Politopo 4 uniforme

En geometría , un 4-politopo uniforme (o policoron uniforme ) ^[1] es un politopo de 4 dimensiones que es transitivo por vértices y cuyas celdas son poliedros uniformes y sus caras son polígonos regulares .

Existen 47 politopos cuaternarios convexos uniformes no prismáticos . Existen dos conjuntos infinitos de formas prismáticas convexas, junto con 17 casos que surgen como prismas de los poliedros convexos uniformes. También existe un número desconocido de formas estelares no convexas.

• Politopos regulares convexos :
  • 1852 : Ludwig Schläfli demostró en su manuscrito Theorie der vielfachen Kontinuität que existen exactamente 6 politopos regulares en 4 dimensiones y sólo 3 en 5 o más dimensiones.
• Politopos de estrellas regulares ( células poliédricas estelares y/o figuras de vértices )
  • 1852 : Ludwig Schläfli también encontró 4 de los 10 4-politopos estelares regulares, descontando 6 con celdas o figuras de vértice { ⁵ / ₂ ,5} y {5, ⁵ / ₂ } .
  • 1883 : Edmund Hess completó la lista de 10 de los 4 politopos regulares no convexos, en su libro (en alemán) Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder Einleitung in die Lehre von. der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder, von dr. Edmundo Hess. Mit sechzehn litographierten tafeln..
• Politopos semirregulares convexos : (Varias definiciones antes de la categoría uniforme de Coxeter )
  • 1900 : Thorold Gosset enumeró la lista de politopos convexos semirregulares no prismáticos con celdas regulares ( sólidos platónicos ) en su publicación Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones . En cuatro dimensiones, esto da como resultado el de 5 celdas rectificado , el de 600 celdas rectificado y el de 24 celdas chato . ^[2]
  • 1910 : Alicia Boole Stott , en su publicación Deducción geométrica de politopos semirregulares a partir de politopos regulares y rellenos espaciales , amplió la definición al permitir también sólidos arquimedianos y celdas prismáticas . Esta construcción enumeró 45 4-politopos semirregulares, correspondientes a las formas no prismáticas que se enumeran a continuación. El snub de 24 celdas y el gran antiprisma faltaban en su lista. ^[3]
  • 1911 : Pieter Hendrik Schoute publicó Tratamiento analítico de los politopos regularmente derivados de los politopos regulares , siguió las notaciones de Boole-Stott, enumerando los politopos uniformes convexos por simetría basada en 5 celdas , 8 celdas / 16 celdas y 24 celdas .
  • 1912 : EL Elte amplió de forma independiente la lista de Gosset con la publicación The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces , politopos con uno o dos tipos de facetas semirregulares. ^[4]
• Politopos convexos uniformes :
  • 1940 : La búsqueda fue ampliada sistemáticamente por HSM Coxeter en su publicación Regular and Semi-Regular Polytopes .
  • Politopos cuatripartitos uniformes convexos :
    • 1965 : La lista completa de formas convexas fue finalmente enumerada por John Horton Conway y Michael Guy , en su publicación Four-Dimensional Archimedean Polytopes , establecida por análisis computacional, agregando solo un 4-politopo convexo no Wythoffiano, el gran antiprisma.
    • 1966 Norman Johnson completa su tesis doctoral La teoría de politopos uniformes y panales bajo la supervisión de Coxeter, completa la teoría básica de politopos uniformes para dimensiones 4 y superiores.
    • En 1986, Coxeter publicó un artículo titulado Regular and Semi-Regular Polytopes II (Polítopos regulares y semirregulares II) , que incluía el análisis de la estructura única de 24 celdas y la simetría del gran antiprisma anómalo.
    • 1998 ^[5] -2000 : Los 4-politopos fueron nombrados sistemáticamente por Norman Johnson, y dados por la enumeración indexada en línea de George Olshevsky (usada como base para esta lista). Johnson nombró a los 4-politopos como polychora, como los poliedros para los 3-politopos, de las raíces griegas poly ("muchos") y choros ("habitación" o "espacio"). ^[6] Los nombres de los polychora uniformes comenzaron con los 6 polychora regulares con prefijos basados ​​en anillos en los diagramas de Coxeter; truncamiento t _0,1 , cantelación, t _0,2 , runcinación t _0,3 , con formas de un solo anillo llamadas rectificadas, y bi, tri-prefijos agregados cuando el primer anillo estaba en el segundo o tercer nodo. ^{[7] [8]}
    • 2004 : Marco Möller publicó una prueba de que el conjunto de Conway-Guy está completo en su tesis doctoral, Vierdimensionale Archimedische Polytope . Möller reprodujo el sistema de nombres de Johnson en su lista. ^[9]
    • 2008 : John H. Conway publicó The Symmetries of Things ^[10] , que contiene la primera lista impresa de los 4-politopos uniformes convexos y los politopos de dimensiones superiores por familia de grupos de Coxeter, con diagramas de figuras de vértices generales para cada permutación de diagrama de Coxeter en anillo (snub, gran antiprisma y duoprismas), a los que llamó proprismas para prismas de producto. Utilizó su propio esquema de nombres ijk -ambo para las permutaciones de anillos indexados más allá del truncamiento y el bitruncamiento, y todos los nombres de Johnson se incluyeron en el índice del libro.
• Politopos estelares uniformes no regulares (similares a los poliedros uniformes no convexos )
  • 1966 : Johnson describe tres antiprismas uniformes no convexos en el espacio 4 en su tesis. ^[11]
  • 1990-2006 : En una búsqueda colaborativa, hasta 2005 Jonathan Bowers y George Olshevsky habían identificado un total de 1845 4-politopos uniformes (convexos y no convexos), ^[12] con cuatro adicionales descubiertos en 2006 para un total de 1849. El recuento incluye los 74 prismas de los 75 poliedros uniformes no prismáticos (ya que es un conjunto finito – el prisma cúbico está excluido ya que duplica el teseracto), pero no las categorías infinitas de duoprismas o prismas de antiprismas. ^[13]
  • 2020-2023 : Se encontraron 342 nuevos policoros, lo que eleva el número total de 4-politopos uniformes conocidos a 2191. No se ha demostrado que la lista esté completa. ^{[13] [14]}

Los 4-politopos regulares son un subconjunto de los 4-politopos uniformes, que satisfacen requisitos adicionales. Los 4-politopos regulares se pueden expresar con el símbolo de Schläfli { p , q , r } y tienen celdas de tipo { p , q }, caras de tipo { p }, figuras de arista { r } y figuras de vértice { q , r }.

La existencia de un 4-politopo regular { p , q , r } está restringida por la existencia de los poliedros regulares { p , q } que se convierten en celdas, y { q , r } que se convierte en la figura del vértice .

La existencia como un 4-politopo finito depende de una desigualdad: ^[15]

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{r}}\right)>\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right).}$

Los 16 4-politopos regulares , con la propiedad de que todas las celdas, caras, aristas y vértices son congruentes:

• 6 4-politopos convexos regulares : 5 celdas {3,3,3}, 8 celdas {4,3,3}, 16 celdas {3,3,4}, 24 celdas {3,4,3}, 120 celdas {5,3,3} y 600 celdas {3,3,5}.
• 10 politopos de estrella regular de 4 estrellas : icosaédrica de 120 celdas {3,5, ⁵ / ₂ }, pequeña estrellada de 120 celdas { ⁵ / _2,5,3 }, gran estrellada de 120 celdas {5, ⁵ / _2,5 } , grandiosa de 120 celdas {5,3, ⁵ / ₂ }, gran estrellada de 120 celdas { ⁵ / _2,3,5 }, grandiosa estrellada de 120 celdas { ⁵ / _2,5 , ⁵ / ₂ }, gran grandiosa de 120 celdas {5, ⁵ / _2,3 }, gran icosaédrica de 120 celdas {3, ⁵ / _2,5 }, gran de 600 celdas {3,3, ⁵ / ₂ } y gran grandiosa estrellada de 120 celdas { ⁵ / ₂ ,3,3}.

Hay 5 familias fundamentales de grupos puntuales de simetría especular en 4 dimensiones: A ₄ =, B4 =_​, D4 =_​, F4 =_​, H4 =_​. ^[7] También hay 3 grupos prismáticos A ₃ A ₁ =, B3A1 =_​​_​, H3A1 =_​​_​, y grupos duoprismáticos: I ₂ (p)×I ₂ (q) =. Cada grupo está definido por un dominio fundamental del tetraedro de Goursat delimitado por planos de espejo.

Cada 4-politopo uniforme reflexivo se puede construir en uno o más grupos puntuales reflexivos en 4 dimensiones mediante una construcción de Wythoff , representada por anillos alrededor de permutaciones de nodos en un diagrama de Coxeter . Los hiperplanos especulares se pueden agrupar, como se ve por los nodos coloreados, separados por ramas pares. Los grupos de simetría de la forma [a,b,a], tienen una simetría extendida, [[a,b,a]], que duplica el orden de simetría. Esto incluye [3,3,3], [3,4,3] y [ p ,2, p ]. Los politopos uniformes en estos grupos con anillos simétricos contienen esta simetría extendida.

Si todos los espejos de un color determinado están sin anillar (inactivos) en un politopo uniforme dado, tendrá una construcción de simetría inferior al eliminar todos los espejos inactivos. Si todos los nodos de un color determinado están anillados (activos), una operación de alternancia puede generar un nuevo 4-politopo con simetría quiral, que se muestra como nodos "vacíos" encerrados en un círculo, pero la geometría no suele ser ajustable para crear soluciones uniformes.

Hay 64 4-politopos convexos uniformes, incluidos los 6 4-politopos convexos regulares y excluidos los conjuntos infinitos de duoprismas y prismas antiprismáticos .

• 5 son prismas poliédricos basados ​​en los sólidos platónicos (1 se superpone con el regular ya que un hiperprisma cúbico es un teseracto )
• 13 son prismas poliédricos basados ​​en los sólidos de Arquímedes.
• 9 pertenecen a la familia del grupo auto-dual regular A ₄ [3,3,3] ( 5 células ).
• _{9 pertenecen a la familia del grupo F 4} [3,4,3] regular autodual ( 24 células ). (Excluyendo el grupo de 24 células snub)
• 15 pertenecen a la familia regular del grupo B ₄ [3,3,4] ( tesseract / 16 células ) (3 se superponen con la familia de 24 células)
• 15 pertenecen a la familia regular del grupo H ₄ [3,3,5] ( 120 células / 600 células ).
• 1 forma especial de snub en la familia del grupo [3,4,3] ( 24 células ).
• 1 4-politopo especial no Wythoffiano: el gran antiprisma.
• TOTAL: 68 − 4 = 64

Estos 64 4-politopos uniformes están indexados a continuación por George Olshevsky. Las formas de simetría repetidas están indexadas entre corchetes.

Además de los 64 anteriores, hay 2 conjuntos prismáticos infinitos que generan todas las formas convexas restantes:

• Conjunto de prismas antiprismáticos uniformes - sr{ p ,2}×{ } - Prismas poliédricos de dos antiprismas .
• Conjunto de duoprismas uniformes - { p }×{ q } - Un producto cartesiano de dos polígonos.

La celda 5 tiene simetría pentacórica diploide [3,3,3] , ^[7] de orden 120, isomorfa a las permutaciones de cinco elementos, porque todos los pares de vértices están relacionados de la misma manera.

Se proporcionan facetas (celdas) agrupadas en sus ubicaciones en el diagrama de Coxeter eliminando nodos específicos.

Las tres formas uniformes de 4-politopos marcadas con un asterisco , * , tienen la simetría pentacórica extendida más alta , de orden 240, [[3,3,3]] porque el elemento correspondiente a cualquier elemento de la celda de 5 subyacente se puede intercambiar con uno de los correspondientes a un elemento de su dual. Hay un pequeño subgrupo de índice [3,3,3] ⁺ , orden 60, o su duplicación [[3,3,3]] ⁺ , orden 120, que define una celda de 5 omnisnub que se incluye para completar, pero no es uniforme.

Esta familia tiene simetría hexadecacórica diploide , ^[7] [4,3,3], de orden 24×16=384: 4!=24 permutaciones de los cuatro ejes, 2 ⁴ =16 para la reflexión en cada eje. Hay 3 subgrupos de índices pequeños, y los dos primeros generan 4-politopos uniformes que también se repiten en otras familias, [1 ⁺ ,4,3,3], [4,(3,3) ⁺ ] y [4,3,3] ⁺ , todos de orden 192.

(*) Así como rectificar el tetraedro produce el octaedro , rectificar el de 16 celdas produce el de 24 celdas, el miembro regular de la siguiente familia.

El snub de 24 celdas se repite en esta familia para completar. Es una alternancia del truncado de 16 celdas o truncado de 24 celdas , con el grupo de semisimetría [(3,3) ⁺ ,4]. Las celdas octaédricas truncadas se convierten en icosaedros. Los cubos se convierten en tetraedros y se crean 96 nuevos tetraedros en los huecos de los vértices eliminados.

Esta familia tiene simetría icositetracórica diploide , ^[7] [3,4,3], de orden 24×48=1152: las 48 simetrías del octaedro para cada una de las 24 celdas. Hay 3 pequeños subgrupos de índice, con los dos primeros pares isomorfos generando 4-politopos uniformes que también se repiten en otras familias, [3 ⁺ ,4,3], [3,4,3 ⁺ ] y [3,4,3] ⁺ , todos de orden 576.

(†) El cubo romo de 24 celdas que se muestra aquí, a pesar de su nombre común, no es análogo al cubo romo ; más bien, se deriva de una alternancia del cubo truncado de 24 celdas. Su número de simetría es solo 576 (el grupo icositetracórico disminuido iónico , [3 ⁺ ,4,3]).

Al igual que la de 5 células, la de 24 células es autodual, por lo que las tres formas siguientes tienen el doble de simetrías, lo que eleva su total a 2304 ( simetría icositetracórica extendida [[3,4,3]]).

Esta familia tiene simetría hexacosicórica diploide , ^[7] [5,3,3], de orden 120×120=24×600=14400: 120 para cada uno de los 120 dodecaedros, o 24 para cada uno de los 600 tetraedros. Hay un pequeño subgrupo de índice [5,3,3] ⁺ , todos de orden 7200.

Esta familia de semiteseractos , [3 ^1,1,1 ], no introduce nuevos 4-politopos uniformes, pero vale la pena repetir estas construcciones alternativas. Esta familia tiene orden 12×16=192: 4!/2=12 permutaciones de los cuatro ejes, la mitad alternadas, 2 ⁴ =16 para la reflexión en cada eje. Hay un pequeño subgrupo de índices que genera 4-politopos uniformes, [3 ^1,1,1 ] ⁺ , orden 96.

Cuando los 3 nodos de la rama bifurcada están anillados de manera idéntica, la simetría se puede incrementar en 6, ya que [3[3 ^1,1,1 ]] = [3,4,3], y por lo tanto estos politopos se repiten a partir de la familia de 24 células .

Aquí nuevamente el snub de 24 celdas , con el grupo de simetría [3 ^1,1,1 ] ⁺ esta vez, representa un truncamiento alternado del truncado de 24 celdas creando 96 nuevos tetraedros en la posición de los vértices eliminados. En contraste con su apariencia dentro de los grupos anteriores como 4-politopo parcialmente snubeado, solo dentro de este grupo de simetría tiene la analogía completa con los snubs de Kepler, es decir, el cubo snub y el dodecaedro snub .

Existe un 4-politopo uniforme convexo no wythoffiano, conocido como el gran antiprisma , que consta de 20 antiprismas pentagonales que forman dos anillos perpendiculares unidos por 300 tetraedros . Es vagamente análogo a los antiprismas tridimensionales , que consisten en dos polígonos paralelos unidos por una banda de triángulos . Sin embargo, a diferencia de ellos, el gran antiprisma no es miembro de una familia infinita de politopos uniformes.

Su simetría es el grupo de Coxeter iónico disminuido , [[10,2 ⁺ ,10]], orden 400.

Un politopo prismático es un producto cartesiano de dos politopos de menor dimensión; ejemplos conocidos son los prismas tridimensionales , que son productos de un polígono y un segmento de línea . Los 4-politopos prismáticos uniformes constan de dos familias infinitas:

• Prismas poliédricos : productos de un segmento de recta y un poliedro uniforme. Esta familia es infinita porque incluye prismas construidos sobre prismas y antiprismas tridimensionales .
• Duoprismas : productos de dos polígonos.

La familia más obvia de 4-politopos prismáticos son los prismas poliédricos, es decir, productos de un poliedro con un segmento de línea . Las celdas de estos 4-politopos son dos poliedros uniformes idénticos que se encuentran en hiperplanos paralelos (las celdas de base ) y una capa de prismas que los une (las celdas laterales ). Esta familia incluye prismas para los 75 poliedros uniformes no prismáticos (de los cuales 18 son convexos; uno de ellos, el prisma cúbico, se menciona anteriormente como teseracto ). ^{[ cita requerida ]}

Hay 18 prismas poliédricos convexos creados a partir de 5 sólidos platónicos y 13 sólidos arquimedianos , así como para las infinitas familias de prismas y antiprismas tridimensionales . ^{[ cita requerida ]} El número de simetría de un prisma poliédrico es el doble del del poliedro base.

Esta simetría tetraédrica prismática es [3,3,2], orden 48. Hay dos subgrupos de índice 2, [(3,3) ⁺ ,2] y [3,3,2] ⁺ , pero el segundo no genera un 4-politopo uniforme.

Esta familia de simetría octaédrica prismática es [4,3,2], orden 96. Hay 6 subgrupos de índice 2, orden 48 que se expresan en 4-politopos alternados a continuación. Las simetrías son [(4,3) ⁺ ,2], [1 ⁺ ,4,3,2], [4,3,2 ⁺ ], [4,3 ⁺ ,2], [4,(3,2) ⁺ ] y [4,3,2] ⁺ .

Esta simetría icosaédrica prismática es [5,3,2], orden 240. Hay dos subgrupos de índice 2, [(5,3) ⁺ ,2] y [5,3,2] ⁺ , pero el segundo no genera un policoron uniforme.

La segunda es la familia infinita de duoprismas uniformes , productos de dos polígonos regulares . El diagrama de Coxeter-Dynkin de un duoprisma esSu figura de vértice es un tetraedro difenoide ..

Esta familia se superpone con la primera: cuando uno de los dos polígonos "factoriales" es un cuadrado, el producto es equivalente a un hiperprisma cuya base es un prisma tridimensional. El número de simetría de un duoprisma cuyos factores son un p -gono y un q -gono (un " p,q -duoprisma") es 4 pq si p ≠ q ; si los factores son ambos p -gonos, el número de simetría es 8 p ² . El teseracto también puede considerarse un 4,4-duoprisma.

El vector f extendido de { p }×{ q } es ( p , p ,1)*( q , q ,1) = ( pq ,2 pq , pq + p + q , p + q ).

• Células: prismas p q -gonales, prismas q p -gonales
• Caras: pq cuadrados, p q -gonos, q p -gonos
• Bordes: 2pq
• Vértices: pq

No existe un análogo uniforme en cuatro dimensiones para la familia infinita de antiprismas tridimensionales .

Conjunto infinito de duoprismas pq -- prismas p q -gonales, prismas q p -gonales:

Son posibles alteraciones.=da la familia de duoantiprismas , pero generalmente no se pueden hacer uniformes. p=q=2 es el único caso convexo que se puede hacer uniforme, dando las 16 celdas regulares. p=5, q=5/3 es el único caso no convexo que se puede hacer uniforme, dando el llamado gran duoantiprisma .da el prismantiprismoide p-2q-gonal (una alternancia de aristas del duoprisma 2p-4q), pero esto no se puede hacer uniforme en ningún caso. ^[20]

El conjunto infinito de prismas prismáticos uniformes se superpone con los duoprismas 4-p: (p≥3) -- p cubos y 4 p -prismas gonales - (Todos son iguales al duoprisma 4-p ) El segundo politopo de la serie es una simetría inferior del teseracto regular , {4}×{4}.

Los conjuntos infinitos de prismas antiprismáticos uniformes se construyen a partir de dos antiprismas uniformes paralelos ): (p≥2) -- 2 antiprismas p -gonales, conectados por 2 prismas p -gonales y 2 prismas triangulares p.

Un prisma antiprismático p-gonal tiene 4 caras p -triángulo, 4 caras p -cuadradas y 4 caras p-gonales. Tiene 10 caras p y 4 caras p -vértices.

Coxeter mostró solo dos soluciones uniformes para grupos de Coxeter de rango 4 con todos los anillos alternados (mostrados con nodos circulares vacíos). La primera es, s{2 ^1,1,1 } que representaba una forma de subgrupo de índice 24 ( simetría [2,2,2] ⁺ , orden 8) del semiteseracto ,, h{4,3,3} (simetría [1 ⁺ ,4,3,3] = [3 ^1,1,1 ], orden 192). El segundo es, s{3 ^1,1,1 }, que es una forma de subgrupo de índice 6 (simetría [3 ^1,1,1 ] ⁺ , orden 96) del snub de 24 celdas ,, s{3,4,3}, (simetría [3 ⁺ ,4,3], orden 576).

Otras alternancias, como, como una alternancia del teseracto omnitruncado , no se pueden hacer uniformes ya que la resolución de longitudes de aristas iguales está en general sobredeterminada (hay seis ecuaciones pero solo cuatro variables). Tales figuras alternadas no uniformes se pueden construir como 4-politopos transitivos de vértice mediante la eliminación de uno de los dos medios conjuntos de vértices de la figura anillada completa, pero tendrán longitudes de arista desiguales. Al igual que las alternancias uniformes, tendrán la mitad de la simetría de la figura uniforme, como [4,3,3] ⁺ , orden 192, es la simetría del teseracto omnitruncado alternado . ^[21]

Las construcciones de Wythoff con alternancias producen figuras transitivas de vértices que pueden hacerse equiláteras, pero no uniformes porque los huecos alternados (alrededor de los vértices eliminados) crean celdas que no son regulares ni semirregulares. Un nombre propuesto para tales figuras es politopos escaliformes . ^[22] Esta categoría permite un subconjunto de sólidos de Johnson como celdas, por ejemplo, la cúpula triangular .

Cada configuración de vértice dentro de un sólido de Johnson debe existir dentro de la figura de vértice. Por ejemplo, una pirámide cuadrada tiene dos configuraciones de vértice: 3.3.4 alrededor de la base y 3.3.3.3 en el vértice.

A continuación se muestran las redes y las figuras de vértices de los cuatro casos equiláteros convexos, junto con una lista de celdas alrededor de cada vértice.

Los 46 4-politopos wythoffianos incluyen los seis 4-politopos regulares convexos . Los otros cuarenta pueden derivarse de los policoros regulares mediante operaciones geométricas que preservan la mayoría o la totalidad de sus simetrías y, por lo tanto, pueden clasificarse por los grupos de simetría que tienen en común.

Las operaciones geométricas que derivan los 40 4-politopos uniformes a partir de los 4-politopos regulares son operaciones de truncamiento . Un 4-politopo puede truncarse en los vértices, aristas o caras, lo que lleva a la adición de celdas correspondientes a esos elementos, como se muestra en las columnas de las tablas siguientes.

El diagrama de Coxeter-Dynkin muestra los cuatro espejos del caleidoscopio de Wythoff como nodos, y los bordes entre los nodos están etiquetados con un número entero que muestra el ángulo entre los espejos ( π / n radianes o 180 / n grados). Los nodos en círculos muestran qué espejos están activos para cada forma; un espejo está activo con respecto a un vértice que no se encuentra sobre él.

Véase también los panales uniformes convexos , algunos de los cuales ilustran estas operaciones aplicadas al panal cúbico regular .

Si dos politopos son duales entre sí (como el teseracto y el de 16 celdas, o el de 120 celdas y el de 600 celdas), entonces bitruncating , runcinating u omnitruncating producen la misma figura que la misma operación en el otro. Por lo tanto, cuando solo aparece el participio en la tabla, debe entenderse que se aplica a cualquiera de los padres.

Las 46 policoras uniformes construidas a partir de la simetría A ₄ , B ₄ , F ₄ , H ₄ se dan en esta tabla por su simetría extendida completa y diagramas de Coxeter. También se incluye la simetría D ₄ , aunque solo crea duplicados. Las alternancias se agrupan por su simetría quiral. Se dan todas las alternancias, aunque la de 24 celdas chata , con sus 3 construcciones de diferentes familias, es la única que es uniforme. Los recuentos entre paréntesis son repeticiones o no uniformes. Los diagramas de Coxeter se dan con índices de subíndice del 1 al 46. Se incluye la familia duoprismática 3-3 y 4-4, la segunda por su relación con la familia B ₄ .

Other than the aforementioned infinite duoprism and antiprism prism families, which have infinitely many nonconvex members, many uniform star polychora have been discovered. In 1852, Ludwig Schläfli discovered four regular star polychora: {5,3,5/2}, {5/2,3,5}, {3,3,5/2}, and {5/2,3,3}. In 1883, Edmund Hess found the other six: {3,5,5/2}, {5/2,5,3}, {5,5/2,5}, {5/2,5,5/2}, {5,5/2,3}, and {3,5/2,5}. Norman Johnson described three uniform antiprism-like star polychora in his doctoral dissertation of 1966: they are based on the three ditrigonal polyhedra sharing the edges and vertices of the regular dodecahedron. Many more have been found since then by other researchers, including Jonathan Bowers and George Olshevsky, creating a total count of 2127 known uniform star polychora at present (not counting the infinite set of duoprisms based on star polygons). There is currently no proof of the set's completeness.

• Finite regular skew polyhedra of 4-space
• Convex uniform honeycomb - related infinite 4-polytopes in Euclidean 3-space.
• Convex uniform honeycombs in hyperbolic space - related infinite 4-polytopes in Hyperbolic 3-space.
• Paracompact uniform honeycombs

• A. Boole Stott: Geometrical deduction of semiregular from regular polytopes and space fillings, Verhandelingen of the Koninklijke academy van Wetenschappen width unit Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910
• B. Grünbaum Convex Polytopes, New York; London : Springer, c2003. ISBN 0-387-00424-6.
  Second edition prepared by Volker Kaibel, Victor Klee, and Günter M. Ziegler.
• Elte, E. L. (1912), The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces, Groningen: University of Groningen, ISBN 1-4181-7968-X The semiregular polytopes of the hyperspaces. The semiregular polytopes of the hyperspaces.
• H.S.M. Coxeter:
  • H.S.M. Coxeter, M.S. Longuet-Higgins und J.C.P. Miller: Uniform Polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londen, 1954
  • H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, 3rd Edition, Dover New York, 1973
• Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, editied by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6
  • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• H.S.M. Coxeter and W. O. J. Moser. Generators and Relations for Discrete Groups 4th ed, Springer-Verlag. New York. 1980 p. 92, p. 122.
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 26)
• John H. Conway and M.J.T. Guy: Four-Dimensional Archimedean Polytopes, Proceedings of the Colloquium on Convexity at Copenhagen, page 38 und 39, 1965
• N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
• N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2015) Chapter 11: Finite symmetry groups
• Richard Klitzing, Snubs, alternated facetings, and Stott-Coxeter-Dynkin diagrams, Symmetry: Culture and Science, Vol. 21, No.4, 329-344, (2010) [1]
• Schoute, Pieter Hendrik (1911), "Analytic treatment of the polytopes regularly derived from the regular polytopes", Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, 11 (3): 87 pp Googlebook, 370-381

• Convex uniform 4-polytopes
  • Uniform, convex polytopes in four dimensions, Marco Möller (in German). Includes alternative names for these figures, including those from Jonathan Bowers, George Olshevsky, and Norman Johnson.
  • Regular and semi-regular convex polytopes a short historical overview
  • Java3D Applets with sources
• Nonconvex uniform 4-polytopes
  • Uniform polychora by Jonathan Bowers
  • Stella4D Stella (software) produces interactive views of known uniform polychora including the 64 convex forms and the infinite prismatic families.
• Klitzing, Richard. "4D uniform polytopes".
• 4D-Polytopes and Their Dual Polytopes of the Coxeter Group W(A4) Represented by Quaternions International Journal of Geometric Methods in Modern Physics, Vol. 9, No. 4 (2012) Mehmet Koca, Nazife Ozdes Koca, Mudhahir Al-Ajmi (2012) [2]