16 celdas

En geometría , la celda de 16 lados es el 4-politopo convexo regular (análogo cuatridimensional de un sólido platónico) con el símbolo de Schläfli {3,3,4}. Es uno de los seis 4-politopos convexos regulares descritos por primera vez por el matemático suizo Ludwig Schläfli a mediados del siglo XIX. ^{[ 1 ]} También se le llama C ₁₆ , hexadecacoron , ^{[ 2 ]} o hexdecaedroide [ sic ? ] . ^[³^]

Es el miembro de 4 dimensiones de una familia infinita de politopos llamados politopos cruzados , ortoplexos o hiperoctaedros, que son análogos al octaedro en tres dimensiones. Es el de Coxeter. $\beta _{4}$ politopo. ^{[ 4 ]} El politopo dual es el teseracto ( cubo de 4 dimensiones ), con el cual se puede combinar para formar una figura compuesta. Las celdas del politopo de 16 celdas son duales a los 16 vértices del teseracto.

Geometría

El 16-celda es el segundo en la secuencia de 6 4-politopos regulares convexos (en orden de tamaño y complejidad). ^{[ a ]}

Cada uno de sus 4 politopos regulares convexos sucesores de 4 vértices puede construirse como la envoltura convexa de un compuesto politópico de múltiples 16-celdas: el teseracto de 16 vértices como un compuesto de dos 16-celdas, la 24- celda de 24 vértices como un compuesto de tres 16-celdas, la 600 -celda de 120 vértices como un compuesto de quince 16-celdas, y la 120 -celda de 600 vértices como un compuesto de setenta y cinco 16-celdas. ^{[ b ]}

Coordenadas

El politopo de 16 celdas es un politopo cruzado de 4 dimensiones (4-ortoplex) , lo que significa que sus vértices se encuentran en pares opuestos en los 4 ejes de un sistema de coordenadas cartesianas (w, x, y, z).

Los ocho vértices son (±1, 0, 0, 0), (0, ±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, ±1). Todos los vértices están conectados por aristas excepto los pares opuestos. La longitud de la arista es √2 .

Las coordenadas de los vértices forman 6 cuadrados centrales ortogonales situados en los 6 planos de coordenadas. Los cuadrados en planos opuestos que no comparten un eje (por ejemplo, en los planos xy y wz ) son completamente disjuntos (no se intersecan en ningún vértice). Estos planos son completamente ortogonales . ^{[ c ]}

La celda de 16 lados constituye una base ortonormal para la elección de un marco de referencia de 4 dimensiones, porque sus vértices definen exactamente los cuatro ejes ortogonales.

Estructura

El símbolo de Schläfli del 16-celda es {3,3,4}, lo que indica que sus celdas son tetraedros regulares {3,3} y su figura de vértice es un octaedro regular {3,4}. Hay 8 tetraedros, 12 triángulos y 6 aristas que confluyen en cada vértice. Su figura de arista es un cuadrado. Hay 4 tetraedros y 4 triángulos que confluyen en cada arista.

El 16-celda está delimitado por 16 celdas , todas las cuales son tetraedros regulares . ^{[ e ]} Tiene 32 caras triangulares , 24 aristas y 8 vértices . Las 24 aristas delimitan 6 cuadrados centrales ortogonales que se encuentran en círculos máximos en los 6 planos de coordenadas (3 pares de cuadrados máximos completamente ortogonales). En cada vértice, 3 cuadrados máximos se cruzan perpendicularmente. Las 6 aristas se encuentran en el vértice de la misma manera que 6 aristas se encuentran en el vértice de una pirámide octaédrica canónica . ^[^d^] Los 6 planos centrales ortogonales del 16-celda se pueden dividir en 4 hiperplanos centrales ortogonales (espacios de 3 dimensiones) cada uno de los cuales forma un octaedro con 3 cuadrados máximos ortogonales.

Rotaciones

Las rotaciones en el espacio euclidiano de 4 dimensiones pueden verse como la composición de dos rotaciones bidimensionales en planos completamente ortogonales . ^{[ 6 ]} La celda de 16 lados es un marco simple en el que observar rotaciones de 4 dimensiones, porque cada uno de los 6 cuadrados máximos de la celda de 16 lados tiene otro cuadrado máximo completamente ortogonal (hay 3 pares de cuadrados completamente ortogonales). ^{[ c ]} La rotación característica de la celda de 16 lados está parametrizada por un ángulo y una dirección de rotación en uno de sus planos de cuadrados máximos (por ejemplo, el plano xy ) y otro ángulo y una dirección de rotación en el plano del cuadrado máximo completamente ortogonal (por ejemplo, el plano wz ). ^{[ i ]} Los cuadrados máximos completamente ortogonales tienen vértices disjuntos: 4 de los 8 vértices de la celda de 16 lados rotan en un plano, y los otros 4 rotan independientemente en el plano completamente ortogonal. ^{[ f ]}

En 2 o 3 dimensiones, una rotación se caracteriza por un único plano de rotación; este tipo de rotación en el espacio de 4 dimensiones se denomina rotación simple , en la que solo uno de los dos planos completamente ortogonales gira (el ángulo de rotación en el otro plano es 0). En la celda de 16 lados, una rotación simple en uno de los 6 planos ortogonales mueve solo 4 de los 8 vértices; los otros 4 permanecen fijos. (En la animación de rotación simple anterior, los 8 vértices se mueven porque el plano de rotación no es uno de los 6 planos base ortogonales).

En una rotación doble, ambos conjuntos de 4 vértices se mueven, pero independientemente: los ángulos de rotación pueden ser diferentes en los 2 planos completamente ortogonales. Si los dos ángulos resultan ser iguales, tiene lugar una rotación isoclínica de máxima simetría. ^{[ k ]} En la celda de 16, una rotación isoclínica de 90 grados de cualquier par de planos cuadrados completamente ortogonales lleva cada plano cuadrado a su plano cuadrado completamente ortogonal en un desplazamiento de torsión. Todos los vértices se mueven a la vez en geodésicas circulares separadas , desplazadas 90° en 8 direcciones ortogonales, y la celda rígida de 16 asume una nueva orientación en el espacio de 4. Después de 360° de rotación, cada vértice alcanza su posición antipodal. En el curso de una rotación isoclínica de 720°, cada vértice se separa de las 8 posiciones de vértice solo una vez y regresa a su posición original, y la celda de 16 regresa a su orientación original.

Construcciones

bipirámide octaédrica

La construcción más simple de la celda de 16 lados se realiza sobre el politopo tridimensional en cruz, el octaedro . El octaedro tiene 3 ejes perpendiculares y 6 vértices en 3 pares opuestos (su polígono de Petrie es el hexágono ). Se añade otro par de vértices sobre un cuarto eje perpendicular a los otros 3 ejes. Cada nuevo vértice se conecta con los 6 vértices originales, añadiendo 12 aristas nuevas. Esto da lugar a dos pirámides octaédricas sobre una base octaédrica común que se encuentra en el hiperplano central de la celda de 16 lados. ^{[ 9 ]}

El octaedro con el que comienza la construcción tiene tres cuadrados perpendiculares que se intersecan (que aparecen como rectángulos en las proyecciones hexagonales). Cada cuadrado se interseca con cada uno de los otros cuadrados en dos vértices opuestos, y dos de los cuadrados se cruzan en cada vértice. Luego se agregan dos puntos más en la cuarta dimensión (por encima y por debajo del hiperplano tridimensional). Estos nuevos vértices se conectan con todos los vértices del octaedro, creando 12 nuevas aristas y tres cuadrados más (que aparecen de canto como los 3 diámetros del hexágono en la proyección), y tres octaedros más. ^{[ g ]}

También se ha creado algo sin precedentes. Nótese que cada cuadrado ya no interseca con todos los demás cuadrados: interseca con cuatro de ellos (con tres de los cuadrados cruzándose en cada vértice ahora), pero cada cuadrado tiene otro cuadrado con el que no comparte vértices: no está conectado directamente a ese cuadrado en absoluto. Estos dos cuadrados perpendiculares separados (hay tres pares de ellos) son como las aristas opuestas de un tetraedro : perpendiculares, pero no se intersecan. Se encuentran uno frente al otro (paralelos en cierto sentido) y no se tocan, pero también se atraviesan como dos eslabones perpendiculares en una cadena (pero a diferencia de los eslabones de una cadena, tienen un centro común). Son un ejemplo de paralelos de Clifford , y el politopo de 16 celdas es el politopo regular más simple en el que aparecen. El paralelismo de Clifford ^{[ j ]} de objetos de más de una dimensión (más que simples líneas curvas ) emerge aquí y ocurre en todos los politopos regulares de 4 dimensiones subsiguientes, donde puede verse como la relación definitoria entre politopos regulares concéntricos disjuntos de 4 dimensiones y sus partes correspondientes. Puede ocurrir entre politopos congruentes (similares) de 2 o más dimensiones. ^{[ 10 ]} Por ejemplo, como se señaló anteriormente , todos los politopos regulares convexos de 4 dimensiones subsiguientes son compuestos de múltiples 16-celdas; esas 16-celdas son politopos paralelos de Clifford .

Construcciones tetraédricas

El 16-celda tiene dos construcciones de Wythoff a partir de tetraedros regulares, una forma regular y una forma alternada, mostradas aquí como redes , la segunda representada por celdas tetraédricas de dos colores alternos. La forma alternada es una construcción de menor simetría del 16-celda llamada demiteseracto .

La construcción de Wythoff replica la característica 5-celda de la 16-celda en un caleidoscopio de espejos. Cada 4-politopo regular tiene su característico 4-ortoesquema, una 5-celda irregular . ^{[ l ]} Hay tres 4-politopos regulares con celdas tetraédricas: la 5-celda , la 16-celda y la 600-celda . Aunque todas están delimitadas por celdas tetraédricas regulares , sus características 5-celdas (4-ortoesquemas) son diferentes pirámides tetraédricas , todas basadas en el mismo tetraedro irregular característico . Comparten el mismo tetraedro característico (3-ortoesquema) y el mismo triángulo rectángulo característico (2-ortoesquema) porque tienen el mismo tipo de celda. ^{[ m ]}

La celda 5 característica de la celda 16 regular se representa mediante el diagrama de Coxeter-Dynkin , que puede interpretarse como una lista de los ángulos diedros entre sus caras simétricas. Se trata de una pirámide tetraédrica irregular basada en el tetraedro característico del tetraedro regular . La celda 16 regular se subdivide mediante sus hiperplanos de simetría en 384 instancias de su celda 5 característica, las cuales convergen en su centro.

La celda característica de 5 lados (4-ortoesquema) tiene cuatro aristas más que su tetraedro base característico (3-ortoesquema), uniendo los cuatro vértices de la base a su ápice (el quinto vértice del 4-ortoesquema, en el centro de la celda regular de 16 lados). ^{[ o ]} Si la celda regular de 16 lados tiene radio unitario de arista y longitud de arista 𝒍 = ${\sqrt {2}}$ , sus diez aristas características de 5 celdas tienen longitudes ${\sqrt {\tfrac {2}{3}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}$ alrededor de su cara exterior triangular rectángulo (las aristas opuestas a los ángulos característicos 𝟀, 𝝉, 𝟁), ^{[ n ]} más ${\sqrt {\tfrac {3}{4}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{4}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{12}}}$ (las otras tres aristas de la faceta exterior del 3-ortoesquema forman el tetraedro característico, que son los radios característicos del tetraedro regular), más $1$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{4}}}$ (aristas que son los radios característicos de la celda regular de 16 lados). El camino de 4 aristas a lo largo de las aristas ortogonales del ortoesquema es ${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{4}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{4}}}$ , primero desde un vértice de 16 celdas hasta el centro de una arista de 16 celdas, luego girando 90° hasta el centro de una cara de 16 celdas, luego girando 90° hasta el centro de una celda tetraédrica de 16 celdas, y finalmente girando 90° hasta el centro de 16 celdas.

Construcción helicoidal

Una celda de 16 lados se puede construir (de tres maneras diferentes) a partir de dos hélices de Boerdijk-Coxeter de ocho tetraedros encadenados, cada uno doblado en la cuarta dimensión en un anillo. ^{[ 15 ]}^[¹⁶^] Las dos hélices circulares se enrollan una alrededor de la otra, se anidan una dentro de la otra y se atraviesan entre sí formando un enlace de Hopf . Las 16 caras triangulares se pueden ver en una red 2D dentro de un teselado triangular , con 6 triángulos alrededor de cada vértice. Los bordes morados representan el polígono de Petrie de la celda de 16 lados. El anillo de tetraedros de ocho lados contiene tres octagramas de diferentes colores, caminos circulares de ocho lados que se enrollan dos veces alrededor de la celda de 16 lados en cada tercer vértice del octagrama. Los bordes naranja y amarillo son dos mitades de cuatro lados de un octagrama, que unen sus extremos para formar una cinta de Möbius .

Así, la celda de 16 lados se puede descomponer en dos cadenas circulares disjuntas de ocho tetraedros cada una, de cuatro aristas de longitud, una que se enrolla hacia la derecha (en el sentido de las agujas del reloj) y la otra hacia la izquierda (en el sentido contrario a las agujas del reloj). Los anillos de celdas levógiras y dextrógiras encajan entre sí, anidándose y llenando completamente la celda de 16 lados, aunque tengan quiralidad opuesta. Esta descomposición se puede observar en una construcción de duoantiprisma 4-4 de la celda de 16 lados: o , símbolo de Schläfli {2}⨂{2} o s{2}s{2}, simetría [4,2 ⁺ ,4], orden 64.

Tres caminos de ocho aristas (de diferentes colores) se enrollan en espiral a lo largo de cada anillo de ocho celdas, formando ángulos de 90° en cada vértice. (En la hélice de Boerdijk-Coxeter antes de que se doble en un anillo, los ángulos en los diferentes caminos varían, pero no son de 90°). Tres caminos (con tres colores y ángulos aparentes diferentes) pasan por cada vértice. Cuando la hélice se dobla en un anillo, los segmentos de cada camino de ocho aristas (de varias longitudes) unen sus extremos, formando una cinta de Möbius de ocho aristas de largo a lo largo de su circunferencia unilateral de 4𝝅, y una arista de ancho. ^{[ q ]} Las seis mitades de cuatro aristas de los tres caminos de ocho aristas forman cada una cuatro ángulos de 90°, pero no son los seis cuadrados grandes ortogonales: son cuadrados de extremos abiertos, hélices de 360° de cuatro aristas cuyos extremos abiertos son vértices antipodales . Las cuatro aristas provienen de cuatro cuadrados máximos diferentes y son mutuamente ortogonales. Combinadas extremo con extremo en pares de la misma quiralidad , las seis trayectorias de cuatro aristas forman tres bucles de Möbius de ocho aristas, octagramas helicoidales . Cada octagrama es a la vez un polígono de Petrie de 16 celdas y la trayectoria helicoidal a lo largo de la cual los ocho vértices giran juntos, en una de las distintas rotaciones isoclínicas de la celda de 16 celdas . ^{[ r ]}

Cada hélice de ocho aristas es un octagrama sesgado {8/3} que se enrolla tres veces alrededor de la celda de 16 lados y visita cada vértice antes de cerrarse en un bucle. Sus ocho aristas de √2 son cuerdas de una isoclina , un arco helicoidal sobre el cual los 8 vértices giran durante una rotación isoclínica. ^[^q^] Todos los ocho vértices de la celda de 16 lados están separados por √2 , excepto los vértices opuestos (antipodales), que están separados por √4 . Un vértice que se mueve sobre la isoclina visita otros tres vértices que están separados por √2 antes de llegar al cuarto vértice que está a √4 de distancia. ^[^p^]

El anillo de ocho celdas es quiral : hay una forma dextrógira que gira en espiral en el sentido de las agujas del reloj y una forma levógira que gira en sentido contrario. La celda de 16 contiene una de cada una, por lo que también contiene una isoclina izquierda y una derecha; la isoclina es el eje circular alrededor del cual gira el anillo de ocho celdas. Cada isoclina visita los ocho vértices de la celda de 16. ^{[ v ]} Cada anillo de ocho celdas contiene la mitad de las 16 celdas, pero los 8 vértices; los dos anillos comparten los vértices, ya que se anidan uno dentro del otro y encajan. También comparten las 24 aristas, aunque las hélices octagrama izquierda y derecha son diferentes caminos de ocho aristas. ^{[ w ]}

Debido a que hay tres pares de cuadrados máximos completamente ortogonales, ^{[ c ]} hay tres maneras congruentes de componer una celda de 16 lados a partir de dos anillos de ocho lados. La celda de 16 lados contiene tres pares de anillos de ocho lados de izquierda a derecha en diferentes orientaciones, y cada anillo de celda contiene su isoclina axial. ^{[ r ]} Cada par de isoclinas de izquierda a derecha es la trayectoria de un par de rotaciones isoclínicas distintas de izquierda a derecha: las rotaciones en un par de planos de rotación invariantes completamente ortogonales. ^{[ f ]} En cada vértice, hay tres cuadrados máximos y seis isoclinas de octagramas que se cruzan en el vértice y comparten una cuerda axial de 16 lados.

Como configuración

Esta matriz de configuración representa la celda de 16 elementos. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras y celdas. Los números de la diagonal indican cuántos elementos de cada tipo aparecen en la celda de 16 elementos. Los números de la diagonal indican cuántos elementos de la columna aparecen en o en el elemento de la fila.

${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}8&6&12&8\\2&24&4&4\\3&3&32&2\\4&6&4&16\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

Teselaciones

Es posible teselar el espacio euclidiano de 4 dimensiones con celdas regulares de 16 lados. Esto se denomina panal de abejas de 16 lados y tiene el símbolo de Schläfli {3,3,4,3}. Por lo tanto, la celda de 16 lados tiene un ángulo diedro de 120°. ^{[ 19 ]} Cada celda de 16 lados tiene 16 vecinos con los que comparte un tetraedro, 24 vecinos con los que comparte solo una arista y 72 vecinos con los que comparte solo un punto. Veinticuatro celdas de 16 lados se encuentran en cualquier vértice dado de esta teselación.

La teselación dual, el panal de 24 celdas , {3,4,3,3}, está formada por 24 celdas regulares . Junto con el panal teseractico {4,3,3,4}, estas son las únicas tres teselaciones regulares de R ⁴ .

Proyecciones

La proyección paralela de la celda 16 en el espacio tridimensional tiene una envoltura cúbica . Las celdas más cercanas y más lejanas se proyectan como tetraedros inscritos dentro del cubo, correspondientes a las dos formas posibles de inscribir un tetraedro regular en un cubo. Alrededor de cada uno de estos tetraedros hay otros cuatro volúmenes tetraédricos (no regulares) que son las imágenes de las cuatro celdas tetraédricas circundantes, llenando el espacio entre el tetraedro inscrito y el cubo. Las seis celdas restantes se proyectan sobre las caras cuadradas del cubo. En esta proyección de la celda 16, todas sus aristas se encuentran sobre las caras de la envoltura cúbica.

La proyección en perspectiva de celda a celda de la matriz de 16 celdas en el espacio tridimensional presenta una envoltura tetraédrica triakis . La disposición de las celdas dentro de esta envoltura es análoga a la de la proyección paralela de celda a celda.

La proyección paralela de la celda de 16 caras en el espacio tridimensional, con los vértices hacia adelante, tiene una envoltura octaédrica . Este octaedro se puede dividir en 8 volúmenes tetraédricos mediante cortes a lo largo de los planos de coordenadas. Cada uno de estos volúmenes es la imagen de un par de celdas de la celda de 16 caras. El vértice más cercano de la celda de 16 caras al observador se proyecta sobre el centro del octaedro.

Finalmente, la proyección paralela con la arista primero tiene una envoltura octaédrica acortada, y la proyección paralela con la cara primero tiene una envoltura bipiramidal hexagonal .

Diagrama de Venn de 4 esferas

Una proyección tridimensional de la esfera de 16 celdas y las 4 esferas que se intersecan (un diagrama de Venn de 4 conjuntos) son topológicamente equivalentes.

Construcciones simétricas

El grupo de simetría de la celda 16 se denota como B ₄ .

Existe una forma de menor simetría del 16-celda , llamada demiteseracto o 4-demicube , un miembro de la familia del demihipercubo , y representada por h{4,3,3}, y diagramas de Coxeter o . Se puede dibujar bicolor con celdas tetraédricas alternadas.

También puede verse en forma de menor simetría como un antiprisma tetraédrico , construido por 2 tetraedros paralelos en configuraciones duales, conectados por 8 tetraedros (posiblemente alargados). Se representa mediante s{2,4,3} y diagrama de Coxeter: .

También puede verse como un ortotopo 4-snub , representado por s{2 ^1,1,1 }, y diagrama de Coxeter: o .

Al estar el teseracto construido como un duoprisma 4-4 , el de 16 celdas puede verse como su dual, un duopirámide 4-4 .

Polígonos complejos relacionados

El polígono de Möbius-Kantor es un polígono complejo regular ₃ {3} ₃ , , en $\mathbb {C} ^{2}$ comparte los mismos vértices que la celda de 16 lados. Tiene 8 vértices y 8 aristas de 3 lados. ^{[ 20 ]}^{[ 21 ]}

El polígono complejo regular, ₂ {4} ₄ , , en $\mathbb {C} ^{2}$ Tiene una representación real como una celda de 16 lados en un espacio de 4 dimensiones con 8 vértices, 16 aristas de 2 lados, solo la mitad de las aristas de la celda de 16 lados. Su simetría es ₄ [4] ₂ , orden 32. ^{[ 22 ]}

Politopos uniformes y panales relacionados

La celda de 16 caras y el teseracto son miembros regulares de un conjunto de 15 politopos uniformes de 4 caras con la misma simetría B ₄ . La celda de 16 caras es también uno de los politopos uniformes de simetría D ₄ .

La estructura de 16 celdas también está relacionada con el panal cúbico , el panal dodecaédrico de orden 4 y el panal de teselado hexagonal de orden 4, los cuales tienen figuras de vértice octaédricas .

Pertenece a la secuencia de 4-politopos {3,3,p} que tienen celdas tetraédricas. La secuencia incluye tres 4-politopos regulares del espacio euclidiano de 4 dimensiones: el {3,3,3} de 5 celdas , el {3,3,4} de 16 celdas y el {3,3,5} de 600 celdas , y el panal tetraédrico de orden 6 {3,3,6} del espacio hiperbólico.

Es el primero en una secuencia de politopos cuasirregulares y panales h{4,p,q}, y una secuencia de semi-simetría , para formas regulares {p,3,4}.

Véase también

Notes

↑The convex regular 4-polytopes can be ordered by size as a measure of 4-dimensional content (hypervolume) for the same radius. Each greater polytope in the sequence is rounder than its predecessor, enclosing more content^[5] within the same radius. The 4-simplex (5-cell) is the smallest case, and the 120-cell is the largest. Complexity (as measured by comparing configuration matrices or simply the number of vertices) follows the same ordering. This provides an alternative numerical naming scheme for regular polytopes in which the 16-cell is the 8-point 4-polytope: second in the ascending sequence that runs from 5-point 4-polytope to 600-point 4-polytope.
↑There are 2 and only 2 16-cells inscribed in the 8-cell (tesseract), 3 and only 3 16-cells inscribed in the 24-cell, 75 distinct 16-cells (but only 15 disjoint 16-cells) inscribed in the 600-cell, and 675 distinct 16-cells (but only 75 disjoint 16-cells) inscribed in the 120-cell.
1 2 3 4 5 6 En un espacio de 4 dimensiones podemos construir 4 ejes perpendiculares y 6 planos perpendiculares que pasan por un punto. Sin pérdida de generalidad, podemos tomar estos como los ejes y planos centrales ortogonales de un sistema de coordenadas cartesianas (w, x, y, z). En 4 dimensiones tenemos los mismos 3 planos ortogonales (xy, xz, yz) que tenemos en 3 dimensiones, y también otros 3 (wx, wy, wz). Cada uno de los 6 planos ortogonales comparte un eje con 4 de los otros, y es opuesto o completamente ortogonal a solo uno de los otros: el único con el que no comparte un eje. Por lo tanto, hay 3 pares de planos completamente ortogonales: xy y wz se intersecan solo en el origen; xz y wy se intersecan solo en el origen; yz y wx se intersecan solo en el origen.
1 2 3 Cada vértice en la celda de 16 caras es el vértice de una pirámide octaédrica , cuya base es el octaedro formado por los otros 6 vértices a los que el vértice está conectado por aristas. La celda de 16 caras se puede deconstruir (de cuatro maneras diferentes) en dos pirámides octaédricas cortándola por la mitad a través de uno de sus cuatro hiperplanos centrales octaédricos. Vista desde dentro del volumen tridimensional curvo de su superficie límite de 16 tetraedros unidos por caras, la figura del vértice de la celda de 16 caras es un octaedro. En 4 dimensiones, el octaedro del vértice es en realidad una pirámide octaédrica. El vértice de la pirámide octaédrica (el vértice donde se encuentran las 6 aristas) no está realmente en el centro del octaedro: está desplazado radialmente hacia afuera en la cuarta dimensión, fuera del hiperplano definido por los 6 vértices del octaedro. Las 6 aristas alrededor del vértice forman una cruz ortogonal de 3 ejes en 3 dimensiones (y en la proyección tridimensional de la pirámide de 4 lados ), pero las 3 líneas en realidad se doblan 90 grados en la cuarta dimensión donde se encuentran en un vértice.
↑ La superficie límite de un 16-celda es un espacio tridimensional finito formado por 16 tetraedros dispuestos cara a cara (cuatro alrededor de uno). Es un espacio tridimensional cerrado y fuertemente curvado (no euclidiano), dentro del cual podemos movernos en línea recta a través de 4 tetraedros en cualquier dirección y regresar al tetraedro de donde partimos. Podemos visualizarnos moviéndonos dentro de este entramado tetraédrico , escalando de un tetraedro a otro sobre sus 24 puntales (sus aristas), sin poder salir (ni ver fuera) de los 16 tetraedros, independientemente de la dirección en la que vayamos (o miremos). Siempre estamos sobre (o dentro de) la superficie del 16-celda, nunca dentro del 16-celda en sí (ni fuera de él). Podemos observar que las 6 aristas alrededor de cada vértice irradian simétricamente en 3 dimensiones y forman una cruz ortogonal de 3 ejes, al igual que los radios de un octaedro (por lo que decimos que la figura del vértice de la celda de 16 lados es el octaedro).^{[ d ]}
1 2 3 4 Los cuadrados máximos completamente ortogonales no se intersecan y giran independientemente porque los círculos máximos en los que se encuentran sus vértices son paralelos de Clifford .^{[ j ]} Están separados por √ 2 en cada par de vértices más cercanos (y en la celda de 16 lados todos los pares excepto los pares antipodales son los más cercanos). Los dos cuadrados no pueden intersecarse en absoluto porque se encuentran en planos que se intersecan en un solo punto: el centro de la celda de 16 lados.^{[ c ]} Debido a que son perpendiculares y comparten un centro común, los dos cuadrados obviamente no son paralelos y se separan de la manera habitual de los cuadrados paralelos en 3 dimensiones; más bien están conectados como eslabones cuadrados adyacentes en una cadena, cada uno pasando a través del otro sin intersecarse en ningún punto, formando un enlace de Hopf .
1 2 Tres grandes cuadrados se encuentran en cada vértice (y en su vértice opuesto) en la celda de 16 lados. Cada gran cuadrado tiene un gran cuadrado completamente ortogonal diferente. Por lo tanto, hay tres grandes cuadrados completamente ortogonales a cada vértice y a su vértice opuesto (cada eje). Forman un octaedro (un hiperplano central). Cada línea de eje en la celda de 16 lados es completamente ortogonal a un hiperplano octaédrico central, como cada plano de gran cuadrado es completamente ortogonal a otro plano de gran cuadrado.^{[ c ]} El eje y el octaedro se intersecan solo en un punto (el centro de la celda de 16 lados), como cada par de grandes cuadrados completamente ortogonales se intersecan solo en un punto (el centro de la celda de 16 lados). Cada octaedro central es también la figura de vértice octaédrica de dos de los ocho vértices: los dos en su eje completamente ortogonal.
↑ Los tres cuadrados grandes incompletamente ortogonales que se intersecan en cada vértice de la celda de 16 lados forman la figura octaédrica del vértice .^{[ d ]} Cualquier par de ellos, junto con el cuadrado completamente ortogonal del tercero, también forman un octaedro: un hiperplano octaédrico central.^{[ g ]} En la celda de 16 lados, cada figura octaédrica del vértice es también un hiperplano octaédrico central.
↑ Cada vértice del cuadrado grande está a √2 de distancia de dos de los otros vértices del cuadrado, y a √4 de distancia de su vértice opuesto. Los otros cuatro vértices de la celda de 16 (también a √2 de distancia) son los vértices del cuadrado completamente ortogonal del cuadrado.^{[ f ]} Cada vértice de la celda de 16 es un vértice de tres cuadrados grandes ortogonales que se intersecan allí. Cada uno de ellos tiene un cuadrado completamente ortogonal diferente. Por lo tanto, hay tres cuadrados grandes completamente ortogonales a cada vértice: cuadrados de los que el vértice no forma parte.^{[ h ]}
1 2 Los paralelos de Clifford son líneas curvas que no se intersecan y son paralelas en el sentido de que la distancia perpendicular (más corta) entre ellas es la misma en cada punto.^{[ 7 ]} Una doble hélice es un ejemplo de paralelismo de Clifford en el espacio euclidiano tridimensional ordinario. En el espacio de 4 dimensiones, los paralelos de Clifford aparecen como círculos máximos geodésicos en la 3-esfera .^{[ 8 ]} En la celda de 16 lados, los vértices correspondientes de los cuadrados de círculos máximos completamente ortogonales están todos separados por √ 2 , por lo que estos cuadrados son polígonos paralelos de Clifford. Nótese que solo los vértices de los cuadrados máximos (los puntos en el círculo máximo) están separados por √ 2 ; los puntos en los bordes de los cuadrados (en las cuerdas del círculo) están más cerca entre sí.
↑ En una rotación isoclínica, los 6 planos ortogonales se desplazan en dos direcciones ortogonales a la vez: giran el mismo ángulo y, al mismo tiempo, se inclinan lateralmente ese mismo ángulo. Un desplazamiento isoclínico (también conocido como desplazamiento de Clifford ) es diagonal en 4 dimensiones. Los puntos se desplazan una distancia igual en cuatro direcciones ortogonales a la vez, y se desplazan una distancia pitagórica total igual a la raíz cuadrada de cuatro veces el cuadrado de esa distancia. Por ejemplo, cuando la celda de 16 radios unitarios gira isoclínicamente 90° en un plano invariante de cuadrado máximo, también gira 90° en el plano invariante de cuadrado máximo completamente ortogonal.^{[ c ]} El plano de cuadrado máximo también se inclina lateralmente 90° para ocupar su plano completamente ortogonal. (Por simetría isoclínica, cada cuadrado grande gira 90° y se inclina lateralmente 90° hacia su plano completamente ortogonal). Cada vértice (en cada cuadrado grande) se desplaza una distancia de √2 / 2 en cada una de las cuatro direcciones ortogonales, una distancia total de √2 , a un vértice en su cuadrado grande completamente ortogonal.
↑ Un ortoesquema es un simplex irregular quiral con caras triangulares rectángulos que es característico de un politopo si lo llena exactamente con sus propias reflexiones en sus caras (sus paredes de espejo ). Todo politopo regular puede diseccionarse radialmente en instancias de su ortoesquema característico que rodean su centro. El ortoesquema característico tiene la forma descrita por el mismo diagrama de Coxeter-Dynkin que el politopo regular sin el anillo de puntos generadores .
↑ Un politopo regular de dimensión k tiene un ortoesquema k característicoy también un ortoesquema ( k -1) característico. Un 4-politopo regular tiene una celda 5 característica (ortoesquema 4) en la que se subdivide mediante sus hiperplanos de simetría (tridimensionales), y también un tetraedro característico (ortoesquema 3) en el que su superficie se subdivide mediante los planos de simetría (bidimensionales) de sus celdas. Después de subdividir su superficie (tridimensional) en tetraedros característicos que rodean el centro de cada celda, su interior (cuatridimensional) puede subdividirse en celdas 5 características añadiendo radios que unan los vértices de los tetraedros característicos de la superficie al centro del 4-politopo.^{[ 11 ]} Los tetraedros y triángulos interiores así formados también serán ortoesquemas.
1 2 ( Coxeter 1973 ) utiliza la letra griega 𝝓 (phi) para representar uno de los tres ángulos característicos 𝟀, 𝝓, 𝟁 de un politopo regular. Dado que 𝝓 se usa comúnmente para representar la constante de la proporción áurea ≈ 1,618, para la cual Coxeter usa 𝝉 (tau), invertimos las convenciones de Coxeter y usamos 𝝉 para representar el ángulo característico.
↑ Las cuatro aristas de cada 4-ortoesquema que se encuentran en el centro de un 4-politopo regular tienen longitudes desiguales, porque son los cuatro radios característicos del 4-politopo regular: un radio de vértice, un radio del centro de arista, un radio del centro de cara y un radio del centro de celda. Los cinco vértices del 4-ortoesquema siempre incluyen un vértice del 4-politopo regular, un centro de arista del 4-politopo regular, un centro de cara del 4-politopo regular, un centro de celda del 4-politopo regular y el centro del 4-politopo regular. Esos cinco vértices (en ese orden) comprenden un camino a lo largo de cuatro aristas mutuamente perpendiculares (que hace tres giros en ángulo recto), la característica distintiva de un 4-ortoesquema. El 4-ortoesquema tiene cinco facetas de 3-ortoesquema disímiles.
1 2 En el modelo de 16 celdas, dos vértices antipodales son vértices opuestos de dos celdas tetraédricas unidas por caras. Los dos vértices antipodales están conectados por (tres) caminos de círculo máximo de dos aristas diferentes a lo largo de las aristas de las celdas tetraédricas, por varios caminos de tres aristas y por caminos de cuatro aristas en isoclinas y polígonos de Petrie.^{[ q ]}
1 2 3 Una isoclina es un círculo de un tipo especial que corresponde a un par de círculos de Villarceau unidos en un bucle de Möbius . Se curva a través de cuatro dimensiones en lugar de solo dos. Todos los círculos ordinarios tienen una circunferencia de 2𝝅, pero la isoclina de la celda 16 es un círculo con una circunferencia de 4𝝅 (sobre ocho cuerdas de 90°). Una isoclina es un círculo que no se encuentra en un plano, pero para evitar confusiones siempre nos referimos a ella como isoclina y reservamos el término círculo para un círculo ordinario en el plano.
1 2 La 16-celda se puede construir a partir de dos anillos de ocho celdas disjuntos de tres maneras diferentes; tiene tres orientaciones de su par de anillos. Cada orientación "contiene" un par distinto de rotaciones isoclínicas izquierda-derecha, y también un par de cuadrados máximos completamente ortogonales (fibras paralelas de Clifford), por lo que cada orientación es una fibración discreta de la 16-celda. Cada anillo de ocho celdas contiene tres octagramas axiales que tienen diferentes orientaciones (intercambian roles) en las tres fibraciones discretas y seis rotaciones isoclínicas distintas (tres izquierdas y tres derechas) a través de los anillos de celdas. Se pueden ver tres octagramas (de diferentes colores) en la ilustración de un solo anillo de celda, uno en el rol de polígono de Petrie, uno como isoclina derecha y uno como isoclina izquierda. Debido a que cada octagrama juega tres roles, hay exactamente seis isoclinas distintas en la 16-celda, no 18.
↑ Las cinco vistas son la misma proyección ortogonal de la celda de 16 lados en el mismo plano (una sección transversal circular del cilindro anular de ocho lados), vista a lo largo del eje central del cilindro anular cortado que se muestra arriba, desde un extremo del cilindro. La única diferencia radica en qué aristas √2 ycuerdas √4 se omiten para enfocar. Los diferentes colores de las aristas √2 parecen tener longitudes diferentes porque son oblicuas al observador en distintos ángulos. Los vértices están numerados del 1 (arriba) al 8 en sentido contrario a las agujas del reloj.
1 2 Cada isoclina tiene las ocho cuerdas √ 2 continuas de sucamino de aristas_{del octagrama {8/3} , y también cuatro cuerdas de diámetro}√ 4 discontinuas que conectan cada cuarto vértice del octagrama pero no se conectan entre sí. Los vértices antipodales también tienen un camino continuo retorcido de cuatro aristas √ 2 mutuamente ortogonales que los conectan. Entre los vértices antipodales, la isoclina se curva suavemente en una hélice sobre las cuatro cuerdas √ 2 de su camino de aristas, tocando los tres vértices intermedios. Cada arista √ 2 es una arista de un cuadrado grande, que es completamente ortogonal a otro cuadrado grande, en el que la cuerda √ 4 es una diagonal.
↑ Excepto en los círculos de 5 y 16 celdas, un par de círculos isoclínicos izquierdo y derecho tienen vértices disjuntos: las hélices isoclínicas izquierda y derecha son paralelas que no se intersecan pero giran en sentido contrario, formando un tipo especial de doble hélice que no puede ocurrir en tres dimensiones (donde las hélices que giran en sentido contrario del mismo radio deben intersecarse).
↑ En el politopo de 16 celdas, cada isoclina recorre los 8 vértices: una fibración completa de dos cuadrados máximos completamente ortogonales. El politopo de 5 celdas y el de 16 celdas son los únicos 4-politopos regulares donde cada fibración discreta tiene una sola fibra isoclina.^{[ u ]}
↑ Las isoclinas izquierda y derecha se intersecan en cada vértice. Son secuencias diferentes del mismo conjunto de 8 vértices. Si consideramos únicamente el conjunto de 4 pares de vértices separados por √2 , pueden considerarse paralelas de Clifford. Si consideramos únicamente el conjunto de 4 pares de vértices separados por √4 , pueden considerarse completamente ortogonales.

Citas

↑ Coxeter 1973 , pág. 141, § 7-x. Observaciones históricas.
↑ NW Johnson : Geometrías y transformaciones , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5Capítulo 11: Grupos de simetría finitos , 11.5 Grupos de Coxeter esféricos , pág. 249
↑ Matila Ghyka, La geometría del arte y la vida (1977), pág. 68
↑ Coxeter 1973 , págs. 120–121, § 7.2. Véase la ilustración Fig.7.2 B.
↑ Coxeter 1973 , pp. 292–293, Tabla I(ii): Los dieciséis politopos regulares { p, q, r } en cuatro dimensiones; Una tabla invaluable que proporciona las 20 métricas de cada 4-politopo en unidades de longitud de arista. Deben ser convertidas algebraicamente para comparar politopos de radio unitario.
↑ Kim y Rote 2016 , pág. 6, § 5. Rotaciones cuatridimensionales.
↑ Tyrrell y Semple 1971 , págs. 5–6, § 3. Definición original de paralelismo de Clifford.
↑ Kim y Rote 2016 , págs. 7–10, § 6. Ángulos entre dos planos en el espacio de 4 dimensiones.
↑ Coxeter 1973 , pág. 121, § 7.21. Véase la ilustración Fig. 7.2 B : " $\beta _{4}$ es una bipirámide de cuatro dimensiones basada en $\beta _{3}$ (con sus dos vértices en direcciones opuestas a lo largo de la cuarta dimensión)."
↑ Tyrrell y Semple 1971 .
↑ Coxeter 1973 , pág. 130, § 7.6; "subdivisión simplicial".
↑ Coxeter 1973 , págs. 292–293, Tabla I(ii); "16 celdas, 𝛽₄ ".
↑ Coxeter 1973 , pág. 139, § 7.9 El simplex característico.
↑ Coxeter 1973 , pág. 290, Tabla I(ii); "ángulos diedros".
↑ Coxeter 1970 , pág. 45, Tabla 2: Panales flexibles y sus grupos; el panal [3,3,4]₄ es un recubrimiento de la 3-esfera por 2 anillos de 8 celdas tetraédricas.
↑ Banchoff 2013 .
↑ Coxeter 1973 , págs. 292–293, Tabla I(ii); 24-celda h ₁ .
↑ Coxeter 1973 , págs. 292–293, Tabla I(ii); 24-celda h ₂ .
↑ Coxeter 1973 , pág. 293.
↑ Coxeter 1991 , págs. 30, 47.
↑ Coxeter y Shephard 1992 .
↑ Coxeter 1991 , pág. 108.
↑ Coxeter 1991 , pág. 114.

Referencias

T. Gosset : Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
HSM Coxeter :
- Coxeter, HSM (1973). Politopos regulares (3.ª ed.). Nueva York: Dover.
- Coxeter, HSM (1991). Politopos complejos regulares (2.ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press.
- Caleidoscopios: Escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, wiley.com , ISBN 978-0-471-01003-6
  - (Artículo 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  - (Artículo 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  - (Artículo 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
- Coxeter, HSM ; Shephard, GC (1992). "Retratos de una familia de politopos complejos". Leonardo . 25 ( 3/4): 239–244 . doi : 10.2307/1575843 . JSTOR 1575843. S2CID 124245340 .
- Coxeter, HSM (1970), "Panales retorcidos", Conference Board of the Mathematical Sciences Regional Conference Series in Mathematics , 4 , Providence, Rhode Island: American Mathematical Society
John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5(Capítulo 26, pág. 409: Hemicubos: 1 _n1 )
Norman Johnson, Politopos Uniformes , Manuscrito (1991)
- NW Johnson: La teoría de los politopos uniformes y los panales de abeja , Tesis doctoral (1966)
Kim, Heuna; Rote, Günter (2016). "Prueba de congruencia de conjuntos de puntos en 4 dimensiones". arXiv : 1603.07269 [ cs.CG ].
Tyrrell, JA; Semple, JG (1971). Paralelismo de Clifford generalizado . Cambridge University Press . ISBN 0-521-08042-8.
Banchoff, Thomas F. (2013). «Descomposiciones toroidales de politopos regulares en el espacio de 4 dimensiones». En Senechal, Marjorie (ed.). Shaping Space . Springer New York. pp. 257–266 . doi : 10.1007/978-0-387-92714-5_20 . ISBN 978-0-387-92713-8.

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. "16-Cell" . MathWorld .
Der 16-Zeller (16 celdas) Politopos regulares de Marco Möller en R ⁴ (alemán)
Descripción y diagramas de proyecciones de 16 células. Archivado el 7 de noviembre de 2020 en Wayback Machine.
Klitzing, Richard. "Polítopos uniformes 4D (policoros) x3o3o4o – hex" .

[polytopes_ordered_by_size_and_complexity-6] The convex regular 4-polytopes can be ordered by size as a measure of 4-dimensional content (hypervolume) for the same radius. Each greater polytope in the sequence is rounder than its predecessor, enclosing more content^[5] within the same radius. The 4-simplex (5-cell) is the smallest case, and the 120-cell is the largest. Complexity (as measured by comparing configuration matrices or simply the number of vertices) follows the same ordering. This provides an alternative numerical naming scheme for regular polytopes in which the 16-cell is the 8-point 4-polytope: second in the ascending sequence that runs from 5-point 4-polytope to 600-point 4-polytope.

[7] There are 2 and only 2 16-cells inscribed in the 8-cell (tesseract), 3 and only 3 16-cells inscribed in the 24-cell, 75 distinct 16-cells (but only 15 disjoint 16-cells) inscribed in the 600-cell, and 675 distinct 16-cells (but only 75 disjoint 16-cells) inscribed in the 120-cell.

[six_orthogonal_planes_of_the_Cartesian_basis-8] 1 2 3 4 5 6 En un espacio de 4 dimensiones podemos construir 4 ejes perpendiculares y 6 planos perpendiculares que pasan por un punto. Sin pérdida de generalidad, podemos tomar estos como los ejes y planos centrales ortogonales de un sistema de coordenadas cartesianas (w, x, y, z). En 4 dimensiones tenemos los mismos 3 planos ortogonales (xy, xz, yz) que tenemos en 3 dimensiones, y también otros 3 (wx, wy, wz). Cada uno de los 6 planos ortogonales comparte un eje con 4 de los otros, y es opuesto o completamente ortogonal a solo uno de los otros: el único con el que no comparte un eje. Por lo tanto, hay 3 pares de planos completamente ortogonales: xy y wz se intersecan solo en el origen; xz y wy se intersecan solo en el origen; yz y wx se intersecan solo en el origen.

[octahedral_pyramid-9] 1 2 3 Cada vértice en la celda de 16 caras es el vértice de una pirámide octaédrica , cuya base es el octaedro formado por los otros 6 vértices a los que el vértice está conectado por aristas. La celda de 16 caras se puede deconstruir (de cuatro maneras diferentes) en dos pirámides octaédricas cortándola por la mitad a través de uno de sus cuatro hiperplanos centrales octaédricos. Vista desde dentro del volumen tridimensional curvo de su superficie límite de 16 tetraedros unidos por caras, la figura del vértice de la celda de 16 caras es un octaedro. En 4 dimensiones, el octaedro del vértice es en realidad una pirámide octaédrica. El vértice de la pirámide octaédrica (el vértice donde se encuentran las 6 aristas) no está realmente en el centro del octaedro: está desplazado radialmente hacia afuera en la cuarta dimensión, fuera del hiperplano definido por los 6 vértices del octaedro. Las 6 aristas alrededor del vértice forman una cruz ortogonal de 3 ejes en 3 dimensiones (y en la proyección tridimensional de la pirámide de 4 lados ), pero las 3 líneas en realidad se doblan 90 grados en la cuarta dimensión donde se encuentran en un vértice.

[10] La superficie límite de un 16-celda es un espacio tridimensional finito formado por 16 tetraedros dispuestos cara a cara (cuatro alrededor de uno). Es un espacio tridimensional cerrado y fuertemente curvado (no euclidiano), dentro del cual podemos movernos en línea recta a través de 4 tetraedros en cualquier dirección y regresar al tetraedro de donde partimos. Podemos visualizarnos moviéndonos dentro de este entramado tetraédrico , escalando de un tetraedro a otro sobre sus 24 puntales (sus aristas), sin poder salir (ni ver fuera) de los 16 tetraedros, independientemente de la dirección en la que vayamos (o miremos). Siempre estamos sobre (o dentro de) la superficie del 16-celda, nunca dentro del 16-celda en sí (ni fuera de él). Podemos observar que las 6 aristas alrededor de cada vértice irradian simétricamente en 3 dimensiones y forman una cruz ortogonal de 3 ejes, al igual que los radios de un octaedro (por lo que decimos que la figura del vértice de la celda de 16 lados es el octaedro).^{[ d ]}

[Clifford_parallel_great_squares-12] 1 2 3 4 Los cuadrados máximos completamente ortogonales no se intersecan y giran independientemente porque los círculos máximos en los que se encuentran sus vértices son paralelos de Clifford .^{[ j ]} Están separados por √ 2 en cada par de vértices más cercanos (y en la celda de 16 lados todos los pares excepto los pares antipodales son los más cercanos). Los dos cuadrados no pueden intersecarse en absoluto porque se encuentran en planos que se intersecan en un solo punto: el centro de la celda de 16 lados.^{[ c ]} Debido a que son perpendiculares y comparten un centro común, los dos cuadrados obviamente no son paralelos y se separan de la manera habitual de los cuadrados paralelos en 3 dimensiones; más bien están conectados como eslabones cuadrados adyacentes en una cadena, cada uno pasando a través del otro sin intersecarse en ningún punto, formando un enlace de Hopf .

[octahedral_hyperplanes-13] 1 2 Tres grandes cuadrados se encuentran en cada vértice (y en su vértice opuesto) en la celda de 16 lados. Cada gran cuadrado tiene un gran cuadrado completamente ortogonal diferente. Por lo tanto, hay tres grandes cuadrados completamente ortogonales a cada vértice y a su vértice opuesto (cada eje). Forman un octaedro (un hiperplano central). Cada línea de eje en la celda de 16 lados es completamente ortogonal a un hiperplano octaédrico central, como cada plano de gran cuadrado es completamente ortogonal a otro plano de gran cuadrado.^{[ c ]} El eje y el octaedro se intersecan solo en un punto (el centro de la celda de 16 lados), como cada par de grandes cuadrados completamente ortogonales se intersecan solo en un punto (el centro de la celda de 16 lados). Cada octaedro central es también la figura de vértice octaédrica de dos de los ocho vértices: los dos en su eje completamente ortogonal.

[completely_orthogonal_great_squares-14] Los tres cuadrados grandes incompletamente ortogonales que se intersecan en cada vértice de la celda de 16 lados forman la figura octaédrica del vértice .^{[ d ]} Cualquier par de ellos, junto con el cuadrado completamente ortogonal del tercero, también forman un octaedro: un hiperplano octaédrico central.^{[ g ]} En la celda de 16 lados, cada figura octaédrica del vértice es también un hiperplano octaédrico central.

[vertex_and_central_octahedra-15] Cada vértice del cuadrado grande está a √2 de distancia de dos de los otros vértices del cuadrado, y a √4 de distancia de su vértice opuesto. Los otros cuatro vértices de la celda de 16 (también a √2 de distancia) son los vértices del cuadrado completamente ortogonal del cuadrado.^{[ f ]} Cada vértice de la celda de 16 es un vértice de tres cuadrados grandes ortogonales que se intersecan allí. Cada uno de ellos tiene un cuadrado completamente ortogonal diferente. Por lo tanto, hay tres cuadrados grandes completamente ortogonales a cada vértice: cuadrados de los que el vértice no forma parte.^{[ h ]}

[Clifford_parallels-18] 1 2 Los paralelos de Clifford son líneas curvas que no se intersecan y son paralelas en el sentido de que la distancia perpendicular (más corta) entre ellas es la misma en cada punto.^{[ 7 ]} Una doble hélice es un ejemplo de paralelismo de Clifford en el espacio euclidiano tridimensional ordinario. En el espacio de 4 dimensiones, los paralelos de Clifford aparecen como círculos máximos geodésicos en la 3-esfera .^{[ 8 ]} En la celda de 16 lados, los vértices correspondientes de los cuadrados de círculos máximos completamente ortogonales están todos separados por √ 2 , por lo que estos cuadrados son polígonos paralelos de Clifford. Nótese que solo los vértices de los cuadrados máximos (los puntos en el círculo máximo) están separados por √ 2 ; los puntos en los bordes de los cuadrados (en las cuerdas del círculo) están más cerca entre sí.

[isoclinic_rotation-19] En una rotación isoclínica, los 6 planos ortogonales se desplazan en dos direcciones ortogonales a la vez: giran el mismo ángulo y, al mismo tiempo, se inclinan lateralmente ese mismo ángulo. Un desplazamiento isoclínico (también conocido como desplazamiento de Clifford ) es diagonal en 4 dimensiones. Los puntos se desplazan una distancia igual en cuatro direcciones ortogonales a la vez, y se desplazan una distancia pitagórica total igual a la raíz cuadrada de cuatro veces el cuadrado de esa distancia. Por ejemplo, cuando la celda de 16 radios unitarios gira isoclínicamente 90° en un plano invariante de cuadrado máximo, también gira 90° en el plano invariante de cuadrado máximo completamente ortogonal.^{[ c ]} El plano de cuadrado máximo también se inclina lateralmente 90° para ocupar su plano completamente ortogonal. (Por simetría isoclínica, cada cuadrado grande gira 90° y se inclina lateralmente 90° hacia su plano completamente ortogonal). Cada vértice (en cada cuadrado grande) se desplaza una distancia de √2 / 2 en cada una de las cuatro direcciones ortogonales, una distancia total de √2 , a un vértice en su cuadrado grande completamente ortogonal.

[characteristic_orthoscheme-22] Un ortoesquema es un simplex irregular quiral con caras triangulares rectángulos que es característico de un politopo si lo llena exactamente con sus propias reflexiones en sus caras (sus paredes de espejo ). Todo politopo regular puede diseccionarse radialmente en instancias de su ortoesquema característico que rodean su centro. El ortoesquema característico tiene la forma descrita por el mismo diagrama de Coxeter-Dynkin que el politopo regular sin el anillo de puntos generadores .

[24] Un politopo regular de dimensión k tiene un ortoesquema k característicoy también un ortoesquema ( k -1) característico. Un 4-politopo regular tiene una celda 5 característica (ortoesquema 4) en la que se subdivide mediante sus hiperplanos de simetría (tridimensionales), y también un tetraedro característico (ortoesquema 3) en el que su superficie se subdivide mediante los planos de simetría (bidimensionales) de sus celdas. Después de subdividir su superficie (tridimensional) en tetraedros característicos que rodean el centro de cada celda, su interior (cuatridimensional) puede subdividirse en celdas 5 características añadiendo radios que unan los vértices de los tetraedros característicos de la superficie al centro del 4-politopo.^{[ 11 ]} Los tetraedros y triángulos interiores así formados también serán ortoesquemas.

[reversed_greek_symbols-28] 1 2 ( Coxeter 1973 ) utiliza la letra griega 𝝓 (phi) para representar uno de los tres ángulos característicos 𝟀, 𝝓, 𝟁 de un politopo regular. Dado que 𝝓 se usa comúnmente para representar la constante de la proporción áurea ≈ 1,618, para la cual Coxeter usa 𝝉 (tau), invertimos las convenciones de Coxeter y usamos 𝝉 para representar el ángulo característico.

[characteristic_radii-29] Las cuatro aristas de cada 4-ortoesquema que se encuentran en el centro de un 4-politopo regular tienen longitudes desiguales, porque son los cuatro radios característicos del 4-politopo regular: un radio de vértice, un radio del centro de arista, un radio del centro de cara y un radio del centro de celda. Los cinco vértices del 4-ortoesquema siempre incluyen un vértice del 4-politopo regular, un centro de arista del 4-politopo regular, un centro de cara del 4-politopo regular, un centro de celda del 4-politopo regular y el centro del 4-politopo regular. Esos cinco vértices (en ese orden) comprenden un camino a lo largo de cuatro aristas mutuamente perpendiculares (que hace tres giros en ángulo recto), la característica distintiva de un 4-ortoesquema. El 4-ortoesquema tiene cinco facetas de 3-ortoesquema disímiles.

[isocline-30] 1 2 En el modelo de 16 celdas, dos vértices antipodales son vértices opuestos de dos celdas tetraédricas unidas por caras. Los dos vértices antipodales están conectados por (tres) caminos de círculo máximo de dos aristas diferentes a lo largo de las aristas de las celdas tetraédricas, por varios caminos de tres aristas y por caminos de cuatro aristas en isoclinas y polígonos de Petrie.^{[ q ]}

[Möbius_circle-33] 1 2 3 Una isoclina es un círculo de un tipo especial que corresponde a un par de círculos de Villarceau unidos en un bucle de Möbius . Se curva a través de cuatro dimensiones en lugar de solo dos. Todos los círculos ordinarios tienen una circunferencia de 2𝝅, pero la isoclina de la celda 16 es un círculo con una circunferencia de 4𝝅 (sobre ocho cuerdas de 90°). Una isoclina es un círculo que no se encuentra en un plano, pero para evitar confusiones siempre nos referimos a ella como isoclina y reservamos el término círculo para un círculo ordinario en el plano.

[only_one_disjoint_pair_of_eight-cell_rings-34] 1 2 La 16-celda se puede construir a partir de dos anillos de ocho celdas disjuntos de tres maneras diferentes; tiene tres orientaciones de su par de anillos. Cada orientación "contiene" un par distinto de rotaciones isoclínicas izquierda-derecha, y también un par de cuadrados máximos completamente ortogonales (fibras paralelas de Clifford), por lo que cada orientación es una fibración discreta de la 16-celda. Cada anillo de ocho celdas contiene tres octagramas axiales que tienen diferentes orientaciones (intercambian roles) en las tres fibraciones discretas y seis rotaciones isoclínicas distintas (tres izquierdas y tres derechas) a través de los anillos de celdas. Se pueden ver tres octagramas (de diferentes colores) en la ilustración de un solo anillo de celda, uno en el rol de polígono de Petrie, uno como isoclina derecha y uno como isoclina izquierda. Debido a que cada octagrama juega tres roles, hay exactamente seis isoclinas distintas en la 16-celda, no 18.

[35] Las cinco vistas son la misma proyección ortogonal de la celda de 16 lados en el mismo plano (una sección transversal circular del cilindro anular de ocho lados), vista a lo largo del eje central del cilindro anular cortado que se muestra arriba, desde un extremo del cilindro. La única diferencia radica en qué aristas √2 ycuerdas √4 se omiten para enfocar. Los diferentes colores de las aristas √2 parecen tener longitudes diferentes porque son oblicuas al observador en distintos ángulos. Los vértices están numerados del 1 (arriba) al 8 en sentido contrario a las agujas del reloj.

[isocline_curve-38] 1 2 Cada isoclina tiene las ocho cuerdas √ 2 continuas de sucamino de aristas_{del octagrama {8/3} , y también cuatro cuerdas de diámetro}√ 4 discontinuas que conectan cada cuarto vértice del octagrama pero no se conectan entre sí. Los vértices antipodales también tienen un camino continuo retorcido de cuatro aristas √ 2 mutuamente ortogonales que los conectan. Entre los vértices antipodales, la isoclina se curva suavemente en una hélice sobre las cuatro cuerdas √ 2 de su camino de aristas, tocando los tres vértices intermedios. Cada arista √ 2 es una arista de un cuadrado grande, que es completamente ortogonal a otro cuadrado grande, en el que la cuerda √ 4 es una diagonal.

[counter-rotating_double_helix-39] Excepto en los círculos de 5 y 16 celdas, un par de círculos isoclínicos izquierdo y derecho tienen vértices disjuntos: las hélices isoclínicas izquierda y derecha son paralelas que no se intersecan pero giran en sentido contrario, formando un tipo especial de doble hélice que no puede ocurrir en tres dimensiones (donde las hélices que giran en sentido contrario del mismo radio deben intersecarse).

[each_16-cell_isocline_reaches_all_8_vertices-40] En el politopo de 16 celdas, cada isoclina recorre los 8 vértices: una fibración completa de dos cuadrados máximos completamente ortogonales. El politopo de 5 celdas y el de 16 celdas son los únicos 4-politopos regulares donde cada fibración discreta tiene una sola fibra isoclina.^{[ u ]}

[41] Las isoclinas izquierda y derecha se intersecan en cada vértice. Son secuencias diferentes del mismo conjunto de 8 vértices. Si consideramos únicamente el conjunto de 4 pares de vértices separados por √2 , pueden considerarse paralelas de Clifford. Si consideramos únicamente el conjunto de 4 pares de vértices separados por √4 , pueden considerarse completamente ortogonales.

[FOOTNOTECoxeter1973141§&nbsp;7-x._Historical_remarks-1] Coxeter 1973 , pág. 141, § 7-x. Observaciones históricas.

[2] NW Johnson : Geometrías y transformaciones , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5Capítulo 11: Grupos de simetría finitos , 11.5 Grupos de Coxeter esféricos , pág. 249

[3] Matila Ghyka, La geometría del arte y la vida (1977), pág. 68

[FOOTNOTECoxeter1973120–121§&nbsp;7.2._See_illustration_Fig_7.2<small>B</small>-4] Coxeter 1973 , págs. 120–121, § 7.2. Véase la ilustración Fig.7.2 B.

[FOOTNOTECoxeter1973292–293Table_I(ii):_The_sixteen_regular_polytopes_{''p,q,r''}_in_four_dimensions-5] Coxeter 1973 , pp. 292–293, Tabla I(ii): Los dieciséis politopos regulares { p, q, r } en cuatro dimensiones; Una tabla invaluable que proporciona las 20 métricas de cada 4-politopo en unidades de longitud de arista. Deben ser convertidas algebraicamente para comparar politopos de radio unitario.

[FOOTNOTEKimRote20166§&nbsp;5._Four-Dimensional_Rotations-11] Kim y Rote 2016 , pág. 6, § 5. Rotaciones cuatridimensionales.

[FOOTNOTETyrrellSemple19715–6§&nbsp;3._Clifford's_original_definition_of_parallelism-16] Tyrrell y Semple 1971 , págs. 5–6, § 3. Definición original de paralelismo de Clifford.

[FOOTNOTEKimRote20167–10§&nbsp;6._Angles_between_two_Planes_in_4-Space-17] Kim y Rote 2016 , págs. 7–10, § 6. Ángulos entre dos planos en el espacio de 4 dimensiones.

[FOOTNOTECoxeter1973121§&nbsp;7.21._See_illustration_Fig_7.2<small>B</small>-20] Coxeter 1973 , pág. 121, § 7.21. Véase la ilustración Fig. 7.2 B : " $\beta _{4}$ es una bipirámide de cuatro dimensiones basada en $\beta _{3}$ (con sus dos vértices en direcciones opuestas a lo largo de la cuarta dimensión)."

[FOOTNOTETyrrellSemple1971-21] Tyrrell y Semple 1971 .

[FOOTNOTECoxeter1973130§&nbsp;7.6-23] Coxeter 1973 , pág. 130, § 7.6; "subdivisión simplicial".

[FOOTNOTECoxeter1973292–293Table_I(ii);_"16-cell,_𝛽<sub>4</sub>"-25] Coxeter 1973 , págs. 292–293, Tabla I(ii); "16 celdas, 𝛽₄ ".

[FOOTNOTECoxeter1973139§&nbsp;7.9_The_characteristic_simplex-26] Coxeter 1973 , pág. 139, § 7.9 El simplex característico.

[FOOTNOTECoxeter1973290Table_I(ii);_"dihedral_angles"-27] Coxeter 1973 , pág. 290, Tabla I(ii); "ángulos diedros".

[FOOTNOTECoxeter197045Table_2:_Reflexible_honeycombs_and_their_groups-31] Coxeter 1970 , pág. 45, Tabla 2: Panales flexibles y sus grupos; el panal [3,3,4]₄ es un recubrimiento de la 3-esfera por 2 anillos de 8 celdas tetraédricas.

[FOOTNOTEBanchoff2013-32] Banchoff 2013 .

[FOOTNOTECoxeter1973292–293Table_I(ii);_24-cell_''h<sub>1</sub>''-36] Coxeter 1973 , págs. 292–293, Tabla I(ii); 24-celda h ₁ .

[FOOTNOTECoxeter1973292–293Table_I(ii);_24-cell_''h<sub>2</sub>''-37] Coxeter 1973 , págs. 292–293, Tabla I(ii); 24-celda h ₂ .

[FOOTNOTECoxeter1973293-42] Coxeter 1973 , pág. 293.

[FOOTNOTECoxeter199130,_47-43] Coxeter 1991 , págs. 30, 47.

[FOOTNOTECoxeterShephard1992-44] Coxeter y Shephard 1992 .

[FOOTNOTECoxeter1991108-45] Coxeter 1991 , pág. 108.

[FOOTNOTECoxeter1991114-46] Coxeter 1991 , pág. 114.

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