Cuatro vectores

Un cuadrivector A es un vector con un componente "de tipo temporal" y tres componentes "de tipo espacial", y puede escribirse en varias notaciones equivalentes: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A^{0},\,A^{1},\,A^{2},\,A^{3}\right)\\&=A^{0}\mathbf {E} _ {0}+A^{1}\mathbf {E} _{1}+A^{2}\mathbf {E} _{2}+A^{3}\mathbf {E} _{3}\\&=A^{0}\mathbf {E} _{0}+A^{i}\mathbf {E} _{i}\\&=A^{\alpha }\mathbf {E} _{\alpha }\end{aligned}}}$$ donde A ^α es el multiplicador de componentes y E _α es el vector base ; tenga en cuenta que ambos son necesarios para formar un vector, y que cuando A ^α se ve solo, se refiere estrictamente a las componentes del vector.

Los índices superiores indican componentes contravariantes . Aquí la convención estándar es que los índices latinos toman valores para componentes espaciales, de modo que i = 1, 2, 3 , y los índices griegos toman valores para componentes de tiempo y espacio, de modo que α = 0, 1, 2, 3 , utilizados con la convención de suma . La separación entre la componente de tiempo y las componentes espaciales es útil para determinar contracciones de un cuadrivector con otras cantidades tensoriales, como para calcular invariantes de Lorentz en productos escalares (se dan ejemplos más adelante), o para elevar y abatir índices .

En la relatividad especial, la base espacial E ₁ , E ₂ , E ₃ y los componentes A ¹ , A ² , A ³ suelen ser bases y componentes cartesianas :$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A_{t},\,A_{x},\,A_{y},\,A_{z}\right)\\&=A_{t}\mathbf {E} _{t}+A_{x}\mathbf {E} _{x}+A_{y}\mathbf {E} _{y}+A_{z}\mathbf {E} _{z}\\\end{aligned}}}$$ aunque, por supuesto, se pueden utilizar otras bases y componentes, como coordenadas polares esféricas.$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A_{t},\,A_{r},\,A_{\theta },\,A_{\phi }\right)\\&=A_{t}\mathbf {E} _{t}+A_{r}\mathbf {E} _{r}+A_{\theta }\mathbf {E} _{\theta }+A_{\phi }\mathbf {E} _{\phi }\\\end{alineado}}}$$ o coordenadas polares cilíndricas , $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{t},\,A_{r},\,A_{\theta },\,A_{z})\\&=A_{t}\mathbf {E} _ {t}+A_{r}\mathbf {E} _{r}+A_{\theta }\mathbf {E} _{\theta }+A_ {z}\mathbf {E} _ {z}\\\end{alineado}}}$$ o cualquier otra coordenada ortogonal , o incluso coordenadas curvilíneas generales . Nótese que las etiquetas de las coordenadas siempre se indican con subíndices y no con índices numéricos. En la relatividad general, deben utilizarse coordenadas curvilíneas locales en una base local. Geométricamente, un cuadrivector puede interpretarse como una flecha, pero en el espacio-tiempo, no solo en el espacio. En relatividad, las flechas se representan como parte del diagrama de Minkowski (también llamado diagrama espacio-temporal ). En este artículo, los cuadrivectores se denominarán simplemente vectores.

También es habitual representar las bases mediante vectores columna : $${\displaystyle \mathbf {E} _{0}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} _{1}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} _{2}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}}$$ de modo que: $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}}$$

La relación entre las coordenadas covariantes y contravariantes se realiza a través del tensor métrico de Minkowski (conocido como la métrica), η, que eleva y baja los índices de la siguiente manera: $${\displaystyle A_{\mu }=\eta _{\mu \nu }A^{\nu }\,,}$$ y en diversas notaciones equivalentes, los componentes covariantes son: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{0},\,A_{1},\,A_{2},\,A_{3})\\&=A_{0}\mathbf {E} ^{0}+A_{1}\mathbf {E} ^{1}+A_{2}\mathbf {E} ^{2}+A_{3}\mathbf {E} ^{3}\\&=A_{0}\mathbf {E} ^{0}+A_{i}\mathbf {E} ^{i}\\&=A_{\alpha }\mathbf {E} ^{\alpha }\\\end{alineado}}}$$ donde el índice reducido indica que es covariante . A menudo la métrica es diagonal, como es el caso de las coordenadas ortogonales (ver elemento de línea ), pero no en general en las coordenadas curvilíneas .

Las bases pueden representarse mediante vectores fila : $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} ^{0}&={\begin{pmatrix}1&0&0&0\end{pmatrix}}\,,&\mathbf {E} ^{1}&={\begin{pmatrix}0&1&0&0\end{pmatrix}}\,,\\[1ex]\mathbf {E} ^{2}&={\begin{pmatrix}0&0&1&0\end{pmatrix}}\,,&\mathbf {E} ^{3}&={\begin{pmatrix}0&0&0&1\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$$ de modo que: $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&A_{2}&A_{3}\end{pmatrix}}}$$

La razón de ser de las convenciones anteriores es que el producto escalar es un escalar; véase más abajo para más detalles.

Dados dos sistemas de referencia inerciales o rotados , un cuadrivector se define como una magnitud que se transforma según la matriz de transformación de Lorentz Λ :  $${\displaystyle \mathbf {A} '={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {A} }$$

En notación de índices, los componentes contravariante y covariante se transforman según, respectivamente: $${\displaystyle {A'}^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }A^{\nu }\,,\quad {A'}_{\mu }=\Lambda _{\mu }{}^{\nu }A_{\nu }}$$ en la que la matriz Λ tiene componentes Λ ^μ _ν en la fila μ y la columna ν , y la matriz ( Λ ⁻¹ ) ^T tiene componentes Λ _μ ^ν en la fila μ y la columna ν .    

Para obtener información de contexto sobre la naturaleza de esta definición de transformación, consulte tensor . Todos los cuadrivectores se transforman de la misma manera, y esto se puede generalizar a tensores relativistas de cuatro dimensiones; consulte relatividad especial .

Impulsos puros en cualquier dirección

Para dos sistemas de referencia que se mueven a velocidad relativa constante de tres ejes v (no de cuatro ejes, véase más abajo ), es conveniente denotar y definir la velocidad relativa en unidades de c mediante: $${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=(\beta _{1},\,\beta _{2},\,\beta _{3})={\frac {1}{c}}(v_{1},\,v_{2},\,v_{3})={\frac {1}{c}}\mathbf {v} \,.}$$

Entonces, sin rotaciones, la matriz Λ tiene componentes dadas por: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{00}&=\gamma ,\\\Lambda _{0i}=\Lambda _{i0}&=-\gamma \beta _{i},\\\Lambda _{ij}=\Lambda _{ji}&=(\gamma -1){\frac {\beta _{i}\beta _{j}}{\beta ^{2}}}+\delta _{ij}=(\gamma -1){\frac {v_{i}v_{j}}{v^{2}}}+\delta _{ij},\\\end{aligned}}}$$ donde el factor de Lorentz se define por: $${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}}}}\,,}$$ y δ _ij es la delta de Kronecker . A diferencia del caso de las rotaciones puras, los componentes espaciales y temporales se mezclan bajo transformaciones de Lorentz.

Para el caso de un impulso solo en la dirección x , la matriz se reduce a; ^{[ 7 ] [ 8 ]}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}A'^{0}\\A'^{1}\\A'^{2}\\A'^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh \phi &-\sinh \phi &0&0\\-\sinh \phi &\cosh \phi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}}$$

Donde se ha utilizado la expresión de rapidez ϕ , escrita en términos de las funciones hiperbólicas : $${\displaystyle \gamma =\cosh \phi .}$$

Esta matriz de Lorentz ilustra que la transformación es una rotación hiperbólica en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones, análoga a la rotación circular anterior en el espacio tridimensional.

In special relativity (but not general relativity), the derivative of a four-vector with respect to a scalar λ (invariant) is itself a four-vector. It is also useful to take the differential of the four-vector, dA and divide it by the differential of the scalar, dλ: $${\displaystyle {\underset {\text{differential}}{d\mathbf {A} }}={\underset {\text{derivative}}{\frac {d\mathbf {A} }{d\lambda }}}{\underset {\text{differential}}{d\lambda }}}$$ where the contravariant components are: $${\displaystyle d\mathbf {A} =\left(dA^{0},dA^{1},dA^{2},dA^{3}\right)}$$ while the covariant components are: $${\displaystyle d\mathbf {A} =\left(dA_{0},dA_{1},dA_{2},dA_{3}\right)}$$

In relativistic mechanics, one often takes the differential of a four-vector and divides by the differential in proper time (see below).

A point in Minkowski space is a time and spatial position, called an "event", or sometimes the position four-vector or four-position or 4-position, described in some reference frame by a set of four coordinates: $${\displaystyle \mathbf {R} =\left(ct,\mathbf {r} \right)}$$ donde r es el vector de posición espacial tridimensional . Si r es una función del tiempo de coordenadas t en el mismo marco, es decir r = r ( t ) , esto corresponde a una secuencia de eventos a medida que t varía. La definición R ⁰ = ct asegura que todas las coordenadas tengan la misma dimensión (de longitud ) y unidades. ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]} Estas coordenadas son las componentes del cuadrivector de posición para el evento.

El cuadrivector de desplazamiento se define como una "flecha" que une dos eventos: $${\displaystyle \Delta \mathbf {R} =\left(c\Delta t,\Delta \mathbf {r} \right)}$$

Para la posición diferencial de cuatro posiciones en una línea de universo, tenemos, usando una notación de norma : $${\displaystyle \|d\mathbf {R} \|^{2}=\mathbf {dR\cdot dR} =dR^{\mu }dR_{\mu }=c^{2}d\tau ^{2}=ds^{2}\,,}$$ definiendo el elemento de línea diferencial d s y el incremento de tiempo propio diferencial d τ , pero esta "norma" también es: $${\displaystyle \|d\mathbf {R} \|^{2}=(cdt)^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} \,,}$$ de modo que: $${\displaystyle (cd\tau )^{2}=(cdt)^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} \,.}$$

Al considerar fenómenos físicos, las ecuaciones diferenciales surgen de forma natural; sin embargo, al considerar derivadas espaciales y temporales de funciones, no está claro con respecto a qué sistema de referencia se toman estas derivadas. Se acepta que las derivadas temporales se toman con respecto al tiempo propio.${\displaystyle \tau }$Como el tiempo propio es un invariante, esto garantiza que la derivada temporal propia de cualquier cuadrivector es también un cuadrivector. Por lo tanto, es importante encontrar una relación entre esta derivada temporal propia y otra derivada temporal (utilizando el tiempo de coordenadas t de un sistema de referencia inercial). Esta relación se obtiene tomando el intervalo espaciotemporal diferencial invariante anterior y luego dividiéndolo por ( cdt ) ^² para obtener $${\displaystyle \left({\frac {cd\tau }{cdt}}\right)^{2}=1-\left({\frac {d\mathbf {r} }{cdt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{cdt}}\right)=1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}={\frac {1}{\gamma (\mathbf {u} )^{2}}}\,,}$$ donde u = dr / dt es la velocidad tridimensional de un objeto medida en el mismo sistema de coordenadas que las coordenadas x , y , z y el tiempo t , y $${\displaystyle \gamma (\mathbf {u} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}}}$$ es el factor de Lorentz . Esto proporciona una relación útil entre los diferenciales en el tiempo de coordenadas y el tiempo propio: $${\displaystyle dt=\gamma (\mathbf {u} )d\tau \,.}$$

Esta relación también se puede encontrar a partir de la transformación temporal en las transformaciones de Lorentz .

Los cuadrivectores importantes en la teoría de la relatividad se pueden definir aplicando este diferencial ⁠ d / dτ ⁠ .

Considerando que las derivadas parciales son operadores lineales , se puede formar un cuadrigradiente a partir de la derivada parcial temporal ∂/ ∂t y el operador de gradiente espacial ∇ . Utilizando la base estándar, en notación de índices y abreviada, los componentes contravariantes son: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\partial }}&=\left({\frac {\partial }{\partial x_{0}}},\,-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\,-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},\,-{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\right)\\&=(\partial ^{0},\,-\partial ^{1},\,-\partial ^{2},\,-\partial ^{3})\\&=\mathbf {E} _{0}\partial ^{0}-\mathbf {E} _{1}\partial ^{1}-\mathbf {E} _{2}\partial ^{2}-\mathbf {E} _{3}\partial ^{3}\\&=\mathbf {E} _{0}\partial ^{0}-\mathbf {E} _{i}\partial ^{i}\\&=\mathbf {E} _{\alpha }\partial ^{\alpha }\\&=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\,-\nabla \right)\\&=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\nabla \right)\\&=\mathbf {E} _{0}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}-\nabla \\\end{aligned}}}$$

Nótese que los vectores base se colocan delante de los componentes para evitar confusiones entre derivar el vector base o simplemente indicar que la derivada parcial es un componente de este cuadrivector. Los componentes covariantes son: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\partial }}&=\left({\frac {\partial }{\partial x^{0}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{2}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{3}}}\right)\\&=(\partial _{0},\,\partial _{1},\,\partial _{2},\,\partial _{3})\\&=\mathbf {E} ^{0}\partial _{0}+\mathbf {E} ^{1}\partial _{1}+\mathbf {E} ^{2}\partial _{2}+\mathbf {E} ^{3}\partial _{3}\\&=\mathbf {E} ^{0}\partial _{0}+\mathbf {E} ^{i}\partial _{i}\\&=\mathbf {E} ^{\alpha }\partial _{\alpha }\\&=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\,\nabla \right)\\&=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},\nabla \right)\\&=\mathbf {E} ^{0}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}+\nabla \\\end{aligned}}}$$

Dado que se trata de un operador, no tiene una "longitud", pero al evaluar el producto escalar del operador consigo mismo se obtiene otro operador: $${\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}={\frac {{\partial _{t}}^{2}}{c^{2}}}-\nabla ^{2}}$$ llamado operador de D'Alembert .

La cuadrivelocidad de una partícula se define por: $${\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {d\mathbf {X} }{d\tau }}={\frac {d\mathbf {X} }{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}=\gamma (\mathbf {u} )\left(c,\mathbf {u} \right),}$$

Geométricamente, U es un vector normalizado tangente a la línea de universo de la partícula. Utilizando la diferencial de la cuadriposición, se puede obtener la magnitud de la cuadrivelocidad: $${\displaystyle \|\mathbf {U} \|^{2}=U^{\mu }U_{\mu }={\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dX_{\mu }}{d\tau }}={\frac {dX^{\mu }dX_{\mu }}{d\tau ^{2}}}=c^{2}\,,}$$

En resumen, la magnitud de la cuadrivelocidad para cualquier objeto es siempre una constante fija: $${\displaystyle \|\mathbf {U} \|^{2}=c^{2}}$$

La norma también es: $${\displaystyle \|\mathbf {U} \|^{2}={\gamma (\mathbf {u} )}^{2}\left(c^{2}-\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} \right)\,,}$$ de modo que: $${\displaystyle c^{2}={\gamma (\mathbf {u} )}^{2}\left(c^{2}-\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} \right)\,,}$$ lo cual se reduce a la definición del factor de Lorentz .

Las unidades de cuadrivelocidad son m/s en el SI y 1 en el sistema de unidades geometrizado . La cuadrivelocidad es un vector contravariante.

La cuadri-aceleración viene dada por: $${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}=\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}c,{\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}\mathbf {u} +\gamma (\mathbf {u} )\mathbf {a} \right).}$$ donde a = d u / dt es la aceleración tridimensional coordenada. Dado que la magnitud de U es constante, la cuadriaceleración es ortogonal a la cuadrivelocidad, es decir, el producto escalar de Minkowski de la cuadriaceleración y la cuadrivelocidad es cero: $${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {U} =A^{\mu }U_{\mu }={\frac {dU^{\mu }}{d\tau }}U_{\mu }={\frac {1}{2}}\,{\frac {d}{d\tau }}\left(U^{\mu }U_{\mu }\right)=0\,}$$ lo cual es cierto para todas las líneas de universo. El significado geométrico de la cuadriaceleración es el vector de curvatura de la línea de universo en el espacio de Minkowski.

Para una partícula masiva de masa en reposo (o masa invariante ) m ₀ , el cuadrimomento viene dado por: $${\displaystyle \mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U} =m_{0}\gamma (\mathbf {u} )(c,\mathbf {u} )=\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right)}$$ donde la energía total de la partícula en movimiento es: $${\displaystyle E=\gamma (\mathbf {u} )m_{0}c^{2}}$$y el momento relativista total es: $${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma (\mathbf {u} )m_{0}\mathbf {u} }$$

Tomando el producto escalar del cuadrimomento consigo mismo: $${\displaystyle \|\mathbf {P} \|^{2}=P^{\mu }P_{\mu }=m_{0}^{2}U^{\mu }U_{\mu }=m_{0}^{2}c^{2}}$$ y también: $${\displaystyle \|\mathbf {P} \|^{2}={\frac {E^{2}}{c^{2}}}-\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }$$ lo que conduce a la relación energía-momento : $${\displaystyle E^{2}=c^{2}\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,.}$$

Esta última relación es útil en mecánica relativista , esencial en mecánica cuántica relativista y teoría cuántica de campos relativista , todas con aplicaciones a la física de partículas .

La cuadrifuerza que actúa sobre una partícula se define de forma análoga a la 3-fuerza como la derivada temporal del 3-momento en la segunda ley de Newton : $${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {P} }{d\tau }}=\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {1}{c}}{\frac {dE}{dt}},{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\right)=\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {P}{c}},\mathbf {f} \right)}$$ donde P es la potencia transferida para mover la partícula, y f es la fuerza tridimensional que actúa sobre la partícula. Para una partícula de masa invariante constante m ₀ , esto es equivalente a $${\displaystyle \mathbf {F} =m_{0}\mathbf {A} =m_{0}\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}c,\left({\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}\mathbf {u} +\gamma (\mathbf {u} )\mathbf {a} \right)\right)}$$

Un invariante derivado de la teoría de las cuatro fuerzas es: $${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {U} =F^{\mu }U_{\mu }=m_{0}A^{\mu }U_{\mu }=0}$$ del resultado anterior.

El campo vectorial de flujo de calor de cuatro dimensiones es esencialmente similar al campo vectorial de flujo de calor de 3 dimensiones q , en el marco local del fluido: ^{[ 13 ]}$${\displaystyle \mathbf {Q} =-k{\boldsymbol {\partial }}T=-k\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial T}{\partial t}},\nabla T\right)}$$ donde T es la temperatura absoluta y k es la conductividad térmica .

El flujo de bariones es: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle \mathbf {S} =n\mathbf {U} }$$ donde n es la densidad numérica de bariones en el marco de referencia local del fluido bariónico (valores positivos para bariones, negativos para antibariones ), y U el campo de cuadrivelocidad (del fluido) como se indicó anteriormente.

El vector de cuadri- entropía se define por: ^{[ 15 ]}$${\displaystyle \mathbf {s} =s\mathbf {S} +{\frac {\mathbf {Q} }{T}}}$$ donde s es la entropía por barión y T la temperatura absoluta , en el sistema de referencia local del fluido. ^{[ 16 ]}

La cuadricorriente electromagnética (o más correctamente una densidad de cuadricorriente) ^{[ 17 ]} se define por $${\displaystyle \mathbf {J} =\left(\rho c,\mathbf {j} \right)}$$ formada a partir de la densidad de corriente j y la densidad de carga ρ .

El cuadripotencial electromagnético (o más correctamente un potencial vectorial cuadrielectromagnético) definido por $${\displaystyle \mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {a} \right)}$$ formada a partir del potencial vectorial a y el potencial escalar ϕ .

El cuadripotencial no está determinado de forma única, ya que depende de la elección del calibre .

En la ecuación de onda para el campo electromagnético:

• En el vacío,$${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =0}$$
• Con una fuente de cuatro corrientes y utilizando la condición del medidor de Lorenz${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {A} )=0}$,$${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J} }$$

Una onda plana fotónica puede describirse mediante la cuatrifrecuencia , definida como $${\displaystyle \mathbf {N} =\nu \left(1,{\hat {\mathbf {n} }}\right)}$$ donde ν es la frecuencia de la onda y${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$es un vector unitario en la dirección de propagación de la onda. Ahora, $${\displaystyle \|\mathbf {N} \|=N^{\mu }N_{\mu }=\nu ^{2}\left(1-{\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\right)=0}$$ Por lo tanto, la cuadrifrecuencia de un fotón es siempre un vector nulo.

Las cantidades recíprocas al tiempo t y al espacio r son la frecuencia angular ω y el vector de onda angular k , respectivamente. Forman las componentes del cuadrivector de onda o vector de onda cuadripolar : $${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{v_{p}}}{\hat {\mathbf {n} }}\right)\,.}$$

El cuadrivector de onda tiene una unidad derivada coherente de metros recíprocos en el SI. ^{[ 18 ]}

Un paquete de ondas de luz casi monocromática se puede describir mediante: $${\displaystyle \mathbf {K} ={\frac {2\pi }{c}}\mathbf {N} ={\frac {2\pi }{c}}\nu \left(1,{\hat {\mathbf {n} }}\right)={\frac {\omega }{c}}\left(1,{\hat {\mathbf {n} }}\right)~.}$$

Las relaciones de De Broglie demostraron entonces que el cuadrivector de onda se aplicaba tanto a las ondas de materia como a las ondas de luz: $${\displaystyle \mathbf {P} =\hbar \mathbf {K} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right),}$$ flexible${\displaystyle E=\hbar \omega }$y${\displaystyle {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}}$, donde ħ es la constante de Planck dividida por 2 π .

El cuadrado de la norma es: $${\displaystyle \|\mathbf {K} \|^{2}=K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \,,}$$ y por la relación de Broglie: $${\displaystyle \|\mathbf {K} \|^{2}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}\|\mathbf {P} \|^{2}=\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\,,}$$ Tenemos el análogo de onda de materia de la relación energía-momento: $${\displaystyle \left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} =\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}~.}$$

Nótese que para partículas sin masa, en cuyo caso m ₀ = 0 , tenemos: $${\displaystyle \left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}=\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \,,}$$ o ‖ k ‖ = ω / c . Nótese que esto es consistente con el caso anterior; para fotones con un vector de onda tridimensional de módulo ω / c , en la dirección de propagación de la onda definida por el vector unitario${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}~.}$

En mecánica cuántica , la corriente de cuatro probabilidades o corriente de cuatro probabilidades es análoga a la corriente de cuatro probabilidades electromagnética : ^{[ 19 ]}$${\displaystyle \mathbf {J} =(\rho c,\mathbf {j} )}$$ donde ρ es la función de densidad de probabilidad correspondiente al componente temporal, y j es el vector de corriente de probabilidad . En mecánica cuántica no relativista, esta corriente siempre está bien definida porque las expresiones para la densidad y la corriente son definidas positivas y admiten una interpretación probabilística. En mecánica cuántica relativista y teoría cuántica de campos , no siempre es posible encontrar una corriente, particularmente cuando intervienen interacciones.

Sustituyendo la energía por el operador de energía y el momento por el operador de momento en el cuadrimomento, se obtiene el operador de cuadrimomento , utilizado en las ecuaciones de onda relativistas .

El cuadriespín de una partícula se define en el sistema de referencia en reposo de una partícula como $${\displaystyle \mathbf {S} =(0,\mathbf {s} )}$$ donde s es el pseudovector de espín . En mecánica cuántica, no se pueden medir simultáneamente las tres componentes de este vector; solo una lo es. La componente temporal es cero en el sistema de referencia de la partícula, pero no en ningún otro. Esta componente se puede obtener mediante una transformación de Lorentz adecuada.

La norma al cuadrado es el (negativo del) cuadrado de la magnitud del espín, y según la mecánica cuántica tenemos $${\displaystyle \|\mathbf {S} \|^{2}=-|\mathbf {s} |^{2}=-\hbar ^{2}s(s+1)}$$

Este valor es observable y cuantizado, donde s es el número cuántico de espín (no la magnitud del vector de espín).

También se puede definir un cuadrivector A utilizando las matrices de Pauli como base , nuevamente en varias notaciones equivalentes: ^{[ 20 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A^{0},\,A^{1},\,A^{2},\,A^{3}\right)\\&=A^{0}{\boldsymbol {\sigma }}_{0}+A^{1}{\boldsymbol {\sigma }}_{1}+A^{2}{\boldsymbol {\sigma }}_{2}+A^{3}{\boldsymbol {\sigma }}_{3}\\&=A^{0}{\boldsymbol {\sigma }}_{0}+A^{i}{\boldsymbol {\sigma }}_{i}\\&=A^{\alpha }{\boldsymbol {\sigma }}_{\alpha }\\\end{aligned}}}$$ o explícitamente: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=A^{0}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+A^{1}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}+A^{2}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}+A^{3}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}A^{0}+A^{3}&A^{1}-iA^{2}\\A^{1}+iA^{2}&A^{0}-A^{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$ En esta formulación, el cuadrivector se representa como una matriz hermitiana (la transpuesta y el conjugado complejo de la matriz no la modifican), en lugar de un vector columna o fila de valores reales. El determinante de la matriz es el módulo del cuadrivector, por lo que el determinante es un invariante. $${\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {A} |&={\begin{vmatrix}A^{0}+A^{3}&A^{1}-iA^{2}\\A^{1}+iA^{2}&A^{0}-A^{3}\end{vmatrix}}\\[1ex]&=\left(A^{0}+A^{3}\right)\left(A^{0}-A^{3}\right)-\left(A^{1}-iA^{2}\right)\left(A^{1}+iA^{2}\right)\\[1ex]&=\left(A^{0}\right)^{2}-\left(A^{1}\right)^{2}-\left(A^{2}\right)^{2}-\left(A^{3}\right)^{2}\end{aligned}}}$$

Esta idea de utilizar las matrices de Pauli como vectores base se emplea en el álgebra del espacio físico , un ejemplo de álgebra de Clifford .

En el álgebra espaciotemporal , otro ejemplo del álgebra de Clifford, las matrices gamma también pueden formar una base . (También se las conoce como matrices de Dirac, debido a su aparición en la ecuación de Dirac ). Existen varias formas de expresar las matrices gamma, las cuales se detallan en el artículo principal.

La notación de barra de Feynman es una forma abreviada de representar un cuadrivector A contraído con las matrices gamma: $${\displaystyle \mathbf {A} \!\!\!\!/=A_{\alpha }\gamma ^{\alpha }=A_{0}\gamma ^{0}+A_{1}\gamma ^{1}+A_{2}\gamma ^{2}+A_{3}\gamma ^{3}}$$

El cuadrimomento contraído con las matrices gamma es un caso importante en la mecánica cuántica relativista y la teoría cuántica de campos relativista . En la ecuación de Dirac y otras ecuaciones de onda relativistas , aparecen términos de la forma: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} \!\!\!\!/=P_{\alpha }\gamma ^{\alpha }&=P_{0}\gamma ^{0}+P_{1}\gamma ^{1}+P_{2}\gamma ^{2}+P_{3}\gamma ^{3}\\[4pt]&={\dfrac {E}{c}}\gamma ^{0}-p_{x}\gamma ^{1}-p_{y}\gamma ^{2}-p_{z}\gamma ^{3}\\\end{aligned}}}$$ aparecen, en los que los componentes de energía E y momento ( p _x , p _y , p _z ) se reemplazan por sus respectivos operadores .