeenko, AV (2010). "Unión de poliedros no compuestos" (PDF) . Revista Matemática de San Petersburgo . 21 (3): 483– 512. doi : 10.1090/S1061-0022-10-01105-2 .
  14. ↑ Berman, Martin (1971). "Poliedros convexos de caras regulares". Journal of the Franklin Institute . 291 (5): 329– 352. doi : 10.1016/0016-0032(71)90071-8 . MR 0290245 . 
  15. ↑ Johnson, Norman W. ( 1966). " Poliedros convexos con caras regulares" . Revista Canadiense de Matemáticas . 18 : 169–200 . doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR 0185507. S2CID 122006114. Zbl 0132.14603 .   
  16. ↑ Grünbaum, Branko (1967). Politopos convexos . Wiley Interscience. pág. 357. Misma página, 2.ª ed., Graduate Texts in Mathematics 221, Springer-Verlag, 2003, ISBN 978-0-387-40409-7.
  17. ↑ Ewald, Günter (1973). "Circuitos hamiltonianos en complejos simpliciales". Geometriae Dedicata . 2 (1): 115– 125. doi : 10.1007/BF00149287 . S2CID 122755203 . 
  18. ↑ Haji-Akbari, Amir; Chen, Elizabeth R.; Engel, Michael; Glotzer, Sharon C. (2013). "Empaquetamiento y autoensamblaje de bipirámides triangulares truncadas". Phys. Rev. E . 88 (1) 012127. arXiv : 1304.3147 . Bibcode : 2013PhRvE..88a2127H . doi : 10.1103/physreve.88.012127 . PMID 23944434 . S2CID 8184675 .  .
  19. ↑ Sibley, Thomas Q. (2015). Pensando geométricamente: Un estudio de las geometrías . Asociación Matemática de América. pág. 53. ISBN  978-1-939512-08-6.
  20. ↑ Sloane, NJA ; Hardin, RH; Duff, TDS; Conway, JH (1995), "Clústeres de energía mínima de esferas duras", Discrete & Computational Geometry , 14 (3): 237–259 , doi : 10.1007/BF02570704 , MR 1344734 , S2CID 26955765  
  21. ↑ Schwartz, Richard Evan (2013). "El caso de cinco electrones del problema de Thomson". Matemáticas experimentales . 22 (2): 157– 186. doi : 10.1080/10586458.2013.766570 . S2CID 38679186 . 
  22. ↑ Petrucci, RH; Harwood, WS; Herring, FG (2002). Química general: principios y aplicaciones modernas (8.ª ed.). Prentice-Hall. págs. 413–414 . ISBN   978-0-13-014329-7.Véase la tabla 11.1.
  23. ↑ Housecroft, CE; Sharpe, AG (2004). Química inorgánica (2.ª ed.). Prentice Hall. pág. 407. ISBN   978-0-13-039913-7.
  24. ↑ Kuehni, Rolf G. (2003). El espacio del color y sus divisiones: el orden del color desde la antigüedad hasta el presente . John & Sons Wiley. pág. 53. ISBN  978-0-471-46146-3.
  25. ↑ Kuehni, Rolf G. (2013). Color: Una introducción a la práctica y los principios . John & Sons Wiley. pág. 198. ISBN  978-1-118-17384-8.