paradoja de la escalera

La paradoja de la escalera (o paradoja del poste del granero ) es un experimento mental de la relatividad especial . Consiste en una escalera, paralela al suelo, que se desplaza horizontalmente a velocidad relativista (cercana a la velocidad de la luz) y, por lo tanto, experimenta una contracción de Lorentz . Se imagina que la escalera pasa por las puertas delantera y trasera abiertas de un garaje o granero, cuya longitud es menor que su longitud en reposo ; así, si la escalera no se moviera, no cabría dentro. Para un observador estacionario, debido a la contracción, la escalera en movimiento cabe completamente dentro del edificio al pasar. Por otro lado, desde el punto de vista de un observador que se mueve con la escalera, esta no se contraerá, sino que será el edificio el que se contraiga a una longitud aún menor. Por lo tanto, la escalera no cabrá dentro del edificio al pasar. Esto plantea una aparente discrepancia entre las realidades de ambos observadores.

Esta aparente paradoja surge de la suposición errónea de simultaneidad absoluta. Se dice que la escalera cabe en el garaje si ambos extremos pueden estar simultáneamente dentro del mismo. La paradoja se resuelve al considerar que, en relatividad, la simultaneidad es relativa a cada observador, por lo que la respuesta a si la escalera cabe en el garaje también es relativa a cada uno de ellos.

La versión más sencilla del problema consiste en un garaje con una puerta delantera y otra trasera abiertas, y una escalera que, en reposo con respecto al garaje, es demasiado larga para caber dentro. Ahora movemos la escalera a gran velocidad horizontal a través del garaje inmóvil. Debido a su alta velocidad, la escalera experimenta el efecto relativista de contracción de la longitud y se acorta considerablemente. Como resultado, al pasar por el garaje, la escalera queda, durante un tiempo, completamente contenida en su interior. Si quisiéramos, podríamos cerrar ambas puertas simultáneamente durante un breve instante para demostrar que la escalera cabe.

Hasta ahora, todo parece coherente. La aparente paradoja surge al considerar la simetría de la situación. Si un observador que se mueve con la escalera viaja a velocidad constante en el sistema de referencia inercial del garaje, también ocupa un sistema inercial donde, por el principio de relatividad , se aplican las mismas leyes de la física. Desde esta perspectiva, la escalera permanece inmóvil y el garaje se mueve a gran velocidad. Por lo tanto, el garaje se contrae, y concluimos que es demasiado pequeño para haber contenido completamente la escalera al pasar: la escalera no cabe y no podemos cerrar ambas puertas a ambos lados sin golpearla. Esta aparente contradicción es la paradoja.

La solución a la aparente paradoja reside en la relatividad de la simultaneidad : lo que un observador (por ejemplo, con el garaje) considera dos eventos simultáneos puede no serlo para otro observador (por ejemplo, con la escalera). Cuando decimos que la escalera "cabe" dentro del garaje, nos referimos precisamente a que, en un momento dado, tanto la parte trasera como la delantera de la escalera estaban dentro del garaje; es decir, la parte delantera y la trasera de la escalera estaban dentro del garaje simultáneamente. Dado que la simultaneidad es relativa, dos observadores discrepan sobre si la escalera cabe o no. Para el observador con el garaje, la parte trasera de la escalera estaba dentro del garaje al mismo tiempo que la delantera, por lo que la escalera cabía; pero para el observador con la escalera, estos dos eventos no fueron simultáneos y la escalera no cabía.

Una forma clara de entender esto es considerar las puertas, que, en el contexto del garaje, se cierran durante el breve instante en que la escalera está completamente dentro. Analicemos ahora estos eventos desde la perspectiva de la escalera. El primer evento es la aproximación de la parte delantera de la escalera a la puerta de salida del garaje. La puerta se cierra y luego se abre para permitir el paso de la parte delantera de la escalera. Posteriormente, la parte trasera de la escalera pasa por la puerta de entrada, que se cierra y luego se abre. Vemos que, dado que la simultaneidad es relativa, no era necesario que las dos puertas se cerraran al mismo tiempo, ni que la escalera cupiera dentro del garaje.

La situación se puede ilustrar mejor con el diagrama de Minkowski que se muestra a continuación. El diagrama se encuentra en el sistema de referencia del garaje. La banda vertical azul claro representa el garaje en el espacio-tiempo, y la banda roja clara representa la escalera en el espacio-tiempo. Los ejes x y t corresponden al espacio y al tiempo del garaje, respectivamente, y x ′ y t ′ corresponden al espacio y al tiempo de la escalera, respectivamente.

En el marco del garaje, la escalera en cualquier momento específico se representa mediante un conjunto de puntos horizontales, paralelos al eje x , en la banda roja. Un ejemplo es el segmento de línea azul en negrita, que se encuentra dentro de la banda azul que representa el garaje y que representa la escalera cuando está completamente dentro del garaje. Sin embargo, en el marco de la escalera, los conjuntos de eventos simultáneos se encuentran en líneas paralelas al eje x ' ; por lo tanto, la escalera en cualquier momento específico se representa mediante una sección transversal de dicha línea con la banda roja. Un ejemplo de ello es el segmento de línea roja en negrita. Observamos que dichos segmentos de línea nunca se encuentran completamente dentro de la banda azul; es decir, la escalera nunca se encuentra completamente dentro del garaje.

En una versión más compleja de la paradoja, podemos atrapar físicamente la escalera una vez que esté completamente dentro del garaje. Esto podría hacerse, por ejemplo, no abriendo la puerta de salida después de cerrarla. En el marco del garaje, suponemos que la puerta de salida es inamovible, por lo que cuando la escalera la golpea, decimos que se detiene instantáneamente. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Para entonces, la puerta de entrada también se ha cerrado, por lo que la escalera está atascada dentro del garaje. Como su velocidad relativa es ahora cero, no se contrae en longitud y ahora es más larga que el garaje; tendrá que doblarse, romperse o explotar.

Una vez más, el enigma surge al considerar la situación desde la perspectiva de la escalera. En el análisis anterior, desde su propia perspectiva, la escalera siempre fue más larga que el garaje. Entonces, ¿cómo pudimos cerrar las puertas y dejarla atrapada dentro?

Cabe destacar aquí una característica general de la relatividad: hemos deducido, al considerar el sistema de referencia del garaje, que efectivamente la escalera queda atrapada dentro del garaje. Esto debe ser cierto en cualquier sistema de referencia; no puede ser que la escalera se rompa en un sistema pero no en otro. Por lo tanto, a partir del sistema de referencia de la escalera, sabemos que debe haber alguna explicación de cómo quedó atrapada; simplemente debemos encontrarla.

La explicación es que, aunque todas las partes de la escalera desaceleran simultáneamente hasta cero en el marco del garaje, debido a que la simultaneidad es relativa, las desaceleraciones correspondientes en el marco de la escalera no son simultáneas. En cambio, cada parte de la escalera desacelera secuencialmente, ^{[ 1 ] [ 3 ]} de adelante hacia atrás, hasta que finalmente la parte posterior de la escalera desacelera, momento en el que ya se encuentra dentro del garaje.

Como la contracción de la longitud y la dilatación del tiempo están controladas por las transformaciones de Lorentz , la paradoja de la escalera puede considerarse un correlato físico de la paradoja de los gemelos , en la que uno de los gemelos abandona la Tierra, viaja a gran velocidad durante un tiempo y regresa a ella un poco más joven que el gemelo que permanece en la Tierra. Al igual que en el caso de la escalera atrapada en el granero, si ninguno de los sistemas de referencia es privilegiado —cada uno se mueve solo en relación con el otro—, ¿cómo es posible que sea el gemelo viajero y no el estacionario el que sea más joven (así como es la escalera, y no el granero, la que es más corta)? En ambos casos, es la aceleración-desaceleración lo que diferencia los fenómenos: es el gemelo, no la Tierra (ni la escalera, ni el granero), el que experimenta la fuerza de desaceleración al regresar al sistema de referencia inercial temporal (o físico, en el caso de la escalera-granero).

¿Qué ocurre si la puerta trasera (por donde sale la escalera) está cerrada permanentemente y no se abre? Supongamos que la puerta es tan sólida que la escalera no la atraviesa al chocar contra ella, por lo que debe detenerse. Entonces, como en el escenario descrito anteriormente, desde la perspectiva del garaje, hay un instante en que la escalera está completamente dentro del garaje (es decir, la parte trasera de la escalera está dentro de la puerta principal), antes de chocar con la puerta trasera y detenerse. Sin embargo, desde la perspectiva de la escalera, esta es demasiado grande para caber en el garaje, por lo que, cuando choca con la puerta trasera y se detiene, la parte trasera de la escalera aún no ha alcanzado la puerta principal. Esto parece una paradoja. La pregunta es: ¿la parte trasera de la escalera cruza la puerta principal o no?

La dificultad surge principalmente de la suposición de que la escalera es rígida (es decir, que mantiene la misma forma). En la vida cotidiana, las escaleras parecen rígidas. Sin embargo, para ser completamente rígida, se requiere que pueda transmitir fuerza a velocidad infinita (es decir, que al empujar un extremo, el otro reaccione inmediatamente; de ​​lo contrario, la escalera se deformará). Esto contradice la relatividad especial, que establece que la información no puede viajar más rápido que la velocidad de la luz (que es demasiado rápida para que la percibamos en la vida real, pero es significativa en el caso de la escalera). Por lo tanto, los objetos no pueden ser perfectamente rígidos según la relatividad especial.

En este caso, cuando la parte delantera de la escalera choca con la puerta trasera, la parte trasera aún no lo sabe, por lo que continúa moviéndose hacia adelante (y la escalera se "comprime"). Tanto en el sistema de referencia del garaje como en el inercial de la escalera, el extremo posterior sigue moviéndose en el momento de la colisión, al menos hasta el punto en que entra en el cono de luz de la colisión (es decir, un punto donde la fuerza que se mueve hacia atrás a la velocidad de la luz desde el punto de la colisión lo alcanza). En este punto, la escalera es en realidad más corta que su longitud original contraída, por lo que el extremo posterior se encuentra dentro del garaje. Los cálculos en ambos sistemas de referencia demostrarán que esto es así.

No se especifica qué sucede después de que la fuerza alcanza la parte posterior de la escalera (la zona "verde" en el diagrama). Según las leyes de la física, la escalera podría romperse; o, si fuera suficientemente elástica, podría doblarse y volver a expandirse hasta su longitud original. A velocidades suficientemente altas, cualquier material real explotaría violentamente convirtiéndose en plasma.

Esta versión temprana de la paradoja fue propuesta y resuelta originalmente por Wolfgang Rindler ^{[ 1 ]} e involucraba a un hombre que caminaba rápidamente, representado por una varilla, cayendo en una rejilla. ^{[ 4 ]} Se supone que la varilla está completamente sobre la rejilla en el sistema de referencia de la rejilla antes de que comience la aceleración descendente aplicada de manera simultánea e igual a cada punto de la varilla.

Desde la perspectiva de la rejilla, la varilla se contrae y encaja en ella. Sin embargo, desde la perspectiva de la varilla, es la rejilla la que se contrae, por lo que parece que la varilla es demasiado larga para caer.

La aceleración descendente de la barra, que es simultánea en el sistema de referencia de la rejilla, no lo es en el sistema de referencia de la barra. En este último, la parte frontal de la barra se acelera primero hacia abajo (como se muestra en la celda 3 del dibujo), y con el paso del tiempo, una mayor parte de la barra se ve sometida a dicha aceleración, hasta que finalmente la parte posterior se acelera hacia abajo. Esto provoca una flexión de la barra en su sistema de referencia. Dado que esta flexión se produce en el sistema de referencia en reposo de la barra, se trata de una verdadera deformación física que generará tensiones en la misma.

Para que este comportamiento no rígido de la varilla se haga evidente, tanto la varilla como la rejilla deben tener una escala tal que el tiempo de desplazamiento sea medible.

Un problema muy similar pero más simple que la paradoja de la barra y la rejilla, que involucra solo marcos inerciales, es la paradoja de la "barra y el anillo". ^{[ 5 ]} La paradoja de la barra y la rejilla es compleja: involucra marcos de referencia no inerciales ya que en un momento el hombre está caminando horizontalmente y un momento después está cayendo hacia abajo; e involucra una deformación física del hombre (o barra segmentada), ya que la barra está doblada en un marco de referencia y recta en otro. Estos aspectos del problema introducen complicaciones relacionadas con la rigidez de la barra que tiende a oscurecer la verdadera naturaleza de la "paradoja". La paradoja de la "barra y el anillo" está libre de estas complicaciones: una barra, que es ligeramente más larga que el diámetro de un anillo, se mueve hacia arriba y a la derecha con su eje longitudinal horizontal, mientras que el anillo está estacionario y el plano del anillo también es horizontal. Si el movimiento de la barra es tal que su centro coincide con el centro del anillo en algún momento, entonces la barra se contraerá de Lorentz debido a la componente de avance de su movimiento y pasará a través del anillo. La paradoja surge cuando el problema se considera en el sistema de referencia en reposo de la barra. El anillo ahora se mueve hacia abajo y a la izquierda, y se contraerá de Lorentz a lo largo de su longitud horizontal, mientras que la barra no se contraerá en absoluto. ¿Cómo puede la barra pasar a través del anillo?

La resolución de la paradoja reside nuevamente en la relatividad de la simultaneidad. ^{[ 5 ]} La longitud de un objeto físico se define como la distancia entre dos eventos simultáneos que ocurren en cada extremo del cuerpo, y dado que la simultaneidad es relativa, también lo es esta longitud. Esta variabilidad en la longitud es simplemente la contracción de Lorentz. De manera similar, un ángulo físico se define como el ángulo formado por tres eventos simultáneos , y este ángulo también será una magnitud relativa. En la paradoja anterior, aunque la varilla y el plano del anillo son paralelos en el sistema de referencia del anillo, no lo son en el sistema de referencia de la varilla. La varilla sin contraer pasa a través del anillo contraído por Lorentz porque el plano del anillo está rotado con respecto a la varilla en una cantidad suficiente para permitir que la varilla lo atraviese.

En términos matemáticos, una transformación de Lorentz se puede separar en el producto de una rotación espacial y una transformación de Lorentz "propia", que no implica rotación espacial. La solución matemática de la paradoja de la barra y el anillo se basa en el hecho de que el producto de dos transformaciones de Lorentz propias (horizontal y vertical) puede producir una transformación de Lorentz que no es propia (diagonal), sino que incluye un componente de rotación espacial.

• Wells, Willard H. (1961). "La paradoja de la longitud en la relatividad". American Journal of Physics . 29 (12): 858. Bibcode : 1961AmJPh..29..858W . doi : 10.1119/1.1937641 .
• Shaw, R. (1962). "Paradoja de la contracción de la longitud". American Journal of Physics . 30 (1): 72. Bibcode : 1962AmJPh..30...72S . doi : 10.1119/1.1941907 .
• Martins, Roberto De A. (1978). "La paradoja de la longitud en la relatividad". American Journal of Physics . 46 (6): 667– 670. Bibcode : 1978AmJPh..46..667M . doi : 10.1119/1.11227 .
• Sastry, GP (1987). "¿Es realmente paradójica la contracción de la longitud?". American Journal of Physics . 55 (10): 943– 946. Bibcode : 1987AmJPh..55..943S . doi : 10.1119/1.14911 .
• Grøn, Øyvind; Johannesen, Steinar (1993). "Simulación por computadora de la paradoja de la contracción de la longitud de Rindler". Revista Europea de Física . 14 (3): 97– 100. Código bibliográfico : 1993EJPh...14...97G . doi : 10.1088/0143-0807/14/3/001 . S2CID 250879672 . 
• van Lintel, Harald; Gruber, Christian (2005). "La paradoja de la varilla y el agujero reexaminada". European Journal of Physics . 26 (1): 19– 23. Bibcode : 2005EJPh...26...19V . doi : 10.1088/0143-0807/26/1/003 . S2CID 121888743 . 
• Iyer, Chandru; Prabhu, GM (2008). "Inversión en el orden temporal de eventos interactivos: la colisión de barras inclinadas". European Journal of Physics . 27 (4): 819– 824. arXiv : 0809.1721 . Bibcode : 2006EJPh...27..819I . doi : 10.1088/0143-0807/27/4/013 . S2CID 117711286 . 
• Pierce, Evan (2007). "La paradoja de la llave y la cerradura y los límites de la rigidez en la relatividad especial". American Journal of Physics . 75 (7): 610– 614. Bibcode : 2007AmJPh..75..610P . doi : 10.1119/1.2711827 .
• Iyer, Chandru; Prabhu, GM (2008). "Diferentes observaciones sobre el aterrizaje de la varilla en la ranura". American Journal of Physics . 74 (11): 998– 1001. arXiv : 0809.1740 . Bibcode : 2006AmJPh..74..998I . doi : 10.1119/1.2346686 . S2CID 55801261 ​​. 
• McGlynn, Enda; van Kampen, Paul (2008). "Una nota sobre la vinculación de la corriente eléctrica, los campos magnéticos, las cargas y el polo en una paradoja del granero en la relatividad especial". European Journal of Physics . 29 (6): N63– N67. Bibcode : 2008EJPh...29...63M . doi : 10.1088/0143-0807/29/6/N03 . S2CID 121939564 . 

• Taylor, Wheeler (1992). Física del espacio-tiempo (2ª  ed.). Nueva York: Freeman. ISBN 978-0-716-72327-1.

- Analiza varias aparentes paradojas de la relatividad especial y sus soluciones.

• Rindler, Wolfgang (2001). Relatividad: especial, general y cosmológica . Oxford University Press. ISBN 0-19-850836-0.
• Ferraro, Rafael (2007). El espacio-tiempo de Einstein: una introducción a la relatividad especial y general . Springer . ISBN 978-0-387-69946-2.

• Animaciones de la relatividad especial de John de Pillis. Esta paradoja interactiva del tren y el túnel es una analogía de la paradoja del poste (tren) y el granero (túnel).