Cúpula triangular alargada

En geometría , la cúpula triangular alargada es un poliedro construido a partir de un prisma hexagonal mediante la adición de una cúpula triangular . Es un ejemplo de sólido de Johnson .

La cúpula triangular alargada se construye a partir de un prisma hexagonal mediante la adición de una cúpula triangular a una de sus bases, un proceso conocido como elongación . ^{[ 1 ]} Esta cúpula cubre la cara hexagonal de manera que el poliedro resultante tiene cuatro triángulos equiláteros , nueve cuadrados y un hexágono regular . ^{[ 2 ]} Un poliedro convexo cuyas caras son polígonos regulares es el sólido de Johnson . La cúpula triangular alargada es uno de ellos, catalogado como el decimoctavo sólido de Johnson.${\displaystyle J_{18}}$. ^{[ 3 ]}

El área de superficie de una cúpula triangular alargada${\displaystyle A}$es la suma del área de todas las caras poligonales. El volumen de una cúpula triangular alargada se puede determinar diseccionándola en una cúpula y un prisma hexagonal, y luego sumando sus volúmenes. Dado el lado longitud${\displaystyle a}$, su superficie y volumen se pueden formular como: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {18+5{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}&\approx 13.330a^{2},\\V&={\frac {5{\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}}{6}}a^{3}&\approx 3.777a^{3}.\end{aligned}}}$$

Tiene la misma simetría tridimensional que la cúpula triangular, el grupo cíclico${\displaystyle C_{3\mathrm {v} }}$de orden 6. Su ángulo diedro se puede calcular sumando el ángulo de una cúpula triangular y un prisma hexagonal: ^{[ 4 ]}

• el ángulo diedro de una cúpula triangular alargada entre cuadrado y triángulo es el de una cúpula triangular entre esos: 125,3°;
• El ángulo diedro de una cúpula triangular alargada entre dos cuadrados adyacentes es el de un prisma hexagonal, cuyo ángulo interno de la base es de 120°.
• El ángulo diedro de un prisma hexagonal entre un cuadrado y un hexágono es de 90°, el de una cúpula triangular entre un cuadrado y un hexágono es de 54,7°, y el de una cúpula triangular entre un triángulo y un hexágono es de 70,5°. Por lo tanto, el ángulo diedro de la cúpula triangular alargada entre dos cuadrados y entre dos triángulos, en el borde donde se une a un prisma hexagonal, es de 90° + 54,7° = 144,7° y 90° + 70,5° = 166,5° respectivamente.

• Weisstein, Eric W. , " Cúpula triangular alargada " (" Sólido Johnson ") en MathWorld .