relatividad especial

Inusual entre los temas modernos de la física, la teoría de la relatividad especial solo requiere matemáticas de nivel de bachillerato y, sin embargo, altera fundamentalmente nuestra comprensión, especialmente nuestra comprensión del concepto de tiempo . ^{[ 3 ] : ix} Construida sobre solo dos postulados o supuestos, se derivan muchas consecuencias interesantes.

Los dos postulados se refieren a observadores que se mueven a velocidad constante uno respecto al otro. El primer postulado, el principio de relatividad , afirma que las leyes de la física no dependen de que los objetos estén en reposo absoluto: por ejemplo, un observador en un tren ve fenómenos naturales en ese tren que se ven igual tanto si el tren está en movimiento como si no. ^{[ 3 ] : 5} El segundo postulado, la velocidad constante de la luz, afirma que los observadores en una estación de tren ven que la luz viaja a la misma velocidad, ya sea que midan la luz desde dentro de la estación o la luz de un tren en movimiento. Una señal luminosa de la estación al tren tiene la misma velocidad, independientemente de la velocidad del tren. ^{[ 3 ] : 25}

En la teoría de la relatividad especial, los dos postulados se combinan para cambiar la definición de "velocidad relativa". En lugar del simple concepto de distancia recorrida dividida por el tiempo transcurrido, la nueva teoría incorpora la velocidad de la luz como la velocidad máxima posible. En la relatividad especial, recorrer diez veces más distancia en tierra en el mismo tiempo según un reloj en movimiento no resulta en una aceleración vista desde tierra por un factor de diez. ^{[ 3 ] : 28}

La relatividad especial tiene una amplia gama de consecuencias que han sido verificadas experimentalmente. ^{[ 4 ] [ 5 ]} Los efectos conceptuales incluyen:

• La relatividad de la simultaneidad : eventos que parecen simultáneos para un observador pueden no ser simultáneos para un observador en movimiento ^{[ 3 ] : 49} 
• §  Dilatación del tiempo : el tiempo medido entre dos eventos por observadores en movimiento difiere 
• §  Contracción de la longitud : las distancias entre dos eventos, medidas por observadores en movimiento, difieren. 
• La transformación de Lorentz de las velocidades :  las velocidades ya no se suman simplemente 

Combinados con otras leyes de la física, los dos postulados de la relatividad especial predicen la equivalencia entre masa y energía , tal como se expresa en la fórmula de equivalencia masa-energía .${\displaystyle E=mc^{2}}$, donde${\displaystyle c}$es la velocidad de la luz en el vacío. ^{[ 6 ] [ 7 ]} La relatividad especial reemplazó la noción convencional de un tiempo absoluto y universal con la noción de un tiempo local para cada observador. ^{[ 8 ] : 33} La información sobre objetos distantes no puede llegar más rápido que la velocidad de la luz, por lo que las observaciones visuales siempre informan eventos que han ocurrido en el pasado. Este efecto hace que las descripciones visuales de los efectos de la relatividad especial sean particularmente propensas a errores. ^{[ 9 ]}

La relatividad especial también tiene profundas consecuencias técnicas. Una característica definitoria de la relatividad especial es la sustitución de la geometría euclidiana por la geometría lorentziana . ^{[ 10 ] : 8} Las distancias en la geometría euclidiana se calculan con el teorema de Pitágoras y solo involucran coordenadas espaciales. En la geometría lorentziana, las "distancias" se convierten en "intervalos" e incluyen una coordenada temporal con un signo negativo. A diferencia de las distancias espaciales, el intervalo entre dos eventos tiene el mismo valor para todos los observadores, independientemente de su velocidad relativa. Al comparar dos conjuntos de coordenadas en movimiento relativo, la transformación de Lorentz reemplaza la transformación galileana de la mecánica newtoniana. ^{[ 10 ] : 98} Otros efectos incluyen las correcciones relativistas al efecto Doppler y la precesión de Thomas . ^{[ 1 ] [ 2 ]} También explica cómo se relacionan la electricidad y el magnetismo. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Los sistemas de referencia desempeñan un papel crucial en la teoría de la relatividad. El término sistema de referencia, tal como se utiliza aquí, se refiere a una perspectiva de observación en el espacio que no experimenta ningún cambio de movimiento (aceleración), desde la cual se puede medir una posición a lo largo de tres ejes espaciales (es decir, en reposo o a velocidad constante). Además, un sistema de referencia permite determinar la duración de los eventos mediante un reloj (cualquier dispositivo de referencia con periodicidad uniforme).

Un evento es un suceso al que se le puede asignar un momento y una ubicación únicos en el espacio con respecto a un sistema de referencia: es un "punto" en el espacio-tiempo . Dado que la velocidad de la luz es constante en la relatividad, independientemente del sistema de referencia, los pulsos de luz pueden utilizarse para medir distancias de forma inequívoca y referenciar los momentos en que ocurrieron los eventos al reloj, aunque la luz tarde un tiempo en llegar al reloj después de que el evento haya tenido lugar.

Por ejemplo, la explosión de un petardo puede considerarse un "evento". Podemos especificar completamente un evento mediante sus cuatro coordenadas espaciotemporales: el momento de ocurrencia y su ubicación espacial tridimensional definen un punto de referencia. Llamemos a este marco de referencia S.

En la teoría de la relatividad, a menudo necesitamos calcular las coordenadas de un evento a partir de diferentes sistemas de referencia. Las ecuaciones que relacionan las mediciones realizadas en diferentes sistemas se denominan ecuaciones de transformación .

Para comprender cómo se comparan entre sí las coordenadas espaciotemporales medidas por observadores en diferentes marcos de referencia , es útil trabajar con una configuración simplificada con marcos en una configuración estándar . ^{[ 25 ] : 107} Con cuidado, esto permite simplificar las matemáticas sin pérdida de generalidad en las conclusiones alcanzadas. En la Fig.  2-1, se muestran dos marcos de referencia galileanos (es decir, marcos convencionales de 3 espacios) en movimiento relativo. El marco S pertenece a un primer observador O , y el marco S ′ (pronunciado "S  prima" o "S guion") pertenece a un segundo observador O ′ .

• Los ejes x , y , z del marco S están orientados paralelamente a los respectivos ejes primados del marco S ′ .
• El marco S ′ se mueve, por simplicidad, en una sola dirección: la dirección x del marco S con una velocidad constante v medida en el marco S .
• Los orígenes de los marcos S y S ′ coinciden cuando el tiempo t = 0 para el marco S y t ′ = 0 para el marco S ′ .

Dado que en la teoría de la relatividad no existe un sistema de referencia absoluto, el concepto de "movimiento" no existe estrictamente, ya que todo puede moverse con respecto a algún otro sistema de referencia. En cambio, se dice que dos sistemas que se mueven a la misma velocidad y en la misma dirección son comóviles . Por lo tanto, S y S ′ no son comóviles .

El principio de relatividad , que establece que las leyes físicas tienen la misma forma en cada sistema de referencia inercial , se remonta a Galileo y se incorporó a la física newtoniana. Sin embargo, a finales del siglo XIX, la existencia de ondas electromagnéticas llevó a algunos físicos a sugerir que el universo estaba lleno de una sustancia a la que llamaron " éter ", la cual, según postularon, actuaría como medio a través del cual se propagaban estas ondas o vibraciones (de forma similar, en muchos aspectos, a como se propaga el sonido por el aire). Se creía que el éter era un sistema de referencia absoluto con respecto al cual se podían medir todas las velocidades, y que podía considerarse fijo e inmóvil en relación con la Tierra o algún otro punto de referencia fijo. Se suponía que el éter era lo suficientemente elástico como para soportar las ondas electromagnéticas, mientras que estas podían interactuar con la materia, sin ofrecer resistencia alguna a los cuerpos que lo atravesaban (su única propiedad era que permitía la propagación de las ondas electromagnéticas). Los resultados de varios experimentos, incluido el experimento de Michelson-Morley en 1887 (posteriormente verificado con experimentos más precisos e innovadores), llevaron a la teoría de la relatividad especial, al demostrar que el éter no existía. ^{[ 26 ]} La solución de Einstein fue descartar la noción de un éter y el estado absoluto de reposo. En la relatividad, cualquier sistema de referencia que se mueva con movimiento uniforme observará las mismas leyes de la física. En particular, la velocidad de la luz en el vacío siempre se mide como c , incluso cuando se mide con múltiples sistemas que se mueven a velocidades diferentes (pero constantes).

Partiendo únicamente del principio de relatividad, sin asumir la constancia de la velocidad de la luz (es decir, utilizando la isotropía del espacio y la simetría implícita en el principio de relatividad especial), se puede demostrar que las transformaciones espaciotemporales entre sistemas de referencia inerciales son euclidianas, galileanas o lorentzianas. En el caso lorentziano, se obtiene la conservación del intervalo relativista y una cierta velocidad límite finita. Los experimentos sugieren que esta velocidad es la de la luz en el vacío. ^{[ p 4 ] [ 27 ] : 511}

Einstein combinó los dos postulados —el de la relatividad y el de la invariancia de la velocidad de la luz— en un único postulado: la transformación de Lorentz.

La idea fundamental de la teoría especial de la relatividad es la siguiente: Las suposiciones de relatividad e invariancia de la velocidad de la luz son compatibles si se postulan relaciones de un nuevo tipo ("transformación de Lorentz") para la conversión de coordenadas y tiempos de eventos  ... El principio universal de la teoría especial de la relatividad está contenido en el postulado: Las leyes de la física son invariantes con respecto a las transformaciones de Lorentz (para la transición de un sistema inercial a cualquier otro sistema inercial elegido arbitrariamente). Este es un principio restrictivo para las leyes naturales  ... ^{[ p 2 ]}

Tras la presentación original de la relatividad especial por Einstein en 1905, se han propuesto muchos conjuntos diferentes de postulados en diversas derivaciones alternativas, ^{[ 28 ]} pero Einstein se mantuvo fiel a su enfoque a lo largo de todo su trabajo. ^{[ p 5 ]}

Henri Poincaré proporcionó el marco matemático para la teoría de la relatividad al demostrar que las transformaciones de Lorentz son un subconjunto de su grupo de transformaciones de simetría de Poincaré. Posteriormente, Einstein derivó estas transformaciones a partir de sus axiomas.

Si bien el enfoque tradicional de dos postulados para la relatividad especial se presenta en innumerables libros de texto universitarios y presentaciones populares, ^{[ 29 ]} otros tratamientos de la relatividad especial la basan en el postulado único de la covarianza de Lorentz universal, o, equivalentemente, en el postulado único del espaciotiempo de Minkowski . ^{[ p 6 ] [ p 7 ]} Los libros de texto que comienzan con el postulado único del espaciotiempo de Minkowski incluyen los de Taylor y Wheeler ^{[ 10 ]} y los de Callahan. ^{[ 30 ]}

Definimos un evento con coordenadas espaciotemporales ( t , x , y , z ) en el sistema S y ( t ′ , x ′ , y ′ , z ′ ) en un sistema de referencia S ′ que se mueve a una velocidad v a lo largo del eje x . Entonces, la transformación de Lorentz especifica que estas coordenadas están relacionadas de la siguiente manera: $${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \ (t-vx/c^{2})\\x'&=\gamma \ (x-vt)\\y'&=y\\z'&=z,\end{aligned}}}$$ dónde$${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$$es el factor de Lorentz y c es la velocidad de la luz en el vacío, y la velocidad v de S ′ , relativa a S , es paralela al eje x . Para simplificar, las coordenadas y y z no se ven afectadas; solo se transforman las coordenadas x y t . Estas transformaciones de Lorentz forman un grupo de mapeos lineales de un parámetro , dicho parámetro se denomina rapidez .

Al resolver las cuatro ecuaciones de transformación anteriores para las coordenadas sin primar, se obtiene la transformación inversa de Lorentz: $${\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'.\end{aligned}}}$$

Esto demuestra que el sistema de referencia no primado se mueve con la velocidad − v , medida en el sistema de referencia primado. ^{[ 31 ]}

El eje x no tiene nada de especial . La transformación puede aplicarse al eje y o al eje z , o incluso en cualquier dirección paralela al movimiento (que se ve afectada por el factor γ ) y perpendicular; consulte el artículo sobre la transformación de Lorentz para obtener más detalles.

Una magnitud que es invariante bajo transformaciones de Lorentz se conoce como escalar de Lorentz .

Escribiendo la transformación de Lorentz y su inversa en términos de diferencias de coordenadas, donde un evento tiene coordenadas ( x ₁ , t ₁ ) y ( x ′ ₁ , t ′ ₁ ) , otro evento tiene coordenadas ( x ₂ , t ₂ ) y ( x ′ ₂ , t ′ ₂ ) , y las diferencias se definen como

• Ecuación 1:  ${\displaystyle \Delta x'=x'_{2}-x'_{1}\ ,\ \Delta t'=t'_{2}-t'_{1}\ .}$
• Ecuación 2:  ${\displaystyle \Delta x=x_{2}-x_{1}\ ,\ \ \Delta t=t_{2}-t_{1}\ .}$

obtenemos

• Ecuación 3:  ${\displaystyle \Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\,\Delta t)\ ,\ \ }$${\displaystyle \Delta t'=\gamma \ \left(\Delta t-v\ \Delta x/c^{2}\right)\ .}$
• Ecuación 4:  ${\displaystyle \Delta x=\gamma \ (\Delta x'+v\,\Delta t')\ ,\ }$${\displaystyle \Delta t=\gamma \ \left(\Delta t'+v\ \Delta x'/c^{2}\right)\ .}$

Si tomamos diferenciales en lugar de tomar diferencias, obtenemos

• Ecuación 5:  ${\displaystyle dx'=\gamma \ (dx-v\,dt)\ ,\ \ }$${\displaystyle dt'=\gamma \ \left(dt-v\ dx/c^{2}\right)\ .}$
• Ecuación 6:  ${\displaystyle dx=\gamma \ (dx'+v\,dt')\ ,\ }$${\displaystyle dt=\gamma \ \left(dt'+v\ dx'/c^{2}\right)\ .}$

Figura 3-1. Dibujo de un diagrama de espaciotiempo de Minkowski para ilustrar una transformación de Lorentz.

Los diagramas espaciotemporales (también llamados diagramas de Minkowski ) son una herramienta sumamente útil para visualizar cómo se transforman las coordenadas entre diferentes sistemas de referencia. Si bien no es tan sencillo realizar cálculos exactos con ellos como invocar directamente las transformaciones de Lorentz, su principal ventaja radica en su capacidad para proporcionar una comprensión intuitiva de los resultados de un escenario relativista. ^{[ 27 ] : 536} Para dibujar un diagrama espaciotemporal, comience considerando dos sistemas de referencia galileanos, S y S′, en configuración estándar, como se muestra en la Fig.  2-1. ^{[ 32 ] : 155–199}

Figura  3-1a . Dibuje el${\displaystyle x}$y${\displaystyle t}$ejes del marco S. El${\displaystyle x}$El eje es horizontal y el${\displaystyle ct}$(tiempo escrito en unidades de espacio) el eje es vertical, lo cual es lo opuesto a la convención habitual en cinemática.${\displaystyle ct}$El eje se escala por un factor de${\displaystyle c}$de modo que ambos ejes tengan unidades de longitud comunes. En el diagrama mostrado, las líneas de la cuadrícula están espaciadas a una unidad de distancia. Las líneas diagonales de 45° representan las líneas de universo de dos fotones que pasan por el origen en el tiempo${\displaystyle t=0.}$La pendiente de estas líneas de universo es 1 porque los fotones avanzan una unidad en el espacio por unidad de tiempo. Dos eventos,${\displaystyle {\text{A}}}$y${\displaystyle {\text{B}},}$se han representado en este gráfico para que sus coordenadas puedan compararse en los sistemas de referencia S y S'.

Figura  3-1b . Dibuje el${\displaystyle x'}$y${\displaystyle ct'}$ejes del marco S'. El${\displaystyle ct'}$El eje representa la línea de universo del origen del sistema de coordenadas S' medido en el marco S. En esta figura,${\displaystyle v=c/2.}$Ambos${\displaystyle ct'}$y${\displaystyle x'}$Los ejes están inclinados con respecto a los ejes no preparados por un ángulo${\displaystyle \alpha =\tan ^{-1}(\beta ),}$dónde${\displaystyle \beta =v/c.}$Los ejes primado y no primado comparten un origen común porque los marcos S y S' se habían configurado en una configuración estándar, de modo que${\displaystyle t=0}$cuando${\displaystyle t'=0.}$

Figura  3-1c . Las unidades en los ejes primados tienen una escala diferente a las unidades en los ejes no primados. A partir de las transformaciones de Lorentz, se puede observar que${\displaystyle (x',ct')}$coordenadas de${\displaystyle (0,1)}$en el sistema de coordenadas primado transformar a${\displaystyle (\beta \gamma ,\gamma )}$en el sistema de coordenadas no primado. Asimismo,${\displaystyle (x',ct')}$coordenadas de${\displaystyle (1,0)}$en el sistema de coordenadas primado transformar a${\displaystyle (\gamma ,\beta \gamma )}$en el sistema sin cebar. Dibuje líneas de cuadrícula paralelas con el${\displaystyle ct'}$eje que pasa por puntos${\displaystyle (k\gamma ,k\beta \gamma )}$como se mide en el marco sin cebar, donde${\displaystyle k}$es un número entero. Del mismo modo, dibuje líneas de cuadrícula paralelas a la${\displaystyle x'}$eje a través de${\displaystyle (k\beta \gamma ,k\gamma )}$como se mide en el marco no primado. Usando el teorema de Pitágoras, observamos que el espaciado entre${\displaystyle ct'}$unidades equivalen a${\textstyle {\sqrt {(1+\beta ^{2})/(1-\beta ^{2})}}}$veces el espaciado entre${\displaystyle ct}$unidades, medidas en el sistema de referencia S. Esta relación siempre es mayor que 1 y tiende al infinito a medida que${\displaystyle \beta \to 1.}$

Figura  3-1d . Dado que la velocidad de la luz es una invariante, las líneas de universo de dos fotones que pasan por el origen en el tiempo${\displaystyle t'=0}$aún se trazan como líneas diagonales de 45°. Las coordenadas primadas de${\displaystyle {\text{A}}}$y${\displaystyle {\text{B}}}$Las coordenadas están relacionadas con las coordenadas sin primar mediante las transformaciones de Lorentz y podrían medirse aproximadamente a partir del gráfico (suponiendo que se haya trazado con la precisión suficiente), pero el verdadero mérito de un diagrama de Minkowski reside en que nos proporciona una visión geométrica del escenario. Por ejemplo, en esta figura, observamos que los dos eventos separados en el tiempo que tenían coordenadas x diferentes en el marco sin primar ahora se encuentran en la misma posición en el espacio.

Mientras que el sistema de referencia sin primar se dibuja con ejes espacio-temporales que se cruzan en ángulo recto, el sistema de referencia con prima se dibuja con ejes que se cruzan en ángulos agudos u obtusos. Esta asimetría se debe a las distorsiones inevitables en la forma en que las coordenadas espacio-temporales se proyectan sobre un plano cartesiano . Los sistemas de referencia son equivalentes.

En la relatividad galileana, la separación espacial, ( ⁠${\displaystyle \Delta r}$⁠ ), y la separación temporal, ( ⁠${\displaystyle \Delta t}$⁠ ), entre dos eventos son invariantes independientes, cuyos valores no cambian cuando se observan desde diferentes marcos de referencia. En la relatividad especial, sin embargo, el entrelazamiento de coordenadas espaciales y temporales genera el concepto de un intervalo invariante , denotado como ⁠${\displaystyle \Delta s^{2}}$:​ $${\displaystyle \Delta s^{2}\;{\overset {\text{def}}{=}}\;c^{2}\Delta t^{2}-(\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2})}$$ Al considerar el significado físico de${\displaystyle \Delta s^{2}}$⁠ , hay tres casos: ^{[ 27 ] : 533 [ 10 ] : 25–39}

• Δs ² > 0: En este caso, los dos eventos están separados por más tiempo que espacio, y por lo tanto se dice que están separados de forma temporal . Esto implica que${\displaystyle \vert \Delta x/\Delta t\vert <c}$y dada la transformación de Lorentz${\displaystyle \Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\ \Delta t)}$⁠ , es evidente que existe una${\displaystyle v}$menos que${\displaystyle c}$para qué${\displaystyle \Delta x'=0}$(en particular ,${\displaystyle v=\Delta x/\Delta t}$⁠ ). En otras palabras, dados dos eventos que están separados en el tiempo, es posible encontrar un marco en el que los dos eventos ocurren en el mismo lugar. En este marco, la separación en el tiempo, ⁠${\displaystyle \Delta s/c}$⁠ , se llama el tiempo propio .
• Δs ² < 0: En este caso, los dos eventos están separados por más espacio que tiempo, y por lo tanto se dice que están separados como el espacio . Esto implica que${\displaystyle \vert \Delta x/\Delta t\vert >c}$y dada la transformación de Lorentz${\displaystyle \Delta t'=\gamma \ (\Delta t-v\Delta x/c^{2})}$⁠ , existe un${\displaystyle v}$menos que${\displaystyle c}$para qué${\displaystyle \Delta t'=0}$(en particular ,${\displaystyle v=c^{2}\Delta t/\Delta x}$⁠ ). En otras palabras, dados dos eventos que están separados espacialmente, es posible encontrar un marco en el que los dos eventos ocurren al mismo tiempo. En este marco, la separación en el espacio, ⁠${\displaystyle \textstyle {\sqrt {-\Delta s^{2}}}}$⁠ , se llama distancia propia o longitud propia . Para valores de${\displaystyle v}$mayor que y menor que${\displaystyle c^{2}\Delta t/\Delta x}$⁠ , el signo de${\displaystyle \Delta t'}$cambios, lo que significa que el orden temporal de los eventos separados espacialmente cambia dependiendo del marco en el que se observan los eventos. Pero el orden temporal de los eventos separados en el tiempo es absoluto, ya que la única forma en que${\displaystyle v}$podría ser mayor que${\displaystyle c^{2}\Delta t/\Delta x}$sería si${\displaystyle v>c}$.​
• Δs ² = 0: En este caso, se dice que los dos eventos están separados como la luz . Esto implica que${\displaystyle \vert \Delta x/\Delta t\vert =c}$⁠ , y esta relación es independiente del marco debido a la invariancia de ⁠${\displaystyle s^{2}}$⁠ . De esto, observamos que la velocidad de la luz es${\displaystyle c}$en cualquier sistema de referencia inercial. En otras palabras, partiendo de la suposición de covarianza de Lorentz universal, la velocidad constante de la luz es un resultado derivado, en lugar de un postulado como en la formulación de dos postulados de la teoría especial.

El entrelazamiento del espacio y el tiempo revoca los conceptos implícitamente asumidos de simultaneidad absoluta y sincronización entre sistemas de referencia no comóviles.

La forma de${\displaystyle \Delta s^{2}}$La diferencia entre el cuadrado ^{del lapso de tiempo y el cuadrado de} la distancia espacial demuestra una discrepancia fundamental entre las distancias euclidianas y las del espaciotiempo. La invariancia de Δs² bajo la transformación de Lorentz estándar es análoga a la invariancia de las distancias cuadradas Δr² bajo rotaciones en el espacio euclidiano.Aunque el espacio y el tiempo tienen la misma importancia en la relatividad, el signo negativo delante de los términos espaciales indica que el espacio y el tiempo tienen un carácter esencialmente diferente. No son lo mismo. Debido a que trata el tiempo de manera diferente a como trata las 3 dimensiones espaciales, el espacio de Minkowski difiere del espacio euclidiano de cuatro dimensiones . La invariancia de este intervalo es una propiedad de latransformación de Lorentz general (también llamada transformación de Poincaré ), lo que la convierte en una isometría del espaciotiempo. La transformada de Lorentz general extiende la transformada de Lorentz estándar (que trata sobre traslaciones sin rotación, es decir, transformaciones de Lorentz en la dirección x) con todas las demás traslaciones , reflexiones y rotaciones entre cualquier sistema de referencia inercial cartesiano. ^{[ 34 ] : 33–34}

En el análisis de escenarios simplificados, como los diagramas espaciotemporales, se suele emplear una forma de dimensionalidad reducida del intervalo invariante: $${\displaystyle \Delta s^{2}\,=\,c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}}$$

Demostrar que el intervalo es invariante es sencillo para el caso de dimensionalidad reducida y con marcos en configuración estándar: ^{[ 27 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}&=c^{2}\gamma ^{2}\left(\Delta t'+{\dfrac {v\Delta x'}{c^{2}}}\right)^{2}-\gamma ^{2}\ (\Delta x'+v\Delta t')^{2}\\&=\gamma ^{2}\left(c^{2}\Delta t'^{\,2}+2v\Delta x'\Delta t'+{\dfrac {v^{2}\Delta x'^{\,2}}{c^{2}}}\right)-\gamma ^{2}\ (\Delta x'^{\,2}+2v\Delta x'\Delta t'+v^{2}\Delta t'^{\,2})\\&=\gamma ^{2}c^{2}\Delta t'^{\,2}-\gamma ^{2}v^{2}\Delta t'^{\,2}-\gamma ^{2}\Delta x'^{\,2}+\gamma ^{2}{\dfrac {v^{2}\Delta x'^{\,2}}{c^{2}}}\\&=\gamma ^{2}c^{2}\Delta t'^{\,2}\left(1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}\right)-\gamma ^{2}\Delta x'^{\,2}\left(1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\\&=c^{2}\Delta t'^{\,2}-\Delta x'^{\,2}\end{aligned}}}$$

El valor de${\displaystyle \Delta s^{2}}$es, por lo tanto, independiente del sistema de referencia en el que se mide.

Consideremos dos eventos que ocurren en dos ubicaciones diferentes y que suceden simultáneamente en el sistema de referencia de un observador inercial. Pueden ocurrir de forma no simultánea en el sistema de referencia de otro observador inercial (falta de simultaneidad absoluta ).

De la ecuación  3 (la transformación de Lorentz directa en términos de diferencias de coordenadas) $${\displaystyle \Delta t'=\gamma \left(\Delta t-{\frac {v\,\Delta x}{c^{2}}}\right)}$$

Es evidente que los dos eventos que son simultáneos en el sistema de referencia S (que satisfacen Δ t = 0 ) no son necesariamente simultáneos en otro sistema de referencia inercial S ′ (que satisface Δ t ′ = 0 ). Solo si estos eventos son además colocales en el sistema de referencia S (que satisfacen Δ x = 0 ), serán simultáneos en otro sistema de referencia S ′ .

El efecto Sagnac puede considerarse una manifestación de la relatividad de la simultaneidad para sistemas de referencia inerciales locales que se mueven conjuntamente con una Tierra en rotación. ^{[ 35 ]} Los instrumentos basados ​​en el efecto Sagnac para su funcionamiento, como los giroscopios láser de anillo y los giroscopios de fibra óptica , son capaces de alcanzar niveles extremos de sensibilidad. ^{[ p 8 ]}

El intervalo de tiempo entre dos eventos no es invariable de un observador a otro, sino que depende de las velocidades relativas de los sistemas de referencia de los observadores.

Supongamos que un reloj está en reposo en el sistema no inicializado S. La posición del reloj en dos marcas diferentes se caracteriza entonces por Δx = 0. Para hallar la relación entre los tiempos entre estas marcas, medidos en ambos sistemas, se puede utilizar la ecuación  3 para hallar:

${\displaystyle \Delta t'=\gamma \,\Delta t}$ para eventos satisfactorios ${\displaystyle \Delta x=0\ .}$

Esto demuestra que el tiempo (Δt ′ ) entre los dos tics, visto desde el sistema de referencia en el que se mueve el reloj ( S ′ ), es mayor que el tiempo (Δt ) entre estos tics, medido desde el sistema de referencia en reposo del reloj ( S ). La dilatación del tiempo explica varios fenómenos físicos; por ejemplo, la vida útil de los muones de alta velocidad creados por la colisión de rayos cósmicos con partículas en la atmósfera exterior de la Tierra y que se mueven hacia la superficie es mayor que la vida útil de los muones de movimiento lento, creados y desintegrados en un laboratorio. ^{[ 36 ]}

Siempre que se oiga decir que "los relojes en movimiento se retrasan", conviene imaginar un sistema de referencia inercial densamente poblado de relojes idénticos y sincronizados. A medida que un reloj en movimiento se desplaza por este sistema, su lectura en cualquier punto se compara con la de un reloj estacionario en el mismo punto. ^{[ 37 ] : 149–152}

Las mediciones obtenidas mediante la observación directa de un reloj en movimiento se retrasarían debido a la velocidad finita de la luz; es decir, los tiempos observados se verían distorsionados por el efecto Doppler . Las mediciones de efectos relativistas siempre deben entenderse como realizadas después de haber eliminado los efectos de la velocidad finita de la luz. ^{[ 37 ] : 149–152}

El reloj de luz de Langevin

Paul Langevin , uno de los primeros defensores de la teoría de la relatividad, contribuyó en gran medida a popularizarla frente a la resistencia de muchos físicos a los revolucionarios conceptos de Einstein. Entre sus numerosas contribuciones a los fundamentos de la relatividad especial se encuentran trabajos independientes sobre la relación masa-energía, un examen exhaustivo de la paradoja de los gemelos e investigaciones sobre sistemas de coordenadas rotatorias. Su nombre se asocia frecuentemente a una construcción hipotética denominada «reloj de luz» (desarrollada originalmente por Lewis y Tolman en 1909 ^{[ 38 ]} ), que utilizó para realizar una derivación novedosa de la transformación de Lorentz. ^{[ 39 ]}

Un reloj de luz se concibe como una caja con paredes perfectamente reflectantes, donde una señal luminosa se refleja entre caras opuestas. El concepto de dilatación del tiempo se suele enseñar utilizando un reloj de luz que se desplaza con un movimiento inercial uniforme perpendicular a la línea que une los dos espejos. ^{[ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ]} (El propio Langevin utilizó un reloj de luz orientado paralelamente a su línea de movimiento. ^{[ 39 ]} )

Considere el escenario ilustrado en la Fig. 4-3A. El observador A sostiene un reloj de luz de longitud${\displaystyle L}$así como un cronómetro electrónico con el que mide cuánto tarda un pulso en hacer un viaje de ida y vuelta a lo largo del reloj de luz. Aunque la observadora A viaja rápidamente a lo largo de un tren, desde su punto de vista la emisión y la recepción del pulso ocurren en el mismo lugar, y mide el intervalo usando un solo reloj ubicado en la posición precisa de estos dos eventos. Para el intervalo entre estos dos eventos, la observadora A encuentra ⁠${\displaystyle t_{\text{A}}=2L/c}$⁠ . Un intervalo de tiempo medido utilizando un solo reloj que permanece inmóvil en un sistema de referencia particular se denomina intervalo de tiempo propio . ^{[ 44 ]}

La figura 4-3B ilustra estos mismos dos eventos desde el punto de vista del observador B, que está estacionado junto a las vías mientras el tren pasa a una velocidad de ⁠${\displaystyle v}$En lugar de realizar movimientos rectos hacia arriba y hacia abajo, el observador B ve los pulsos moviéndose a lo largo de una línea en zigzag. Sin embargo, debido al postulado de la constancia de la velocidad de la luz, la velocidad de los pulsos a lo largo de estas líneas diagonales es la misma .${\displaystyle c}$que el observador A vio para sus pulsos de arriba y abajo. B mide la velocidad del componente vertical de estos pulsos como${\textstyle \pm {\sqrt {c^{2}-v^{2}}},}$de modo que el tiempo total de ida y vuelta de los pulsos sea${\textstyle t_{\text{B}}=2L{\big /}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}={}}$⁠${\displaystyle \textstyle t_{\text{A}}{\big /}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$Cabe señalar que, para el observador B, la emisión y recepción del pulso de luz ocurrieron en lugares diferentes, y midió el intervalo utilizando dos relojes fijos y sincronizados ubicados en dos posiciones distintas de su sistema de referencia. Por lo tanto, el intervalo que midió B no fue un intervalo de tiempo propiamente dicho, ya que no lo midió con un único reloj en reposo. ^{[ 44 ]}

La reciprocidad de la dilatación del tiempo entre dos observadores en sistemas de referencia inerciales separados conduce a la llamada paradoja de los gemelos , formulada en su forma actual por Langevin en 1911. ^{[ 46 ]} Langevin imaginó a un aventurero que deseaba explorar el futuro de la Tierra. Este viajero aborda un proyectil capaz de viajar al 99,995% de la velocidad de la luz. Después de realizar un viaje de ida y vuelta a una estrella cercana que dura solo dos años de su propia vida, regresa a una Tierra que es doscientos años más vieja.

Este resultado parece desconcertante porque tanto el viajero como un observador terrestre verían al otro en movimiento, y por lo tanto, debido a la reciprocidad de la dilatación del tiempo, cabría esperar inicialmente que cada uno hubiera encontrado al otro envejecido menos. En realidad, no hay ninguna paradoja, porque para que los dos observadores puedan realizar comparaciones paralelas de sus tiempos propios transcurridos, la simetría de la situación debe romperse: al menos uno de los dos observadores debe cambiar su estado de movimiento para que coincida con el del otro. ^{[ 47 ]}

Sin embargo, conocer la resolución general de la paradoja no garantiza de inmediato la capacidad de calcular resultados cuantitativos correctos. En la literatura se han propuesto numerosas soluciones a este enigma, las cuales se han analizado en el artículo sobre la paradoja de los gemelos . A continuación, examinaremos una de estas soluciones.

Nuestro objetivo básico será demostrar que, después del viaje, ambos gemelos están perfectamente de acuerdo sobre cuánto envejeció cada uno, independientemente de sus diferentes experiencias. La figura 4-4 ilustra un escenario en el que el gemelo viajero vuela a 0,6 c hacia y desde una estrella a 3 años luz de distancia. Durante el viaje, cada gemelo envía señales de tiempo anuales (medidas en sus propios tiempos propios) al otro. Después del viaje, se comparan los recuentos acumulados. En la fase de salida del viaje, cada gemelo recibe las señales del otro a la tasa reducida de${\displaystyle \textstyle f'=f{\sqrt {(1-\beta )/(1+\beta )}}}$⁠ . Inicialmente, la situación es perfectamente simétrica: observe que cada gemela recibe la señal de un año de la otra a los dos años medidos en su propio reloj. La simetría se rompe cuando la gemela viajera da la vuelta en la marca de cuatro años según lo medido por su reloj. Durante los cuatro años restantes de su viaje, recibe señales a la tasa aumentada de ⁠${\displaystyle \textstyle f''=f{\sqrt {(1+\beta )/(1-\beta )}}}$La situación es bastante diferente con el gemelo estacionario. Debido al retraso de la velocidad de la luz, no ve a su hermana darse la vuelta hasta que han transcurrido ocho años en su propio reloj. Por lo tanto, recibe señales de alta frecuencia de su hermana solo durante un período relativamente breve. Aunque los gemelos discrepan en sus respectivas mediciones del tiempo total, vemos en la siguiente tabla, así como mediante la simple observación del diagrama de Minkowski, que cada gemelo está totalmente de acuerdo con el otro en cuanto al número total de señales enviadas de uno al otro. Por consiguiente, no hay paradoja . ^{[ 37 ] : 152–159}

Las dimensiones (por ejemplo, la longitud) de un objeto medidas por un observador pueden ser menores que los resultados de las mediciones del mismo objeto realizadas por otro observador (por ejemplo, la paradoja de la escalera implica una escalera larga que viaja cerca de la velocidad de la luz y está contenida dentro de un garaje más pequeño).

De manera similar, supongamos que una varilla de medición está en reposo y alineada a lo largo del eje x en el sistema no inicializado S. En este sistema, la longitud de esta varilla se escribe como Δx . Para medir la longitud de esta varilla en el sistema S ′ , en el que la varilla se mueve, las distancias x ′ a los extremos de la varilla deben medirse simultáneamente en ese sistema S ′ . En otras palabras, la medición se caracteriza por Δt ′ = 0 , lo que se puede combinar con la ecuación  4 para encontrar la relación entre las longitudes Δx y Δx ′ :

${\displaystyle \Delta x'={\frac {\Delta x}{\gamma }}}$  para eventos satisfactorios ${\displaystyle \Delta t'=0\ .}$

Esto demuestra que la longitud (Δ x ′ ) de la varilla medida en el marco en el que se está moviendo ( S ′ ), es más corta que su longitud (Δ x ) en su propio marco de reposo ( S ).

La dilatación del tiempo y la contracción de la longitud no son meras apariencias. La dilatación del tiempo está directamente relacionada con nuestra forma de medir los intervalos de tiempo entre eventos que ocurren en el mismo lugar dentro de un sistema de coordenadas determinado (denominados eventos "colocales"). Estos intervalos de tiempo difieren en otro sistema de coordenadas que se mueve con respecto al primero, a menos que los eventos, además de ser colocales, sean simultáneos. De manera similar, la contracción de la longitud se relaciona con las distancias medidas entre eventos separados pero simultáneos en un sistema de coordenadas determinado. Si estos eventos no son colocales, sino que están separados por la distancia (espacio), no se encontrarán a la misma distancia espacial entre sí cuando se observen desde otro sistema de coordenadas en movimiento.

Consideremos dos sistemas de referencia S y S ′ en configuración estándar. Una partícula en S se mueve en la dirección x con vector de velocidad ⁠${\displaystyle \mathbf {u} }$¿ Cuál es su velocidad?${\displaystyle \mathbf {u'} }$¿en el marco S ′ ?

Podemos escribir

Sustituyendo expresiones por${\displaystyle dx'}$y${\displaystyle dt'}$Sustituyendo la ecuación  5 en la ecuación  8 , seguida de manipulaciones matemáticas sencillas y sustitución inversa desde la ecuación  7, se obtiene la transformación de Lorentz de la velocidad.${\displaystyle u}$a​${\displaystyle u'}$:​

La relación inversa se obtiene intercambiando los símbolos con prima y sin prima y reemplazando${\displaystyle v}$con​${\displaystyle -v}$.​

Para${\displaystyle \mathbf {u} }$no alineados a lo largo del eje x, escribimos: ^{[ 13 ] : 47–49}

Las transformaciones directa e inversa para este caso son:

Las ecuaciones  10  y 14 pueden interpretarse como que dan como resultado${\displaystyle \mathbf {u} }$de las dos velocidades${\displaystyle \mathbf {v} }$y​${\displaystyle \mathbf {u'} }$y reemplazan la fórmula${\displaystyle \mathbf {u=u'+v} }$⁠ . que es válida en la relatividad galileana. Interpretadas de esta manera, se las suele denominar fórmulas de adición (o composición) de velocidad relativista , válidas para los tres ejes de S y S ′ alineados entre sí (aunque no necesariamente en la configuración estándar). ^{[ 13 ] : 47–49}

Observamos los siguientes puntos:

• Si un objeto (por ejemplo, un fotón ) se moviera a la velocidad de la luz en un sistema de referencia (es decir, u = ± c o u ′ = ± c ) , entonces también se movería a la velocidad de la luz en cualquier otro sistema de referencia, moviéndose a | v | < c .
• La velocidad resultante de dos velocidades con magnitud menor que c es siempre una velocidad con magnitud menor que c .
• Si tanto | u | como | v | (y entonces también | u ′ | y | v ′ | ) son pequeños con respecto a la velocidad de la luz (es decir, por ejemplo, | u / c | ≪ 1 ) , entonces las transformaciones galileanas intuitivas se recuperan a partir de las ecuaciones de transformación para la relatividad especial .
• Para acoplar un marco a un fotón ( viajando en un haz de luz como lo plantea Einstein), se requiere un tratamiento especial de las transformaciones.

La dirección x no tiene nada de especial en la configuración estándar. El formalismo anterior se aplica a cualquier dirección; y tres direcciones ortogonales permiten trabajar con todas las direcciones del espacio descomponiendo los vectores de velocidad en sus componentes en dichas direcciones. Consulte la fórmula de suma de velocidades para obtener más detalles.

Figura 4-5. Rotación de Thomas-Wigner

La composición de dos transformaciones de Lorentz no colineales (es decir, dos transformaciones de Lorentz no colineales, ninguna de las cuales implica rotación) da como resultado una transformación de Lorentz que no es una transformación pura, sino que es la composición de una transformación y una rotación.

La rotación de Thomas resulta de la relatividad de la simultaneidad. En la Fig.  4-5a, una varilla de longitud${\displaystyle L}$en su marco de reposo (es decir, teniendo una longitud adecuada de ⁠${\displaystyle L}$) se eleva verticalmente a lo largo del eje y en el sistema de referencia del suelo.

En la figura  4-5b, se observa la misma varilla desde el marco de un cohete que se mueve a velocidad${\displaystyle v}$a la derecha. Si imaginamos dos relojes situados en los extremos izquierdo y derecho de la varilla que están sincronizados en el marco de la varilla , la relatividad de la simultaneidad hace que el observador en el marco del cohete observe (no vea ) el reloj en el extremo derecho de la varilla como adelantado en el tiempo por${\displaystyle Lv/c^{2}}$y , en consecuencia, se observa que la varilla está inclinada. ^{[ 10 ] : 98–99}

A diferencia de los efectos relativistas de segundo orden, como la contracción de la longitud o la dilatación del tiempo, este efecto se vuelve bastante significativo incluso a velocidades relativamente bajas. Por ejemplo, esto se puede observar en el espín de partículas en movimiento , donde la precesión de Thomas es una corrección relativista que se aplica al espín de una partícula elemental o a la rotación de un giroscopio macroscópico , relacionando la velocidad angular del espín de una partícula que sigue una órbita curvilínea con la velocidad angular del movimiento orbital. ^{[ 10 ] : 169–174}

La rotación de Thomas proporciona la solución a la conocida "paradoja de la regla y el agujero". ^{[ p 9 ] [ 10 ] : 98–99}

En la figura  4-6, el intervalo de tiempo entre los eventos A (la "causa") y B (el "efecto") es de tipo temporal; es decir, existe un sistema de referencia en el que los eventos A y B ocurren en la misma ubicación espacial , separados únicamente por ocurrir en momentos diferentes. Si A precede a B en ese sistema, entonces A precede a B en todos los sistemas accesibles mediante una transformación de Lorentz. Es posible que la materia (o información) viaje (a una velocidad inferior a la de la luz) desde la ubicación de A, comenzando en el momento de A, hasta la ubicación de B, llegando en el momento de B, por lo que puede existir una relación causal (siendo A la causa y B el efecto).

El intervalo AC en el diagrama es de tipo espacial; es decir, existe un marco de referencia en el que los eventos A y C ocurren simultáneamente, separados únicamente en el espacio. También existen marcos en los que A precede a C (como se muestra) y marcos en los que C precede a A. Sin embargo, no se puede acceder a ningún marco mediante una transformación de Lorentz, en la que los eventos A y C ocurran en la misma ubicación. Si fuera posible que existiera una relación de causa y efecto entre los eventos A y C, se producirían paradojas de causalidad.

Por ejemplo, si las señales pudieran enviarse más rápido que la luz, entonces podrían enviarse al pasado del emisor (observador B en los diagramas). ^{[ 48 ] [ p 10 ]} De esta manera, se podrían construir diversas paradojas causales.

Figura 4-7. Violación de la causalidad mediante el uso de "comunicadores instantáneos" ficticios.

Consideremos los diagramas espaciotemporales de la figura  4-7. A y B se encuentran junto a una vía férrea cuando pasa un tren de alta velocidad. C viaja en el último vagón y D en el primero. Las líneas de universo de A y B son verticales ( ct ), lo que indica la posición estacionaria de estos observadores en tierra, mientras que las líneas de universo de C y D están inclinadas hacia adelante ( ct ′ ), lo que refleja el rápido movimiento de los observadores C y D, que permanecen inmóviles en su tren, tal como se observa desde tierra.

1. Fig.  4-7a. El evento de "B pasando un mensaje a D", mientras el vagón delantero pasa, está en el origen del marco de D. D envía el mensaje a lo largo del tren a C en el vagón trasero, utilizando un "comunicador instantáneo" ficticio. La línea de universo de este mensaje es la flecha roja gruesa a lo largo de la${\displaystyle -x'}$eje, que es una línea de simultaneidad en los marcos primados de C y D. En el marco de tierra (no primado), la señal llega antes de lo que fue enviada.
2. Fig.  4-7b. El evento de "C pasando el mensaje a A", que está de pie junto a las vías del tren, es el origen de sus marcos. Ahora A envía el mensaje a lo largo de las vías a B a través de un "comunicador instantáneo". La línea de universo de este mensaje es la flecha azul gruesa, a lo largo de la${\displaystyle +x}$eje, que es una línea de simultaneidad para los marcos de A y B. Como se observa en el diagrama espacio-temporal, en los marcos primados de C y D, B recibirá el mensaje antes de que se haya enviado, lo que constituye una violación de la causalidad. ^{[ 49 ]}

No es necesario que las señales sean instantáneas para violar la causalidad. Incluso si la señal de D a C fuera ligeramente menos profunda que la${\displaystyle x'}$eje (y la señal de A a B ligeramente más pronunciada que la${\displaystyle x}$eje), aún sería posible que B recibiera su mensaje antes de haberlo enviado. Al aumentar la velocidad del tren a velocidades cercanas a la de la luz, el${\displaystyle ct'}$y${\displaystyle x'}$Los ejes pueden comprimirse mucho hasta la línea discontinua que representa la velocidad de la luz. Con esta configuración modificada, se puede demostrar que incluso señales ligeramente más rápidas que la velocidad de la luz darán lugar a una violación de la causalidad. ^{[ 50 ]}

Por lo tanto, si se quiere preservar la causalidad , una de las consecuencias de la relatividad especial es que ninguna señal de información ni objeto material puede viajar más rápido que la luz en el vacío.

Solo la materia y la energía están limitadas por la velocidad de la luz. Se pueden describir diversas situaciones triviales en las que algunos puntos imaginarios se mueven más rápido que la luz. ^{[ 51 ]} Por ejemplo, el punto donde el haz de un reflector incide en la parte inferior de una nube puede moverse más rápido que la luz cuando el reflector gira rápidamente. El haz de luz no es sólido y no sigue instantáneamente el movimiento del reflector, por lo que no viola la causalidad ni ningún otro fenómeno relativista. ^{[ 52 ] [ 53 ]}

En 1850, Hippolyte Fizeau y Léon Foucault establecieron independientemente que la luz viaja más lentamente en el agua que en el aire, validando así una predicción de la teoría ondulatoria de la luz de Fresnel e invalidando la predicción correspondiente de la teoría corpuscular de Newton . ^{[ 54 ]} La velocidad de la luz se midió en agua estancada. ¿Cuál sería la velocidad de la luz en agua en movimiento?

En 1851, Fizeau realizó un experimento para responder a esta pregunta, cuya representación simplificada se ilustra en la figura  5-1. Un haz de luz se divide mediante un divisor de haz, y los haces resultantes se propagan en direcciones opuestas a través de un tubo con agua en movimiento. Al recombinarse, forman franjas de interferencia que indican una diferencia en la longitud del camino óptico, visible para el observador. El experimento demostró que el arrastre de la luz por el agua en movimiento provocaba un desplazamiento de las franjas, lo que evidenciaba que el movimiento del agua había afectado la velocidad de la luz.

Según las teorías vigentes en ese momento, la luz que viaja a través de un medio en movimiento sería una simple suma de su velocidad a través del medio más la velocidad del medio. Contrariamente a lo esperado, Fizeau descubrió que, si bien la luz parecía ser arrastrada por el agua, la magnitud del arrastre era mucho menor de lo previsto.${\displaystyle u'=c/n}$es la velocidad de la luz en agua en reposo, y${\displaystyle v}$es la velocidad del agua, y${\displaystyle u_{\pm }}$es la velocidad de la luz transmitida por el agua en el sistema de referencia del laboratorio, con el flujo de agua sumándose o restándose a la velocidad de la luz, entonces $${\displaystyle u_{\pm }={\frac {c}{n}}\pm v\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)\ .}$$

Los resultados de Fizeau, aunque consistentes con la hipótesis anterior de Fresnel sobre el arrastre parcial del éter , fueron extremadamente desconcertantes para los físicos de la época. Entre otras cosas, la presencia de un término de índice de refracción significaba que, dado que${\displaystyle n}$Dependiendo de la longitud de onda, el éter debe ser capaz de soportar diferentes movimientos al mismo tiempo . ^{[ nota 1 ]} Se propusieron diversas explicaciones teóricas para explicar el coeficiente de arrastre de Fresnel , las cuales eran completamente contradictorias entre sí. Incluso antes del experimento de Michelson-Morley, los resultados experimentales de Fizeau se encontraban entre una serie de observaciones que crearon una situación crítica para explicar la óptica de los cuerpos en movimiento. ^{[ 55 ]}

Desde el punto de vista de la relatividad especial, el resultado de Fizeau no es más que una aproximación a la ecuación  10 , la fórmula relativista para la composición de velocidades. ^{[ 34 ]}

${\displaystyle u_{\pm }={\frac {u'\pm v}{1\pm u'v/c^{2}}}=}$${\displaystyle {\frac {c/n\pm v}{1\pm v/cn}}\approx }$${\displaystyle c\left({\frac {1}{n}}\pm {\frac {v}{c}}\right)\left(1\mp {\frac {v}{cn}}\right)\approx }$${\displaystyle {\frac {c}{n}}\pm v\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}$

Debido a la velocidad finita de la luz, si los movimientos relativos de una fuente y un receptor incluyen una componente transversal, la dirección desde la que la luz llega al receptor estará desplazada de la posición geométrica en el espacio de la fuente con respecto al receptor. El cálculo clásico del desplazamiento adopta dos formas y realiza predicciones diferentes según si el receptor, la fuente o ambos se mueven con respecto al medio. (1) Si el receptor está en movimiento, el desplazamiento sería consecuencia de la aberración de la luz . El ángulo de incidencia del haz con respecto al receptor se calcularía a partir de la suma vectorial de los movimientos del receptor y la velocidad de la luz incidente. ^{[ 56 ]} (2) Si la fuente está en movimiento, el desplazamiento sería consecuencia de la corrección del tiempo de la luz . El desplazamiento de la posición aparente de la fuente con respecto a su posición geométrica sería el resultado del movimiento de la fuente durante el tiempo que tarda su luz en llegar al receptor. ^{[ 57 ]}

La explicación clásica no superó la prueba experimental. Dado que el ángulo de aberración depende de la relación entre la velocidad del receptor y la velocidad de la luz incidente, el paso de la luz incidente a través de un medio refractivo debería cambiar el ángulo de aberración. En 1810, Arago utilizó este fenómeno esperado en un intento fallido de medir la velocidad de la luz, ^{[ 58 ]} y en 1870, George Airy probó la hipótesis utilizando un telescopio lleno de agua, encontrando que, contrariamente a lo esperado, la aberración medida era idéntica a la medida con un telescopio lleno de aire. ^{[ 59 ]} Un intento "complicado" de explicar estos resultados utilizó la hipótesis del arrastre parcial del éter, ^{[ 60 ]} pero era incompatible con los resultados del experimento de Michelson-Morley, que aparentemente exigía un arrastre completo del éter. ^{[ 61 ]}

Suponiendo sistemas de referencia inerciales, la expresión relativista para la aberración de la luz es aplicable tanto al caso de receptor en movimiento como al de fuente en movimiento. Se han publicado diversas fórmulas trigonométricamente equivalentes. Expresadas en términos de las variables de la Fig.  5-2, estas incluyen ^{[ 34 ] : 57–60}

${\displaystyle \cos \theta '={\frac {\cos \theta +v/c}{1+(v/c)\cos \theta }}}$  O  ${\displaystyle \sin \theta '={\frac {\sin \theta }{\gamma [1+(v/c)\cos \theta ]}}}$  O  ${\displaystyle \tan {\frac {\theta '}{2}}=\left({\frac {c-v}{c+v}}\right)^{1/2}\tan {\frac {\theta }{2}}}$

La dilatación del tiempo y la contracción de la longitud no son ilusiones ópticas, sino efectos reales. Las mediciones de estos efectos no son un artefacto del efecto Doppler , ni tampoco son el resultado de no tener en cuenta el tiempo que tarda la luz en viajar desde un evento hasta un observador.

Los científicos distinguen fundamentalmente entre la medición u observación , por un lado, y la apariencia visual , es decir, lo que se ve . La forma medida de un objeto es una instantánea hipotética de todos sus puntos tal como existen en un momento dado. En cambio, la apariencia visual de un objeto se ve afectada por las diferentes duraciones del tiempo que tarda la luz en viajar desde distintos puntos del objeto hasta el ojo.

Durante muchos años, la distinción entre ambos no se había apreciado generalmente, y se había pensado que un objeto con longitud contraída que pasaba frente a un observador se observaría como con longitud contraída. En 1959, James Terrell y Roger Penrose señalaron independientemente que los efectos de retardo temporal diferencial en las señales que llegan al observador desde las diferentes partes de un objeto en movimiento dan como resultado que la apariencia visual de un objeto que se mueve rápidamente sea bastante diferente de su forma medida. Por ejemplo, un objeto que se aleja parecería contraído , un objeto que se acerca parecería alargado y un objeto que pasa tendría una apariencia sesgada que se ha comparado con una rotación. ^{[ p 13 ] [ p 14 ] [ 65 ] [ 66 ]} Una esfera en movimiento conserva el contorno circular para todas las velocidades, para cualquier distancia y para todos los ángulos de visión, aunque la superficie de la esfera y las imágenes en ella aparecerán distorsionadas. ^{[ 67 ] [ 68 ]}

Tanto la Fig.  5-4 como la Fig.  5-5 ilustran objetos que se mueven transversalmente a la línea de visión. En la Fig.  5-4, se observa un cubo desde una distancia equivalente a cuatro veces la longitud de sus lados. A altas velocidades, los lados del cubo que son perpendiculares a la dirección del movimiento parecen tener forma hiperbólica. El cubo no gira. Más bien, la luz que proviene de la parte posterior del cubo tarda más en llegar a los ojos que la luz que proviene del frente, tiempo durante el cual el cubo se ha movido hacia la derecha. A altas velocidades, la esfera en la Fig.  5-5 adquiere la apariencia de un disco aplanado inclinado hasta 45° con respecto a la línea de visión. Si los movimientos de los objetos no son estrictamente transversales, sino que incluyen un componente longitudinal, pueden observarse distorsiones exageradas en la perspectiva. ^{[ 69 ]} Esta ilusión se conoce como rotación de Terrell o efecto Terrell-Penrose .

Otro ejemplo donde la apariencia visual está en desacuerdo con la medición proviene de la observación de movimiento superlumínico aparente en varias radiogalaxias , objetos BL Lac , cuásares y otros objetos astronómicos que eyectan chorros de materia a velocidad relativista en ángulos estrechos con respecto al observador. Se produce una aparente ilusión óptica que da la apariencia de un viaje más rápido que la luz. ^{[ 70 ] [ 71 ] [ 72 ]} En la Fig.  5-6, la galaxia M87 expulsa un chorro de partículas subatómicas de alta velocidad casi directamente hacia nosotros, pero la rotación de Penrose-Terrell hace que el chorro parezca moverse lateralmente de la misma manera que la apariencia del cubo en la Fig.  5-4 se ha estirado. ^{[ 73 ]}

La equivalencia masa-energía es una consecuencia de la relatividad especial. La energía y el momento, que están separados en la mecánica newtoniana, forman un cuadrivector en la relatividad, y este relaciona la componente temporal (la energía) con las componentes espaciales (el momento) de una manera no trivial. Para un objeto en reposo, el cuadrivector energía-momento es ( E / c , 0, 0, 0) : tiene una componente temporal, que es la energía, y tres componentes espaciales, que son cero. Al cambiar de sistema de referencia con una transformación de Lorentz en la dirección x con un valor pequeño de la velocidad v, el cuadrivector energía-momento se convierte en ( E / c , Ev / c ² , 0, 0) . El momento es igual a la energía multiplicada por la velocidad dividida por c ² . Por lo tanto, la masa newtoniana de un objeto, que es la relación entre el momento y la velocidad para velocidades bajas, es igual a E / c ² .

La energía y el momento son propiedades de la materia y la radiación, y es imposible deducir que forman un cuadrivector a partir únicamente de los dos postulados básicos de la relatividad especial, ya que estos no se refieren a la materia ni a la radiación, sino solo al espacio y al tiempo. Por lo tanto, la derivación requiere un razonamiento físico adicional. En su artículo de 1905, Einstein utilizó los principios adicionales que la mecánica newtoniana debería cumplir para velocidades bajas, de modo que existe un escalar de energía y un momento tridimensional a bajas velocidades, y que la ley de conservación de la energía y el momento es exactamente cierta en la relatividad. Además, supuso que la energía de la luz se transforma por el mismo factor de desplazamiento Doppler que su frecuencia, lo cual ya había demostrado basándose en las ecuaciones de Maxwell. ^{[ p 1 ]} El primero de los artículos de Einstein sobre este tema fue "¿Depende la inercia de un cuerpo de su contenido energético?". en 1905. ^{[ p 15 ]} Aunque el argumento de Einstein en este artículo es casi universalmente aceptado por los físicos como correcto, incluso evidente por sí mismo, muchos autores a lo largo de los años han sugerido que es erróneo. ^{[ 74 ]} Otros autores sugieren que el argumento fue simplemente inconcluso porque se basaba en algunas suposiciones implícitas. ^{[ 75 ]}

Einstein reconoció la controversia en torno a su derivación en su artículo de revisión de 1907 sobre la relatividad especial. Allí señala que es problemático basarse en las ecuaciones de Maxwell para el argumento heurístico de masa-energía. El argumento de su artículo de 1905 puede llevarse a cabo con la emisión de cualquier partícula sin masa, pero las ecuaciones de Maxwell se utilizan implícitamente para dejar claro que la emisión de luz, en particular, solo puede lograrse realizando trabajo. Para emitir ondas electromagnéticas, basta con agitar una partícula cargada, y esto es claramente realizar trabajo, por lo que la emisión es de energía. ^{[ p. 16 ]}

En el cuarto de sus artículos del Annus mirabilis de 1905 , ^{[ pág. 15 ]} Einstein presentó un argumento heurístico a favor de la equivalencia entre masa y energía. Si bien, como se mencionó anteriormente, estudios posteriores han demostrado que sus argumentos no constituían una prueba definitiva, las conclusiones a las que llegó en este artículo han perdurado a lo largo del tiempo.

Einstein partió de la premisa de que había descubierto recientemente la fórmula del desplazamiento Doppler relativista , las leyes de conservación de la energía y del momento , y la relación entre la frecuencia de la luz y su energía, tal como se deduce de las ecuaciones de Maxwell .

Figura 6-1. Derivación de Einstein de 1905 ^de E = mc²

Figura 6-1 (arriba). Consideremos un sistema de ondas planas de luz con frecuencia${\displaystyle f}$viajando en dirección${\displaystyle \phi }$en relación con el eje x del sistema de referencia S. La frecuencia (y por lo tanto la energía) de las ondas medidas en el sistema S ′ que se mueve a lo largo del eje x a velocidad${\displaystyle v}$viene dada por la fórmula del desplazamiento Doppler relativista que Einstein había desarrollado en su artículo de 1905 sobre la relatividad especial: ^{[ p 1 ]}

${\displaystyle {\frac {f'}{f}}={\frac {1-(v/c)\cos {\phi }}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

Figura 6-1 (abajo). Consideremos un cuerpo arbitrario que está estacionario en el sistema de referencia S. Supongamos que este cuerpo emite un par de pulsos de luz de igual energía en direcciones opuestas con un ángulo${\displaystyle \phi }$con respecto al eje x. Cada pulso tiene energía ⁠${\displaystyle L/2}$Debido a la conservación del momento, el cuerpo permanece estacionario en S después de la emisión de los dos pulsos.${\displaystyle E_{0}}$sea ​​la energía del cuerpo antes de la emisión de los dos pulsos y${\displaystyle E_{1}}$después de su emisión.

A continuación, consideremos el mismo sistema observado desde el sistema de referencia S ′ que se mueve a lo largo del eje x a velocidad${\displaystyle v}$relativo al sistema de referencia S. En este sistema de referencia, la luz de los pulsos directos e inversos sufrirá un desplazamiento Doppler relativista. Sea${\displaystyle H_{0}}$sea ​​la energía del cuerpo medida en el sistema de referencia S ′ antes de la emisión de los dos pulsos y${\displaystyle H_{1}}$después de su emisión. Obtenemos las siguientes relaciones: ^{[ p 15 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{0}&=E_{1}+{\tfrac {1}{2}}L+{\tfrac {1}{2}}L=E_{1}+L\\[5mu]H_{0}&=H_{1}+{\tfrac {1}{2}}L{\frac {1-(v/c)\cos {\phi }}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+{\tfrac {1}{2}}L{\frac {1+(v/c)\cos {\phi }}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}=H_{1}+{\frac {L}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\end{aligned}}}$

De las ecuaciones anteriores, obtenemos lo siguiente:

Las dos diferencias de forma${\displaystyle H-E}$Como se observa en la ecuación anterior, tiene una interpretación física directa. Dado que${\displaystyle H}$y${\displaystyle E}$son las energías del cuerpo arbitrario en los sistemas de referencia en movimiento y estacionario,${\displaystyle H_{0}-E_{0}}$y${\displaystyle H_{1}-E_{1}}$representa las energías cinéticas de los cuerpos antes y después de la emisión de luz (excepto por una constante aditiva que fija el punto cero de energía y que convencionalmente se establece en cero). Por lo tanto,

Tomando una expansión en serie de Taylor y despreciando los términos de orden superior, obtuvo

Comparando la expresión anterior con la expresión clásica para la energía cinética, KE = 1 / 2 mv² ,  Einstein señaló entonces : " ^{Si un} cuerpo emite energía L en forma de radiación, su masa disminuye en L / c² " . 

Rindler observó que el argumento heurístico de Einstein sugería simplemente que la energía contribuye a la masa. En 1905, la expresión cautelosa de Einstein sobre la relación masa-energía contemplaba la posibilidad de que existiera una masa "latente" que permaneciera después de que se eliminara toda la energía de un cuerpo. Sin embargo, en 1907, Einstein estaba listo para afirmar que toda la masa inercial representaba una reserva de energía. "Equiparar toda la masa con la energía requería un acto de fe estética, muy característico de Einstein". ^{[ 13 ] : 81–84} La audaz hipótesis de Einstein ha sido ampliamente confirmada en los años posteriores a su propuesta original.

Por diversas razones, la derivación original de Einstein rara vez se enseña actualmente. Además del intenso debate que continúa hasta el día de hoy sobre la corrección formal de su derivación original, el reconocimiento de la relatividad especial como lo que Einstein denominó una "teoría de principios" ha llevado a un cambio, pasando de depender de los fenómenos electromagnéticos a métodos de demostración puramente dinámicos. ^{[ 76 ]}

Dado que nada puede viajar más rápido que la luz, se podría concluir que un ser humano nunca podría viajar más lejos de la Tierra que unos  100 años luz. Se podría pensar fácilmente que un viajero nunca podría llegar más allá de los pocos sistemas solares que existen dentro del límite de 100 años luz de la Tierra. Sin embargo, debido a la dilatación del tiempo, una hipotética nave espacial puede viajar miles de años luz durante la vida de un pasajero. Si se pudiera construir una nave espacial que acelerara a una constante de 1 g , después de un año viajaría casi a la velocidad de la luz vista desde la Tierra. Esto se describe mediante: $${\displaystyle v(t)={\frac {at}{\sqrt {1+a^{2}t^{2}/c^{2}}}},}$$ donde v ( t ) es la velocidad en un tiempo t , a es la aceleración de la nave espacial y t es el tiempo coordenado medido por las personas en la Tierra. ^{[ p 17 ]} Por lo tanto, después de un año de aceleración a 9,81  m/s² ^, la nave espacial viajará a v = 0,712 c y 0,946 c después de tres años, en relación con la Tierra. Después de tres años de esta aceleración, con la nave espacial alcanzando una velocidad del 94,6% de la velocidad de la luz en relación con la Tierra, la dilatación del tiempo resultará en que cada segundo experimentado en la nave espacial corresponda a 3,1 segundos en la Tierra. Durante su viaje, las personas en la Tierra experimentarán más tiempo que ellos, ya que sus relojes (todos los fenómenos físicos) realmente estarían marcando el tiempo 3,1 veces más rápido que los de la nave espacial. Un viaje de ida y vuelta de 5 años para el viajero tomará 6,5 años terrestres y cubrirá una distancia de más de 6 años luz. Un viaje de ida y vuelta de 20 años para ellos (5 años acelerando, 5 desacelerando, dos veces cada uno) los traerá de regreso a la Tierra después de haber viajado durante 335 años terrestres y una distancia de 331 años luz. ^{[ 77 ]} Un viaje completo de 40 años a 1 g parecerá en la Tierra durar 58.000 años y cubrir una distancia de 55.000 años luz. Un viaje de 40 años a 1,1 g tomará148 000 años y cubren aproximadamente140 000 años luz. Un viaje de ida de 28 años (14 años acelerando, 14 desacelerando según lo medido con el reloj del astronauta) a una aceleración de 1 g podría alcanzar los 2 000 000 de años luz hasta la galaxia de Andrómeda. ^{[ 77 ]} Esta misma dilatación del tiempo explica por qué se observa que un muón que viaja cerca de c recorre una distancia mucho mayor que c veces su vida media (en reposo). ^{[ 78 ]}

El examen de los productos de colisión generados por aceleradores de partículas en todo el mundo proporciona a los científicos evidencia de la estructura del mundo subatómico y las leyes naturales que lo rigen. El análisis de los productos de colisión, cuyas masas sumadas pueden superar ampliamente las masas de las partículas incidentes, requiere la relatividad especial. ^{[ 79 ]}

En mecánica newtoniana, el análisis de colisiones implica el uso de las leyes de conservación de masa , momento y energía . En mecánica relativista, la masa no se conserva de forma independiente, ya que está incluida en la energía relativista total. Ilustramos las diferencias que surgen entre los tratamientos newtoniano y relativista de las colisiones de partículas examinando el caso simple de dos partículas perfectamente elásticas de igual masa que colisionan. ( Las colisiones inelásticas se discuten en Espaciotiempo#Leyes de conservación . La desintegración radiactiva puede considerarse una especie de colisión inelástica con inversión temporal. ^{[ 79 ]} )

La dispersión elástica de partículas elementales cargadas se desvía de la idealidad debido a la producción de radiación de frenado . ^{[ 80 ] [ 81 ]}

análisis newtoniano

La figura 6-2 proporciona una demostración del resultado, familiar para los jugadores de billar, de que si una bola estacionaria es golpeada elásticamente por otra de la misma masa (suponiendo que no hay efecto lateral o "efecto inglés"), entonces después de la colisión, las trayectorias divergentes de las dos bolas subtenderán un ángulo recto. (a) En el sistema de referencia estacionario, una esfera incidente que viaja a 2v golpea una esfera estacionaria. (b) En el sistema de referencia del centro de momento, las dos esferas se aproximan una a la otra simétricamente a ± v . Después de la colisión elástica, las dos esferas rebotan una de la otra con velocidades iguales y opuestas ± u . La conservación de la energía requiere que | u | = | v | . ( ^c ) Volviendo al sistema de referencia estacionario, las velocidades de rebote son ^v ± u . El producto escalar ( v + u ) ⋅ ( v − u ) = v² − u² = 0 , lo que indica que los vectores son ortogonales. ^{[ 13 ] : 26–27}

Análisis relativista

Consideremos el escenario de colisión elástica de la figura  6-3 entre una partícula en movimiento que colisiona con una partícula estacionaria de igual masa. A diferencia del caso newtoniano, el ángulo entre las dos partículas después de la colisión es menor de 90°, depende del ángulo de dispersión y se vuelve cada vez más pequeño a medida que la velocidad de la partícula incidente se aproxima a la velocidad de la luz:

El momento relativista y la energía relativista total de una partícula vienen dados por

La conservación del momento lineal dicta que la suma de los momentos lineales de la partícula incidente y la partícula estacionaria (que inicialmente tiene un momento lineal de 0) es igual a la suma de los momentos lineales de las partículas emergentes:

Asimismo, la suma de las energías relativistas totales de la partícula incidente y la partícula estacionaria (que inicialmente tiene una energía total mc² ⁾ es igual a la suma de las energías totales de las partículas emergentes:

Descomponiendo ( 6-5 ) en sus componentes, reemplazando${\displaystyle v}$con lo adimensional${\displaystyle \beta }$⁠ , y factorizando los términos comunes de ( 6-5 ) y ( 6-6 ) se obtiene lo siguiente: ^{[ p 18 ]}

De estos obtenemos las siguientes relaciones: ^{[ p 18 ]}

Para el caso simétrico en el que${\displaystyle \phi =\theta }$y​${\displaystyle \beta _{2}=\beta _{3}}$⁠ , ( 6-12 ) adopta la forma más simple: ^{[ p 18 ]}

Los cuadrivectores , y más generalmente los tensores , simplifican las matemáticas y la comprensión conceptual de la relatividad especial. Trabajar exclusivamente con estos objetos conduce a fórmulas manifiestamente invariantes relativistas, lo cual representa una ventaja considerable en contextos no triviales. Por ejemplo, demostrar la invariancia relativista de las ecuaciones de Maxwell en su forma habitual no es trivial, mientras que, utilizando la formulación del tensor de intensidad de campo , se trata simplemente de un cálculo rutinario, en realidad nada más que una observación . ^{[ 89 ]}

Ejemplos de 4-vectores

• 4-vector de desplazamiento: También conocido como separación espaciotemporal , este es ( Δ t, Δ x, Δ y, Δ z ), o para separaciones infinitesimales, ( dt , dx , dy , dz ) .

  ${\displaystyle dS\equiv (dt,dx,dy,dz)}$

• 4-vector de velocidad: Esto resulta cuando el 4-vector de desplazamiento se divide por${\displaystyle d\tau }$, dónde${\displaystyle d\tau }$es el tiempo adecuado entre los dos eventos que producen dt , dx , dy y dz .

  ${\displaystyle V\equiv {\frac {dS}{d\tau }}={\frac {(dt,dx,dy,dz)}{dt/\gamma }}=}$${\displaystyle \gamma \left(1,{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}\right)=}$${\displaystyle (\gamma ,\gamma {\vec {v}})}$

Figura 7-3a. Los sistemas de referencia momentáneamente comóviles de una partícula acelerada, observados desde un sistema de referencia estacionario.

Figura 7-3b. Los sistemas de referencia que se mueven momentáneamente a lo largo de la trayectoria de un observador acelerado (centro).

La cuadrivelocidad es tangente a la línea de universo de una partícula y tiene una longitud igual a una unidad de tiempo en el sistema de referencia de la partícula.

Una partícula acelerada no posee un sistema de referencia inercial en el que permanezca siempre en reposo. Sin embargo, siempre se puede encontrar un sistema de referencia inercial que se mueva momentáneamente con la partícula. Este sistema, denominado sistema de referencia comóvil momentáneo (SRMCM), permite aplicar la relatividad especial al análisis de partículas aceleradas.

Dado que los fotones se mueven en líneas nulas,${\displaystyle d\tau =0}$Para un fotón, no se puede definir una cuadrivelocidad . No existe un sistema de referencia en el que un fotón esté en reposo, y no se puede establecer un MCRF a lo largo de la trayectoria de un fotón.

• 4-vector energía-momento:

  ${\displaystyle P\equiv (E/c,{\vec {p}})=(E/c,p_{x},p_{y},p_{z})}$

Como se indicó anteriormente, existen diferentes tratamientos para el cuadrivector energía-momento , de modo que también se puede ver expresado como${\displaystyle (E,{\vec {p}})}$o​${\displaystyle (E,{\vec {p}}c)}$El primer componente es la energía total (incluida la masa) de la partícula (o sistema de partículas) en un sistema de referencia dado, mientras que los componentes restantes son su momento espacial. El cuadrivector energía-momento es una magnitud conservada.

• 4-vector de aceleración: Esto resulta de tomar la derivada del 4-vector de velocidad con respecto a ⁠${\displaystyle \tau }$.​

  ${\displaystyle A\equiv {\frac {dV}{d\tau }}=}$${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}(\gamma ,\gamma {\vec {v}})=}$${\displaystyle \gamma \left({\frac {d\gamma }{dt}},{\frac {d(\gamma {\vec {v}})}{dt}}\right)}$

• 4-vector de fuerza: Esta es la derivada del 4-vector de momento con respecto a${\displaystyle \tau .}$

  ${\displaystyle F\equiv {\frac {dP}{d\tau }}=}$${\displaystyle \gamma \left({\frac {dE}{dt}},{\frac {d{\vec {p}}}{dt}}\right)=}$${\displaystyle \gamma \left({\frac {dE}{dt}},{\vec {f}}\right)}$

Como era de esperar, los componentes finales de los 4-vectores anteriores son todos 3-vectores estándar que corresponden al 3-momento espacial , 3-fuerza , etc. ^{[ 90 ] : 36–59}

La paradoja de la nave espacial de Dewan-Beran-Bell ( la paradoja de la nave espacial de Bell ) se utiliza a menudo con fines pedagógicos porque la aparente paradoja puede resolverse utilizando diagramas elementales del espacio-tiempo y la interpretación geométrica de la relatividad especial. ^{[ 94 ]}

En la figura  7-4, dos naves espaciales idénticas flotan en el espacio y se encuentran en reposo relativo entre sí. Están conectadas por una cuerda que solo puede estirarse hasta cierto punto antes de romperse. En un instante dado en nuestro sistema de referencia, el del observador, ambas naves espaciales aceleran en la misma dirección a lo largo de la línea que las une con la misma aceleración propia constante. En la teoría de la relatividad, la aceleración propia es la aceleración física (es decir, la aceleración medible, como la que proporciona un acelerómetro) que experimenta un objeto. Por lo tanto, es la aceleración relativa a un observador en caída libre, o inercial, que se encuentra momentáneamente en reposo con respecto al objeto que se está midiendo. ¿Se romperá la cuerda?

Cuando la paradoja era nueva y relativamente desconocida, incluso los físicos profesionales tuvieron dificultades para encontrar la solución. Dos líneas de razonamiento conducen a conclusiones opuestas. Ambos argumentos, que se presentan a continuación, son erróneos, aunque uno de ellos proporciona la respuesta correcta.

1. Para los observadores en el sistema de referencia en reposo, las naves espaciales parten separadas por una distancia L y mantienen esa misma distancia durante la aceleración. Durante la aceleración, L es una longitud contraída de la distancia L ' = γL en el sistema de referencia de las naves que aceleran. Tras un tiempo suficientemente prolongado, γ aumentará hasta alcanzar un factor suficientemente grande como para que la cuerda se rompa.
2. Sean A y B las naves espaciales delantera y trasera, respectivamente. En el sistema de referencia de las naves, cada una observa que la otra realiza la misma acción. A afirma que B tiene la misma aceleración que él, y B observa que A iguala cada uno de sus movimientos. Por lo tanto, las naves se mantienen a la misma distancia y la cuerda no se rompe.

El problema con el primer argumento es que no existe un "marco de referencia de las naves espaciales". No puede existir, ya que las dos naves miden una distancia creciente entre sí. Al no haber un marco de referencia común para las naves, la longitud de la cuerda está mal definida. Sin embargo, la conclusión es correcta y el argumento es mayormente acertado. El segundo argumento, en cambio, ignora por completo la relatividad de la simultaneidad.

Un diagrama espacio-temporal (Fig.  7-5) hace que la solución correcta a esta paradoja sea casi inmediatamente evidente. Dos observadores en el espacio-tiempo de Minkowski se aceleran con magnitud constante.${\displaystyle k}$aceleración para el tiempo adecuado${\displaystyle \sigma }$(aceleración y tiempo transcurrido medidos por los propios observadores, no por algún observador inercial). Son comóviles e inerciales antes y después de esta fase. En la geometría de Minkowski, la longitud a lo largo de la línea de simultaneidad${\displaystyle A'B''}$resulta ser mayor que la longitud a lo largo de la línea de simultaneidad .${\displaystyle AB}$.​

El aumento de longitud se puede calcular con la ayuda de la transformación de Lorentz. Si, como se ilustra en la Fig.  7-5, la aceleración ha terminado, los barcos permanecerán en un desplazamiento constante en algún sistema de referencia .${\displaystyle S'}$⁠ . Si${\displaystyle x_{A}}$y${\displaystyle x_{B}=x_{A}+L}$son las posiciones de los barcos en${\displaystyle S}$⁠ , las posiciones en el marco${\displaystyle S'}$son: ^{[ 95 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}x'_{A}&=\gamma \left(x_{A}-vt\right)\\x'_{B}&=\gamma \left(x_{A}+L-vt\right)\\L'&=x'_{B}-x'_{A}=\gamma L\end{aligned}}}$