Ultraproducto

El ultraproducto es una construcción matemática que aparece principalmente en álgebra abstracta y lógica matemática , en particular en teoría de modelos y teoría de conjuntos . Un ultraproducto es el conjunto cociente del producto directo de una familia de estructuras . Todos los factores deben tener la misma signatura . La ultrapotencia es el caso especial de esta construcción en el que todos los factores son iguales.

Por ejemplo, las ultrapotencias se pueden usar para construir nuevos campos a partir de otros dados. Un caso especial de esto es la ultrapotencia de los números reales , que satisface las condiciones para los números hiperreales .

Algunas aplicaciones destacadas de los ultraproductos incluyen demostraciones muy elegantes del teorema de compacidad y del teorema de completitud , el teorema de ultrapotencia de Keisler , que proporciona una caracterización algebraica de la noción semántica de equivalencia elemental, y la presentación de Robinson-Zakon del uso de superestructuras y sus monomorfismos para construir modelos de análisis no estándar, lo que condujo al crecimiento del área del análisis no estándar , que fue iniciada (como una aplicación del teorema de compacidad) por Abraham Robinson .

El método general para obtener ultraproductos utiliza un conjunto de índices.${\displaystyle I,}$una estructura${\displaystyle M_{i}}$(se supone que no está vacío en este artículo) para cada elemento${\displaystyle i\in I}$(todos con la misma firma ) y un ultrafiltro${\displaystyle {\mathcal {U}}}$en${\displaystyle I.}$

Para cualesquiera dos elementos${\displaystyle a_{\bullet }=\left(a_{i}\right)_{i\in I}}$y${\displaystyle b_{\bullet }=\left(b_{i}\right)_{i\in I}}$del producto cartesiano${\textstyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i},}$ declararlos como${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-equivalente , escrito${\displaystyle a_{\bullet }\sim b_{\bullet }}$o${\displaystyle a_{\bullet }=_{\mathcal {U}}b_{\bullet },}$si y solo si el conjunto de índices${\displaystyle \left\{i\in I:a_{i}=b_{i}\right\}}$en lo que coinciden es un elemento de${\displaystyle {\mathcal {U}};}$en símbolos, $${\displaystyle a_{\bullet }\sim b_{\bullet }\;\iff \;\left\{i\in I:a_{i}=b_{i}\right\}\in {\mathcal {U}},}$$ que compara los componentes únicamente en relación con el ultrafiltro${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$ Esta relación binaria${\displaystyle \,\sim \,}$es una relación de equivalencia ^{[ prueba 1 ]} en el producto cartesiano${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}.}$

El ultraproducto de${\displaystyle M_{\bullet }=\left(M_{i}\right)_{i\in I}}$módulo${\displaystyle {\mathcal {U}}}$es el conjunto cociente de${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}}$con respecto a${\displaystyle \sim }$y por lo tanto a veces se denota por ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}\,/\,{\mathcal {U}}}$o${\displaystyle {\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }.}$

Explícitamente, si el${\displaystyle {\mathcal {U}}}$- clase de equivalencia de un elemento${\displaystyle a\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}}$se denota por $${\displaystyle a_{\mathcal {U}}:={\big \{}x\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}\;:\;x\sim a{\big \}}}$$ entonces el ultraproducto es el conjunto de todos${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-clases de equivalencia $${\displaystyle {\prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }\;=\;\prod _{i\in I}M_{i}\,/\,{\mathcal {U}}\;:=\;\left\{a_{\mathcal {U}}\;:\;a\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}\right\}.}$$

A pesar de${\displaystyle {\mathcal {U}}}$Se asumió que era un ultrafiltro, la construcción anterior se puede llevar a cabo de manera más general siempre que${\displaystyle {\mathcal {U}}}$es simplemente un filtro en${\displaystyle I,}$en cuyo caso el conjunto cociente resultante${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}/\,{\mathcal {U}}}$se llama unproducto reducido .

Cuando${\displaystyle {\mathcal {U}}}$es un ultrafiltro principal (lo cual ocurre si y solo si${\displaystyle {\mathcal {U}}}$contiene su núcleo${\displaystyle \cap \,{\mathcal {U}}}$) entonces el ultraproducto es isomorfo a uno de los factores. Y así, usualmente,${\displaystyle {\mathcal {U}}}$no es un ultrafiltro principal , lo cual ocurre si y solo si${\displaystyle {\mathcal {U}}}$es gratis (que significa${\displaystyle \cap \,{\mathcal {U}}=\varnothing }$), o equivalentemente, si cada subconjunto cofinito de${\displaystyle I}$es un elemento de${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$ Dado que cada ultrafiltro en un conjunto finito es principal, el conjunto de índices${\displaystyle I}$En consecuencia, también suele ser infinito.

El ultraproducto actúa como un espacio de producto de filtro donde los elementos son iguales si son iguales solo en los componentes filtrados (los componentes no filtrados se ignoran bajo la equivalencia). Se puede definir una medida finitamente aditiva.${\displaystyle m}$en el conjunto de índices${\displaystyle I}$al decir${\displaystyle m(A)=1}$si${\displaystyle A\in {\mathcal {U}}}$y${\displaystyle m(A)=0}$En caso contrario, dos miembros del producto cartesiano son equivalentes precisamente si son iguales casi en todas partes del conjunto de índices. El ultraproducto es el conjunto de clases de equivalencia así generadas.

Operaciones finitas sobre el producto cartesiano${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}}$se definen punto por punto (por ejemplo, si${\displaystyle +}$entonces es una función binaria${\displaystyle a_{i}+b_{i}=(a+b)_{i}}$). Otras relaciones pueden extenderse de la misma manera: $${\displaystyle R\left(a_{\mathcal {U}}^{1},\dots ,a_{\mathcal {U}}^{n}\right)~\iff ~\left\{i\in I:R^{M_{i}}\left(a_{i}^{1},\dots ,a_{i}^{n}\right)\right\}\in {\mathcal {U}},}$$ dónde${\displaystyle a_{\mathcal {U}}}$denota el${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-clase de equivalencia de${\displaystyle a}$con respecto a${\displaystyle \sim .}$ En particular, si cada${\displaystyle M_{i}}$Si es un campo ordenado , entonces también lo es el ultraproducto.

Los números hiperreales son el ultraproducto de una copia de los números reales para cada número natural, con respecto a un ultrafiltro sobre los números naturales que contiene todos los conjuntos cofinitos. Su orden es la extensión del orden de los números reales. Por ejemplo, la secuencia${\displaystyle \omega }$dado por${\displaystyle \omega _{i}=i}$define una clase de equivalencia que representa un número hiperreal mayor que cualquier número real.

De forma análoga, se pueden definir números enteros no estándar , números complejos no estándar , etc., tomando el ultraproducto de copias de las estructuras correspondientes.

Como ejemplo de la transferencia de relaciones al ultraproducto, consideremos la secuencia${\displaystyle \psi }$definido por${\displaystyle \psi _{i}=2i.}$Porque${\displaystyle \psi _{i}>\omega _{i}=i}$a pesar de${\displaystyle i,}$De ello se deduce que la clase de equivalencia de${\displaystyle \psi _{i}=2i}$es mayor que la clase de equivalencia de${\displaystyle \omega _{i}=i,}$de modo que pueda interpretarse como un número infinito que es mayor que el construido originalmente. Sin embargo, sea${\displaystyle \chi _{i}=i}$para${\displaystyle i}$no es igual a${\displaystyle 7,}$pero${\displaystyle \chi _{7}=8.}$El conjunto de índices en los que${\displaystyle \omega }$y${\displaystyle \chi }$estar de acuerdo es miembro de cualquier ultrafiltro (porque${\displaystyle \omega }$y${\displaystyle \chi }$coinciden en casi todas partes), así que${\displaystyle \omega }$y${\displaystyle \chi }$pertenecen a la misma clase de equivalencia.

En la teoría de los cardinales grandes , una construcción estándar consiste en tomar el ultraproducto de todo el universo de la teoría de conjuntos con respecto a algún ultrafiltro cuidadosamente elegido.${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$Propiedades de este ultrafiltro${\displaystyle {\mathcal {U}}}$tienen una fuerte influencia en las propiedades (de orden superior) del ultraproducto; por ejemplo, si${\displaystyle {\mathcal {U}}}$es${\displaystyle \sigma }$-completo, entonces el ultraproducto volverá a estar bien fundamentado. (Véase el cardinal mensurable para el ejemplo prototípico).

El teorema de Łoś, también llamado teorema fundamental de los ultraproductos , se debe a Jerzy Łoś (el apellido se pronuncia [ ˈwɔɕ ] , aproximadamente "wash" o [ ˈɫɔɕ ] ). Afirma que cualquier fórmula de primer orden es verdadera en el ultraproducto si y solo si el conjunto de índices${\displaystyle i}$de tal manera que la fórmula sea verdadera en${\displaystyle M_{i}}$es miembro de${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$Más precisamente:

Dejar${\displaystyle \sigma }$ser una firma,${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ser un ultrafiltro sobre un conjunto${\displaystyle I,}$y para cada${\displaystyle i\in I}$dejar${\displaystyle M_{i}}$ser un${\displaystyle \sigma }$-estructura. Deje${\displaystyle {\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }}$o${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}/{\mathcal {U}}}$ser el ultraproducto del${\displaystyle M_{i}}$con respecto a${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$ Luego, para cada${\displaystyle a^{1},\ldots ,a^{n}\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i},}$dónde${\displaystyle a^{k}=\left(a_{i}^{k}\right)_{i\in I},}$y por cada${\displaystyle \sigma }$-fórmula${\displaystyle \phi ,}$$${\displaystyle {\prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }\models \phi \left[a_{\mathcal {U}}^{1},\ldots ,a_{\mathcal {U}}^{n}\right]~\iff ~\{i\in I:M_{i}\models \phi [a_{i}^{1},\ldots ,a_{i}^{n}]\}\in {\mathcal {U}}.}$$

El teorema se demuestra por inducción sobre la complejidad de la fórmula.${\displaystyle \phi .}$El hecho de que${\displaystyle {\mathcal {U}}}$es un ultrafiltro (y no solo un filtro) se usa en la cláusula de negación, y el axioma de elección es necesario en el paso del cuantificador existencial. Como aplicación, se obtiene el teorema de transferencia para campos hiperreales .

En la teoría de modelos y la teoría de conjuntos , se suele considerar el límite directo de una secuencia de ultrapotencias. En la teoría de modelos , esta construcción puede denominarse ultralímite o ultrapotencia límite .

Comenzando con una estructura,${\displaystyle A_{0}}$y un ultrafiltro,${\displaystyle {\mathcal {D}}_{0},}$formar un ultrapoder,${\displaystyle A_{1}.}$Luego repita el proceso para formar${\displaystyle A_{2},}$y así sucesivamente. Para cada uno${\displaystyle n}$existe una incrustación diagonal canónica${\displaystyle A_{n}\to A_{n+1}.}$En etapas límite, como por ejemplo${\displaystyle A_{\omega },}$forman el límite directo de las etapas anteriores. Uno puede continuar hacia lo transfinito.

La mónada ultrafiltro es la mónada de codensidad de la inclusión de la categoría de conjuntos finitos en la categoría de todos los conjuntos . ^{[ 1 ]}

De manera similar, elLa mónada ultraproducto es la mónada de codensidad de la inclusión de la categoría${\displaystyle \mathbf {FinFam} }$de familias de conjuntos con índice finito en la categoría${\displaystyle \mathbf {Fam} }$de todas las familias indexadas de conjuntos. Así que, en este sentido, los ultraproductos son categóricamente inevitables. ^{[ 1 ]} Explícitamente, un objeto de${\displaystyle \mathbf {Fam} }$consta de un conjunto de índices no vacío${\displaystyle I}$y una familia indexada${\displaystyle \left(M_{i}\right)_{i\in I}}$de conjuntos. Un morfismo${\displaystyle \left(M_{i}\right)_{i\in I}\to \left(N_{i}\right)_{j\in J}}$entre dos objetos consiste en una función${\displaystyle \phi :J\to I}$entre los conjuntos de índices y un${\displaystyle J}$-familia indexada${\displaystyle \left(\phi _{j}\right)_{j\in J}}$de función${\displaystyle \phi _{j}:M_{\phi (j)}\to N_{j}.}$ La categoría${\displaystyle \mathbf {FinFam} }$es una subcategoría completa de esta categoría de${\displaystyle \mathbf {Fam} }$compuesto por todos los objetos${\displaystyle \left(M_{i}\right)_{i\in I}}$cuyo conjunto de índices${\displaystyle I}$es finito. La mónada de codensidad del mapa de inclusión${\displaystyle \mathbf {FinFam} \hookrightarrow \mathbf {Fam} }$entonces, en esencia, está dado por $${\displaystyle \left(M_{i}\right)_{i\in I}~\mapsto ~\left(\prod _{i\in I}M_{i}\,/\,{\mathcal {U}}\right)_{{\mathcal {U}}\in U(I)}\,.}$$

• Teorema de compacidad – Teorema en lógica matemática 
• Extensor (teoría de conjuntos)
• Teorema de Löwenheim-Skolem : existencia y cardinalidad de los modelos de teorías lógicas. 
• Principio de transferencia : concepto en la teoría de modelos. 
• Ultrafiltro – Filtro adecuado de máxima potencia 

Pruebas

• Bell, John Lane; Slomson, Alan B. (2006) [1969]. Modelos y ultraproductos: Una introducción (reimpresión de la  edición de 1974). Dover Publications . ISBN 0-486-44979-3.
• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, HP (2000) [1981]. Un curso de álgebra universal (  edición del milenio).