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Articulo de referencia

Cubo snub

\\mathrm{O} "},"angle":{"wt":"triangle-to-triangle: 153.23° triangle-to-square: 142.98°"},"dual":{"wt":"[[Pentagonal icositetrahedron]]"},"properties":{"wt":"[[Convex set|convex...

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En geometría , el cubo truncado , o cuboctaedro truncado , es un sólido arquimediano con 38 caras: 6 cuadrados y 32 triángulos equiláteros . Tiene 60 aristas y 24 vértices . Kepler lo nombró por primera vez en latín como cubus simus en 1619 en su Harmonices Mundi . [ 1 ] HSM Coxeter , al observar que podía derivarse tanto del octaedro como del cubo, lo llamó cuboctaedro truncado , con un símbolo de Schläfli extendido verticalmente.s{43}{\displaystyle s\scriptstyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}y que representa una alternancia de un cuboctaedro truncado , que tiene el símbolo de Schläflit{43}{\displaystyle t\scriptstyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}.

El cubo truncado, al igual que el dodecaedro truncado , es quiral , lo que significa que no es igual a su imagen especular; tiene dos formas igualmente válidas.

Construcción

El cubo truncado se puede generar tomando las seis caras del cubo, estirándolas hacia afuera para que ya no se toquen, y luego dándoles a cada una una pequeña rotación sobre sus centros (todas en el sentido de las agujas del reloj o todas en sentido contrario) hasta que los espacios entre ellas se puedan llenar con triángulos equiláteros . [ 2 ]

Proceso de construcción de un cubo truncado mediante un rombicuboctaedro.

El cubo truncado también puede construirse a partir de un rombicuboctaedro . Se comienza girando su cara cuadrada (en azul), lo que permite que sus triángulos (en rojo) se giren automáticamente en direcciones opuestas, formando otras caras cuadradas (en blanco) que se convierten en cuadriláteros sesgados que pueden rellenarse con dos triángulos equiláteros. [ 3 ]

El cubo truncado también puede derivarse del cuboctaedro truncado mediante el proceso de alternancia . 24 vértices del cuboctaedro truncado forman un poliedro topológicamente equivalente al cubo truncado; los otros 24 forman su imagen especular. El poliedro resultante es transitivo en sus vértices, pero no uniforme.

Alternancia uniforme de un cuboctaedro truncado

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas de los vértices de un cubo truncado son todas las permutaciones pares de (±1,±1t,±t),{\displaystyle \left(\pm 1,\pm {\frac {1}{t}},\pm t\right),} con un número par de signos más, junto con todas las permutaciones impares con un número impar de signos más, dondet≈1.83929{\displaystyle t\approx 1.83929}es la constante de Tribonacci . [ 4 ] Tomando las permutaciones pares con un número impar de signos más, y las permutaciones impares con un número par de signos más, se obtiene un cubo truncado diferente, la imagen especular. Tomándolos juntos se obtiene el compuesto de dos cubos truncados .

Este cubo snub tiene aristas de longitudα=2+4t−2t2{\displaystyle \alpha ={\sqrt {2+4t-2t^{2}}}}, un número que satisface la ecuación α6−4α4+16α2−32=0,{\displaystyle \alpha ^{6}-4\alpha ^{4}+16\alpha ^{2}-32=0,} y se puede escribir como α=43−163β+2β3≈1.60972β=26+6333.{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\sqrt {{\frac {4}{3}}-{\frac {16}{3\beta }}+{\frac {2\beta }{3}}}}\approx 1.609\,72\\\beta &={\sqrt[{3}]{26+6{\sqrt {33}}}}.\end{aligned}}} Para obtener un cubo truncado con longitud de arista unitaria, divide todas las coordenadas anteriores por el valor α dado anteriormente.

Propiedades

Modelo 3D de un cubo snub y su espejo

El cubo truncado es un sólido arquimediano , lo que significa que es un poliedro altamente simétrico y semirregular, y dos o más caras poligonales regulares diferentes se encuentran en un vértice. [ 5 ] Es quiral , lo que significa que hay dos formas distintas cuando se refleja . Por lo tanto, el cubo truncado tiene simetría octaédrica rotacional.O{\displaystyle \mathrm {O} }. [ 6 ] [ 7 ] Las caras poligonales que se encuentran en cada vértice son cuatro triángulos equiláteros y un cuadrado, y la figura del vértice de un cubo truncado es34⋅4{\displaystyle 3^{4}\cdot 4}El poliedro dual de un cubo truncado es un icositetraedro pentagonal , un sólido de Catalan . [ 8 ] Este también es quiral: En la notación de David McCooey para las dos formas quirales de cada poliedro, el dual de un cubo truncado dextrógiro es un icositetraedro pentagonal levógiro y el dual de un cubo truncado levógiro es un icositetraedro pentagonal dextrógiro. [ 9 ]

Para un cubo snub con longitud de aristaa{\displaystyle a}, ya sea que la forma sea quiral izquierda o derecha, su área superficialA{\displaystyle A}y volumenV{\displaystyle V}son: [ 10 ]A=(6+83)a2≈19.856a2,V=8t+632(t2−3)a3≈7.889a3.{\displaystyle A=\left(6+8{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 19.856a^{2},\qquad V={\frac {8t+6}{3{\sqrt {2(t^{2}-3)}}}}a^{3}\approx 7.889a^{3}.}

El radio circunscritordo{\displaystyle r_{\text{c}}}(el radio de una esfera tangente a los vértices) y el radio medio inscritormetro{\displaystyle r_{\text{m}}}(el radio de una esfera tangente a los bordes) de un cubo truncado se formula en términos de una constante de Tribonacci: [ 11 ]rdo=12t3+1,rmetro=12t3.{\displaystyle r_{\text{c}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {t^{3}+1}},\quad r_{\text{m}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {t^{3}}}.} El cubo truncado tiene un centro de radio cuadrador4{\displaystyle r_{4}}y un centro de radio triangularr3{\displaystyle r_{3}}, formulado como: [ 11 ]r4=12t3−1,r3=12t3−13.{\displaystyle r_{4}={\frac {1}{2}}{\sqrt {t^{3}-1}},\quad r_{3}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {t^{3}-{\tfrac {1}{3}}}}.} El cubo truncado tiene dos ángulos diedros (un ángulo formado por dos caras poligonales). Respectivamente, estos ángulos están formados por un cuadrado y un triángulo y dos triángulos adyacentes [ 11 ].arcos⁡(13(2−t2)),arcos⁡(13(1−2t)).{\displaystyle \arccos \left({\frac {1}{\sqrt {3}}}(2-t^{2})\right),\quad \arccos \left({\tfrac {1}{3}}(1-2t)\right).}

Un cubo truncado tiene un ángulo subtendido por una arista desde el centro [ 12 ].arcos⁡((t2−2)−1).{\displaystyle \arccos \left((t^{2}-2)^{-1}\right).}

Gráfico

La gráfica de un cubo truncado

El esqueleto de un cubo truncado se puede representar como un grafo con 24 vértices y 60 aristas, un grafo arquimediano . [ 13 ]

Apariencia

Un cubo truncado se encuentra en la fuente del Instituto Tecnológico de California . [ 14 ]

En el estudio de la química supramolecular , el cubo truncado es una aplicación de un poliedro artificial para imitar la estructura de las cápsides virales y una proteína de ferritina . [ 15 ]

Referencias

  1. ↑ Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Struss, Chaim (2008). Las simetrías de las cosas . CRC Press . pág.  287. ISBN 978-1-4398-6489-0.
  2. ↑ Holme, A. (2010). Geometría: Nuestro patrimonio cultural . Springer . p. 99. doi : 10.1007/978-3-642-14441-7 . ISBN  978-3-642-14441-7.
  3. ^ Conway, Burgiel y Goodman-Struss (2008) , pág. 287 – 288.
  4. ↑ Collins, Julian (2019). Numbers in Minutes . Hachette. págs. 36-37 . ISBN  978-1-78747-730-8.
  5. ↑ Diudea, MV (2018). Multi-shell Polyhedral Clusters . Carbon Materials: Chemistry and Physics. Vol. 10. Springer . p. 39. doi : 10.1007/978-3-319-64123-2 . ISBN   978-3-319-64123-2.
  6. ↑ Koca, M.; Koca, NO (2013). "Grupos de Coxeter, cuaterniones, simetrías de poliedros y politopos 4D" . Física Matemática: Actas de la 13.ª Conferencia Regional, Antalya, Turquía, 27-31 de octubre de 2010. World Scientific. pág. 49. 
  7. ↑ Cromwell, Peter R. (1997). Poliedros . Cambridge University Press . pág. 386. ISBN  978-0-521-55432-9.
  8. ↑ Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design . Dover Publications, Inc. p. 85. ISBN  978-0-486-23729-9.
  9. ↑
  10. ↑ Berman, Martin (1971). "Poliedros convexos de caras regulares". Journal of the Franklin Institute . 291 (5): 329– 352. doi : 10.1016/0016-0032(71)90071-8 . MR 0290245 . 
  11. 1 2 3
  12. ^ Weisstein, Eric W. "Cubo desaire" . MundoMatemático .
  13. ↑ Read, RC; Wilson, RJ (1998). Un atlas de gráficos . Oxford University Press . pág. 269. 
  14. ↑ Cockram, Bernice (2020). Geometría Sagrada en Foco: Tu Guía Personal . Wellfleet Press. pág. 52. ISBN  978-1-57715-225-5.
  15. ^ Wu, Huang; Wang, Yu; Đorđević, Luka; Kundu, Pramita; Bhunia, Surojit; Chen, Aspen X.-Y.; Feng, Liang; Shen, Dengke; Liu, Wenqi; Zhang, largo; Canción, Bo; Wu, Guangcheng; Liu, Bai-Tong; Yang, Luna Joven; Yang, Yong; Stern, Charlotte L.; Stupp, Samuel I.; Goddard III, William A.; Hu, Wenping; Stoddart, J. Fraser (2025). "Cubos chatos supramoleculares dinámicos". Naturaleza . 637 : 347– 353. doi : 10.1038/s41586-024-08266-3) .
  • Jayatilake, Udaya (marzo de 2005). "Cálculos en poliedros regulares de caras y vértices". Mathematical Gazette . 89 (514): 76– 81. doi : 10.1017/S0025557200176818 . S2CID 125675814 . 
  • McCooey, David I. (2015). "Poliedros visuales" . Recuperado el 8 de diciembre de 2025 .
  • Weisstein, Eric W. , " Cubo truncado " (" Sólido arquimediano ") en MathWorld .
  • Klitzing, Richard. "Poliedros uniformes convexos 3D s3s4s - snic" .
  • Los poliedros uniformes
  • Poliedros de realidad virtual: La enciclopedia de poliedros
  • Plantilla editable e imprimible de un cubo truncado con vista 3D interactiva.
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