Rectificado de 5 celdas

En geometría de cuatro dimensiones , la 5-celda rectificada es un 4-politopo uniforme compuesto por 5 celdas tetraédricas regulares y 5 celdas octaédricas regulares . Cada arista tiene un tetraedro y dos octaedros. Cada vértice tiene dos tetraedros y tres octaedros. En total tiene 30 caras triangulares, 30 aristas y 10 vértices. Cada vértice está rodeado por 3 octaedros y 2 tetraedros; la figura del vértice es un prisma triangular .

Topológicamente, en su máxima simetría, [3,3,3], sólo hay una forma geométrica, que contiene 5 tetraedros regulares y 5 tetraedros rectificados (que es geométricamente igual a un octaedro regular). También es topológicamente idéntico a un segmentocorono tetraedro-octaedro. ^{[ aclaración necesaria ]}

La figura del vértice del prisma rectificado de 5 celdas es un prisma triangular uniforme , formado por tres octaedros alrededor de los lados y dos tetraedros en los extremos opuestos. ^[1]

A pesar de tener el mismo número de vértices que celdas (10) y el mismo número de aristas que caras (30), la celda 5 rectificada no es autodual porque la figura del vértice (un prisma triangular uniforme) no es un dual de las celdas del policoronte.

Visto en una matriz de configuración , se muestran todos los recuentos de incidencia entre elementos. Los números del vector f diagonal se derivan a través de la construcción de Wythoff , dividiendo el orden de grupo completo de un orden de subgrupo eliminando un espejo a la vez. ^[2]

Junto con el símplex y el de 24 celdas , esta forma y su dual (un politopo con diez vértices y diez facetas bipirámidales triangulares ) fue uno de los primeros 4-politopos 2-simples 2-simpliciales conocidos. Esto significa que todas sus caras bidimensionales, y todas las caras bidimensionales de su dual, son triángulos. En 1997, Tom Braden encontró otro par de ejemplos duales, al pegar dos 5 celdas rectificadas juntas; desde entonces, se han construido infinitos politopos 2-simples 2-simpliciales. ^{[3] [4]}

Es uno de los tres 4-politopos semirregulares formados por dos o más celdas que son sólidos platónicos , descubiertos por Thorold Gosset en su artículo de 1900. Lo llamó tetroctaédrico por estar formado por celdas tetraédricas y octaédricas . ^[5]

EL Elte lo identificó en 1912 como un politopo semirregular, etiquetándolo como tC ₅ .

• Tetroctaédrico (Thorold Gosset)
• Dispentachoron
• Batería rectificada de 5 celdas ( Norman W. Johnson )
• Rectificado 4-simplex
• 4-símplex completamente truncado
• Pentachoron rectificado (Acrónimo: rap) (Jonathan Bowers)
• Ambopentachoron (Neil Sloane y John Horton Conway )
• (5,2)- hipersímplex (la envoltura convexa de vectores (0,1) de cinco dimensiones con exactamente dos unos)

Las coordenadas cartesianas de los vértices de una celda rectificada de 5 centrada en el origen que tiene una longitud de arista de 2 son:

En términos más simples, los vértices de la celda 5 rectificada se pueden posicionar en un hiperplano en el espacio 5 como permutaciones de (0,0,0,1,1) o (0,0,1,1,1). Estas construcciones se pueden ver como facetas ortantes positivas del pentacruz rectificado o del penteracto birectificado respectivamente.

La celda 5 rectificada es la figura del vértice del demicubo 5 y la figura del borde del politopo uniforme 2 ₂₁ .

La envoltura convexa de la 5-celda rectificada y su dual (del mismo radio largo) es un policoron no uniforme compuesto por 30 celdas: 10 tetraedros , 20 octaedros (como antiprismas triangulares) y 20 vértices. Su figura de vértice es un bitruco triangular .

La celda 5 rectificada es uno de los 9 politopos 4 uniformes construidos a partir del grupo de Coxeter [3,3,3] .

La celda de 5 rectificada es la segunda en una serie dimensional de politopos semirregulares . Cada politopo uniforme progresivo se construye como la figura del vértice del politopo anterior. Thorold Gosset identificó esta serie en 1900 como la que contiene todas las facetas de politopos regulares , que contienen todos los símplex y ortoplexes ( tetraedros y octaedros en el caso de la celda de 5 rectificada). El símbolo de Coxeter para la celda de 5 rectificada es 0 ₂₁ .

• T. Gosset : Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , Messenger of Mathematics , Macmillan, 1900
• JH Conway y MJT Guy : Politopos arquimedianos de cuatro dimensiones , Actas del Coloquio sobre convexidad en Copenhague, páginas 38 y 39, 1965
• HSM Coxeter :
  • HSM Coxeter, Politopos regulares , 3.ª edición, Dover, Nueva York, 1973
  • Caleidoscopios: escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]  
    • (Artículo 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
    • (Artículo 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Artículo 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Manuscrito de politopos uniformes de Norman Johnson (1991)
  • NW Johnson: La teoría de los politopos uniformes y los panales de abejas , Ph.D. (1966)
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 26) 

• Rectificado de 5 celdas - datos e imágenes
  • 1. Polícora uniforme convexa basada en el pentacorono - Modelo 2, George Olshevsky.
• Klitzing, Richard. "Politopos uniformes 4D (policoros) x3o3o3o - rap".