Cúpula triangular

En geometría , la cúpula triangular es aquella cuya base es un hexágono y su parte superior, un triángulo . Si sus aristas tienen la misma longitud, la cúpula triangular es un sólido de Johnson . Puede considerarse como la mitad de un cuboctaedro . La cúpula triangular se puede utilizar para construir diversos poliedros.

La cúpula triangular tiene cuatro triángulos , tres cuadrados y un hexágono como caras; el hexágono es la base y uno de los cuatro triángulos es la parte superior. Si todos los lados tienen la misma longitud, los triángulos y el hexágono se vuelven regulares . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Dicha cúpula triangular tiene tres ángulos diedros : un ángulo entre cada triángulo y el hexágono es aproximadamente 70,5°, un ángulo entre cada cuadrado y el hexágono es 54,7°, y un ángulo entre el cuadrado y el triángulo es 125,3°. ^{[ 3 ]} La cúpula triangular es un sólido de Johnson , llamado así en honor al matemático estadounidense Norman Johnson , quien catalogó los poliedros convexos con caras poligonales regulares. En la lista, la cúpula triangular se enumera como el tercer sólido de Johnson.${\displaystyle J_{3}}$. ^{[ 2 ]} Es un poliedro elemental , lo que significa que no puede producir ningún poliedro convexo de caras regulares después de ser cortado por un plano.

Para una cúpula triangular con longitud de arista${\displaystyle a}$su superficie${\displaystyle A}$se puede calcular sumando el área de cuatro triángulos equiláteros, tres cuadrados y un hexágono: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle A=\left(3+{\frac {5{\sqrt {3}}}{2}}\right)a^{2}\approx 7.33a^{2}.}$$ Su altura${\displaystyle h}$y volumen${\displaystyle V}$son: ^{[ 4 ] [ 1 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {\sqrt {6}}{3}}a\approx 0.82a,\\V&=\left({\frac {5}{3{\sqrt {2}}}}\right)a^{3}\approx 1.18a^{3}.\end{aligned}}}$$

Tiene un eje de simetría triple que pasa por el centro tanto de la parte superior como de la base. También es simétrico respecto a cualquier plano que contenga este eje y una bisectriz de la base triangular. Por lo tanto, tiene simetría piramidal , el grupo cíclico.${\displaystyle C_{3\mathrm {v} }}$del orden 6. ^{[ 3 ]}

La cúpula triangular se puede encontrar en la construcción de muchos poliedros. Un ejemplo es el cuboctaedro, en el que la cúpula triangular puede considerarse como su hemisferio. ^{[ 5 ]} Una construcción que implica la unión de su base a otro poliedro se conoce como aumento ; la unión de prismas o antiprismas se conoce como elongación o giroelongación . ^{[ 6 ] [ 7 ]} Algunos de los otros sólidos de Johnson construidos de esta manera son la cúpula triangular elongada.${\displaystyle J_{18}}$, cúpula triangular giroelongada${\displaystyle J_{22}}$, ortobicúpula triangular${\displaystyle J_{27}}$, ortobicúpula triangular alargada${\displaystyle J_{35}}$, girocúpula triangular alargada${\displaystyle J_{36}}$, bicúpula triangular giroelongada${\displaystyle J_{44}}$y tetraedro truncado aumentado${\displaystyle J_{65}}$. ^{[ 8 ]}

La cúpula triangular también puede utilizarse para construir el tetraedro truncado , aunque deja algunos huecos y un tetraedro regular en su interior. Cundy (1956) construyó un poliedro de este tipo de forma similar al dodecaedro rómbico, uniendo seis pirámides cuadradas hacia afuera, cuyos vértices se encuentran en el centro del cubo . Dicho esto, dichos tetraedros truncados se construyen uniendo cuatro cúpulas triangulares rectángulo a rectángulo; aquellas cúpulas en las que los lados alternos del triángulo isósceles rectángulo y del rectángulo tienen aristas en términos de proporción${\estilo de texto 1:{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$El octaedro truncado se puede construir uniendo ocho de esas mismas cúpulas triangulares triángulo por triángulo. ^{[ 9 ]}

• Weisstein, Eric W. , " Cúpula triangular " (" Sólido Johnson ") en MathWorld .