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Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias

Ilustración de la integración numérica para la ecuación diferencial y ′ = y , y ( 0 ) = 1. {\displaystyle y'=y,y(0)=1.} Azul: método de Euler Verde: Método del punto med...

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Ilustración de la integración numérica para la ecuación diferencialy′=y,y(0)=1.{\displaystyle y'=y,y(0)=1.}
  Azul: método de Euler
  Rojo: Solución exacta:y=mit{\textstyle y=e^{t}}.
El tamaño del paso esh=1.0{\displaystyle h=1.0}.
La misma ilustración parah=0,25.{\displaystyle h=0.25.}El método del punto medio converge más rápido que el método de Euler, ya queh→0{\displaystyle h\to 0}.

Los métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias son métodos que se utilizan para encontrar aproximaciones numéricas a las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Su uso también se conoce como " integración numérica ", aunque este término también puede referirse al cálculo de integrales .

Muchas ecuaciones diferenciales no pueden resolverse de forma exacta. Sin embargo, para fines prácticos,  como en ingeniería  , una aproximación numérica a la solución suele ser suficiente. Los algoritmos estudiados aquí pueden utilizarse para calcular dicha aproximación. Un método alternativo consiste en emplear técnicas de cálculo para obtener un desarrollo en serie de la solución.

Las ecuaciones diferenciales ordinarias aparecen en muchas disciplinas científicas, como la física , la química , la biología y la economía . [ 1 ] Además, algunos métodos en ecuaciones diferenciales parciales numéricas convierten la ecuación diferencial parcial en una ecuación diferencial ordinaria, que luego debe resolverse.

El problema

Una ecuación diferencial de primer orden es un problema de valor inicial (PVI) de la forma, [ 2 ]

dóndeF{\displaystyle f}es una funciónF:[t0,∞)×Rd→Rd{\displaystyle f:[t_{0},\infty )\times \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d}}y la condición inicialy0∈Rd{\displaystyle y_{0}\in \mathbb {R} ^{d}}es un vector dado. De primer orden significa que solo aparece la primera derivada de y en la ecuación, y las derivadas de orden superior están ausentes.

Sin pérdida de generalidad para sistemas de orden superior, nos restringimos a ecuaciones diferenciales de primer orden , porque una EDO de orden superior se puede convertir en un sistema más grande de ecuaciones de primer orden introduciendo variables adicionales. Por ejemplo, la ecuación de segundo orden y ′′ = − y se puede reescribir como dos ecuaciones de primer orden: y ′ = z y z ′ = − y .

En esta sección, describimos métodos numéricos para problemas de valor inicial ( PVI) y señalamos que los problemas de valor en la frontera (PVF) requieren un conjunto diferente de herramientas. En un PVF, se definen valores, o componentes de la solución y, en más de un punto. Por ello, es necesario utilizar diferentes métodos para resolver PVF. Por ejemplo, el método de disparo (y sus variantes) o métodos globales como diferencias finitas , [ 3 ] métodos de Galerkin , [ 4 ] o métodos de colocación son apropiados para esta clase de problemas.

El teorema de Picard-Lindelöf establece que existe una solución única, siempre que f sea Lipschitz-continua .

Métodos

Los métodos numéricos para resolver problemas de valor inicial de primer orden suelen dividirse en dos grandes categorías: [ 5 ] métodos lineales multipaso o métodos de Runge-Kutta . Una división adicional se puede realizar dividiendo los métodos en explícitos e implícitos. Por ejemplo, los métodos lineales multipaso implícitos incluyen los métodos de Adams-Moulton y los métodos de diferenciación hacia atrás (BDF), mientras que los métodos implícitos de Runge-Kutta [ 6 ] incluyen Runge-Kutta diagonalmente implícito (DIRK), [ 7 ] [ 8 ] Runge-Kutta diagonalmente simple implícito (SDIRK), [ 9 ] y Gauss-Radau [ 10 ] (basado en la cuadratura gaussiana [ 11 ] ) métodos numéricos. Ejemplos explícitos de la familia lineal multipaso incluyen los métodos de Adams-Bashforth , y cualquier método de Runge-Kutta con un tablero de Butcher diagonal inferior es explícito . Como regla general, las ecuaciones diferenciales rígidas requieren el uso de esquemas implícitos, mientras que los problemas no rígidos se pueden resolver de manera más eficiente con esquemas explícitos.

Los denominados métodos lineales generales (GLM) son una generalización de las dos grandes clases de métodos anteriores. [ 12 ]

Método de Euler

Desde cualquier punto de una curva, se puede hallar una aproximación de un punto cercano en la misma curva desplazándose una corta distancia a lo largo de una línea tangente a la curva.

Partiendo de la ecuación diferencial ( 1 ), reemplazamos la derivada y ′ por la aproximación de diferencias finitas.

que, al reorganizarse, produce la siguiente fórmula y(t+h)≈y(t)+hy′(t){\displaystyle y(t+h)\approx y(t)+hy'(t)} y usando ( 1 ) se obtiene:

Esta fórmula se suele aplicar de la siguiente manera. Elegimos un tamaño de paso h y construimos la secuencia.t0,t1=t0+h,t2=t0+2h,…{\displaystyle t_{0},t_{1}=t_{0}+h,t_{2}=t_{0}+2h,\dots } Denotamos porynorte{\displaystyle y_{n}}una estimación numérica de la solución exactay(tnorte){\displaystyle y(t_{n})}Motivados por ( 3 ), calculamos estas estimaciones mediante el siguiente esquema recursivo.

Este es el método de Euler (o método de Euler hacia adelante , en contraste con el método de Euler hacia atrás , que se describirá más adelante). El método recibe su nombre de Leonhard Euler , quien lo describió en 1768.

El método de Euler es un ejemplo de un método explícito . Esto significa que el nuevo valor y n +1 se define en términos de cosas que ya se conocen, como y n .

Método de Euler hacia atrás

Si, en lugar de ( 2 ), usamos la aproximación

obtenemos el método de Euler hacia atrás :

El método de Euler hacia atrás es un método implícito , lo que significa que debemos resolver una ecuación para hallar y n +1 . A menudo se utiliza la iteración de punto fijo o (alguna modificación del) método de Newton-Raphson para lograrlo.

Resolver esta ecuación lleva más tiempo que con métodos explícitos; este coste debe tenerse en cuenta al seleccionar el método a utilizar. La ventaja de los métodos implícitos como ( 6 ) es que suelen ser más estables para resolver una ecuación rígida , lo que significa que se puede utilizar un tamaño de paso h mayor .

Método del integrador exponencial de primer orden

Los integradores exponenciales describen una gran clase de integradores que han experimentado un gran desarrollo recientemente. [ 13 ] Se remontan al menos a la década de 1960.

En lugar de ( 1 ), suponemos que la ecuación diferencial es de la forma

o se ha linealizado localmente alrededor de un estado de fondo para producir un término lineal.−Ay{\displaystyle -Ay}y un término no linealnorte(y){\displaystyle {\mathcal {N}}(y)}.

Los integradores exponenciales se construyen multiplicando ( 7 ) pormiAt{\textstyle e^{At}}y, e integrando exactamente el resultado durante un intervalo de tiempo.[tnorte,tnorte+1]{\displaystyle [t_{n},t_{n+1}]}dóndetnorte+1=tnorte+h{\displaystyle t_{n+1}=t_{n}{+}h}:ynorte+1=mi−Ahynorte+∫0hmi−(h−τ)Anorte(y(tnorte+τ))dτ.{\displaystyle y_{n+1}=e^{-Ah}y_{n}+\int _{0}^{h}e^{-(h-\tau )A}{\mathcal {N}}{\left(y\left(t_{n}+\tau \right)\right)}\,d\tau .} Esta ecuación integral es exacta, pero no define la integral.

El integrador exponencial de primer orden se puede realizar manteniendonorte(y(tnorte+τ)){\displaystyle {\mathcal {N}}(y(t_{n}+\tau ))}constante en todo el intervalo:

Generalizaciones

El método de Euler a menudo no es lo suficientemente preciso. En términos más exactos, solo tiene orden uno (el concepto de orden se explica más adelante). Esto llevó a los matemáticos a buscar métodos de orden superior.

Una posibilidad consiste en utilizar no solo el valor previamente calculado y n para determinar y n +1 , sino también en hacer que la solución dependa de valores anteriores. Esto da lugar a un método denominado de pasos múltiples . Quizás el más sencillo sea el método de salto de rana, que es de segundo orden y (en términos generales) se basa en dos valores de tiempo.

Casi todos los métodos prácticos de pasos múltiples pertenecen a la familia de métodos lineales de pasos múltiples , que tienen la forma αkynorte+k+αk−1ynorte+k−1+⋯+α0ynorte=h[βkF(tnorte+k,ynorte+k)+βk−1F(tnorte+k−1,ynorte+k−1)+⋯+β0F(tnorte,ynorte)].{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\alpha _{k}y_{n+k}+\alpha _{k-1}y_{n+k-1}+\cdots +\alpha _{0}y_{n}\\&{}\quad =h\left[\beta _{k}f(t_{n+k},y_{n+k})+\beta _{k-1}f(t_{n+k-1},y_{n+k-1})+\cdots +\beta _{0}f(t_{n},y_{n})\right].\end{aligned}}}

Otra posibilidad es utilizar más puntos en el intervalo[tnorte,tnorte+1]{\displaystyle [t_{n},t_{n+1}]}Esto da lugar a la familia de métodos de Runge-Kutta , que reciben su nombre de Carl Runge y Martin Kutta . Uno de sus métodos de cuarto orden es especialmente popular.

Funciones avanzadas

Una buena implementación de uno de estos métodos para resolver una EDO implica más que la fórmula de avance temporal.

A menudo resulta ineficiente usar siempre el mismo tamaño de paso, por lo que se han desarrollado métodos con tamaño de paso variable . Generalmente, el tamaño de paso se elige de manera que el error (local) por paso sea inferior a un cierto nivel de tolerancia. Esto implica que los métodos también deben calcular un indicador de error , una estimación del error local.

Una extensión de esta idea consiste en elegir dinámicamente entre diferentes métodos de distintos órdenes (esto se denomina método de orden variable ). Los métodos basados ​​en la extrapolación de Richardson , [ 14 ] como el algoritmo de Bulirsch-Stoer , [ 15 ] [ 16 ] se utilizan a menudo para construir diversos métodos de distintos órdenes.

Otras características deseables incluyen:

  • Salida densa : aproximaciones numéricas económicas para todo el intervalo de integración, y no solo en los puntos t 0 , t 1 , t 2 , ...
  • Localización de eventos : encontrar los momentos en que, por ejemplo, una función particular desaparece. Esto normalmente requiere el uso de un algoritmo de búsqueda de raíces .
  • Soporte para computación paralela .
  • cuando se utiliza para integrar con respecto al tiempo, reversibilidad temporal

Métodos alternativos

Muchos métodos no se ajustan al marco aquí descrito. Algunas clases de métodos alternativos son:

  • Métodos multiderivativos , que utilizan no solo la función f sino también sus derivadas. Esta clase incluye los métodos de Hermite-Obreschkoff y los métodos de Fehlberg , así como métodos como el método de Parker-Sochacki [ 17 ] o el método de Bychkov-Scherbakov, que calculan los coeficientes de la serie de Taylor de la solución y de forma recursiva.
  • Métodos para EDO de segundo orden . Dijimos que todas las EDO de orden superior pueden transformarse en EDO de primer orden de la forma  (1). Si bien esto es cierto, puede que no sea la mejor manera de proceder. En particular, los métodos de Nyström trabajan directamente con ecuaciones de segundo orden.
  • Los métodos de integración geométrica [ 18 ] [ 19 ] están especialmente diseñados para clases especiales de EDO (por ejemplo, integradores simplécticos para la solución de ecuaciones hamiltonianas ). Estos métodos se aseguran de que la solución numérica respete la estructura o geometría subyacente de dichas clases.
  • Los métodos de sistemas de estados cuantizados son una familia de métodos de integración de ecuaciones diferenciales ordinarias basados ​​en la idea de cuantización de estados. Son eficientes al simular sistemas dispersos con discontinuidades frecuentes.

Métodos paralelos en el tiempo

Algunos problemas de volumen inicial (PVI) requieren una integración con una resolución temporal tan alta o durante intervalos de tiempo tan largos que los métodos clásicos de integración secuencial resultan computacionalmente inviables para ejecutarse en tiempo real (por ejemplo, PVI en predicción numérica del tiempo, modelado de plasma y dinámica molecular). Para abordar estos problemas, se han desarrollado métodos de paralelismo temporal (PinT) con el fin de reducir los tiempos de ejecución de las simulaciones mediante el uso de computación paralela .

Los primeros métodos PinT (el primero propuesto en la década de 1960) [ 20 ] fueron inicialmente ignorados por los investigadores debido a que las arquitecturas de computación paralela que requerían aún no estaban ampliamente disponibles. Con una mayor capacidad de cómputo, el interés se reavivó a principios de la década de 2000 con el desarrollo de Parareal , un algoritmo PinT flexible y fácil de usar, adecuado para resolver una amplia variedad de problemas de valor inicial (PVI). La llegada de la computación a exaescala ha propiciado que los algoritmos PinT atraigan cada vez más la atención de la investigación y se desarrollen de manera que puedan aprovechar las supercomputadoras más potentes del mundo . Los métodos más populares a partir de 2023 incluyen Parareal, PFASST, ParaDiag y MGRIT. [ 21 ]

Análisis

El análisis numérico no solo consiste en el diseño de métodos numéricos, sino también en su análisis. Tres conceptos centrales en este análisis son:

  • convergencia : si el método se aproxima a la solución,
  • orden : qué tan bien se aproxima a la solución, y
  • estabilidad : si los errores se amortiguan. [ 22 ]

Convergencia

Se dice que un método numérico es convergente si la solución numérica se aproxima a la solución exacta cuando el tamaño del paso h tiende a 0. Más precisamente, requerimos que para cada EDO (1) con una función de Lipschitz f y cada t *  >  0,

límiteh→0+máximonorte=0,1,…,⌊t∗/h⌋‖ynorte,h−y(tnorte)‖=0.{\displaystyle \lim _{h\to 0^{+}}\max _{n=0,1,\dots ,\lfloor t^{*}/h\rfloor }\left\|y_{n,h}-y(t_{n})\right\|=0.}

Todos los métodos mencionados anteriormente son convergentes.

Coherencia y orden

Supongamos que el método numérico es

ynorte+k=Ψ(tnorte+k;ynorte,ynorte+1,…,ynorte+k−1;h).{\displaystyle y_{n+k}=\Psi (t_{n+k};y_{n},y_{n+1},\dots ,y_{n+k-1};h).\,}

El error local (de truncamiento) del método es el error cometido en un paso del mismo. Es decir, es la diferencia entre el resultado que proporciona el método, suponiendo que no se cometió ningún error en los pasos anteriores, y la solución exacta.

δnorte+kh=Ψ(tnorte+k;y(tnorte),y(tnorte+1),…,y(tnorte+k−1);h)−y(tnorte+k).{\displaystyle \delta _{n+k}^{h}=\Psi {\left(t_{n+k};y(t_{n}),y(t_{n+1}),\dots ,y(t_{n+k-1});h\right)}-y(t_{n+k}).}

Se dice que el método es consistente si límiteh→0δnorte+khh=0.{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\delta _{n+k}^{h}}{h}}=0.} El método tiene ordenpag{\displaystyle p}si δnorte+kh=O(hpag+1)como h→0.{\displaystyle \delta _{n+k}^{h}=O(h^{p+1})\quad {\text{cuando }}h\to 0.} Por lo tanto, un método es consistente si tiene un orden mayor que 0. El método de Euler (hacia adelante) (4) y el método de Euler (hacia atrás) (6) presentados anteriormente tienen orden 1, por lo que son consistentes. La mayoría de los métodos que se utilizan en la práctica alcanzan un orden superior. La consistencia es una condición necesaria para la convergencia , pero no suficiente; para que un método sea convergente, debe ser consistente y estable a cero .

Un concepto relacionado es el error global (de truncamiento) , el error que se produce en todos los pasos necesarios para alcanzar un tiempo fijo.t{\displaystyle t}. Explícitamente, el error global en el momentot{\displaystyle t}esynorte−y(t){\displaystyle y_{N}-y(t)}dóndenorte=(t−t0)/h{\displaystyle N=(t-t_{0})/h}. El error global de unpag{\displaystyle p}El método de un paso de orden -ésimo esO(hpag){\displaystyle O(h^{p})}En particular, dicho método es convergente. Esta afirmación no es necesariamente cierta para los métodos de varios pasos.

Estabilidad y rigidez

Para algunas ecuaciones diferenciales, la aplicación de métodos estándar —como el método de Euler, los métodos explícitos de Runge-Kutta o los métodos de pasos múltiples (por ejemplo, los métodos de Adams-Bashforth)— muestra inestabilidad en las soluciones, aunque otros métodos pueden producir soluciones estables. Este "comportamiento difícil" en la ecuación (que no necesariamente es complejo en sí mismo) se describe como rigidez y a menudo es causado por la presencia de diferentes escalas de tiempo en el problema subyacente. [ 23 ] Por ejemplo, una colisión en un sistema mecánico como en un oscilador de impacto suele ocurrir en una escala de tiempo mucho menor que el tiempo para el movimiento de los objetos; esta discrepancia hace "cambios muy bruscos" en las curvas de los parámetros de estado.

Los problemas de rigidez son omnipresentes en la cinética química , la teoría de control , la mecánica de sólidos , la predicción meteorológica , la biología , la física de plasmas y la electrónica . Una forma de superar la rigidez es extender la noción de ecuación diferencial a la de inclusión diferencial , que permite y modela la no suavidad. [ 24 ] [ 25 ]

Historia

A continuación se muestra una cronología de algunos desarrollos importantes en este campo. [ 26 ] [ 27 ]

Soluciones numéricas a problemas de contorno unidimensionales de segundo orden

Los problemas de contorno (PCC) se suelen resolver numéricamente resolviendo un problema matricial aproximadamente equivalente obtenido al discretizar el PCC original. [ 28 ] El método más utilizado para resolver numéricamente PCC en una dimensión se denomina método de diferencias finitas . [ 3 ] Este método aprovecha las combinaciones lineales de valores puntuales para construir coeficientes de diferencias finitas que describen las derivadas de la función. Por ejemplo, la aproximación de diferencias centrales de segundo orden a la primera derivada viene dada por:

tú′(incógnitai)=túi+1−túi−12h+O(h2),{\displaystyle u'(x_{i})={\frac {u_{i+1}-u_{i-1}}{2h}}+{\mathcal {O}}(h^{2}),}

y la diferencia central de segundo orden para la segunda derivada viene dada por:

tú″(incógnitai)=túi+1−2túi+túi−1h2+O(h2).{\displaystyle u''(x_{i})={\frac {u_{i+1}-2u_{i}+u_{i-1}}{h^{2}}}+{\mathcal {O}}(h^{2}).}

En ambas fórmulas,h=incógnitai−incógnitai−1{\displaystyle h=x_{i}-x_{i-1}}es la distancia entre valores x vecinos en el dominio discretizado. A continuación, se construye un sistema lineal que puede resolverse mediante métodos matriciales estándar . Por ejemplo, supongamos que la ecuación a resolver es:

d2túdincógnita2=tú,tú(0)=0,tú(1)=1.{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=u,\\[1ex]&u(0)=0,\\&u(1)=1.\end{aligned}}}

El siguiente paso sería discretizar el problema y utilizar aproximaciones de derivadas lineales como:

túi″=túi+1−2túi+túi−1h2{\displaystyle u''_{i}={\frac {u_{i+1}-2u_{i}+u_{i-1}}{h^{2}}}}

y resolver el sistema de ecuaciones lineales resultante. Esto daría lugar a ecuaciones como las siguientes:

túi+1−2túi+túi−1h2−túi=0,∀i=1,2,3,…,norte−1.{\displaystyle {\frac {u_{i+1}-2u_{i}+u_{i-1}}{h^{2}}}-u_{i}=0,\quad \forall i={1,2,3,\dots ,n-1}.}

A primera vista, este sistema de ecuaciones parece tener dificultades asociadas al hecho de que la ecuación no incluye términos que no estén multiplicados por variables, pero en realidad esto es falso. En i = 1 y n − 1 hay un término que involucra los valores de contorno.tú(0)=tú0{\displaystyle u(0)=u_{0}}ytú(1)=túnorte{\displaystyle u(1)=u_{n}}y puesto que estos dos valores son conocidos, basta con sustituirlos en esta ecuación y, como resultado, se obtiene un sistema no homogéneo de ecuaciones lineales que tiene soluciones no triviales.

Véase también

Notas

  1. ↑ Chicone, C. (2006). Ecuaciones diferenciales ordinarias con aplicaciones (Vol. 34). Springer Science & Business Media.
  2. ↑ Bradie (2006 , págs. 533–655) 
  3. 1 2 LeVeque, RJ (2007). Métodos de diferencias finitas para ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales: problemas de estado estacionario y dependientes del tiempo (Vol. 98). SIAM.
  4. ↑ Slimane Adjerid y Mahboub Baccouch (2010) Métodos de Galerkin. Scholarpedia, 5(10):10056.
  5. ↑ Griffiths, DF, & Higham, DJ (2010). Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias: problemas de valor inicial. Springer Science & Business Media.
  6. ^ Hairer, Nørsett y Wanner (1993 , págs. 204-215) 
  7. ↑ Alexander, R. (1977). Métodos de Runge-Kutta implícitos diagonales para EDO rígidas. SIAM Journal on Numerical Analysis, 14(6), 1006-1021.
  8. ↑ Cash, JR (1979). Fórmulas de Runge-Kutta implícitas diagonales con estimaciones de error. IMA Journal of Applied Mathematics, 24(3), 293-301.
  9. ↑ Ferracina, L., & Spijker, MN (2008). Estabilidad fuerte de los métodos Runge-Kutta implícitos diagonalmente simples. Applied Numerical Mathematics, 58(11), 1675-1686.
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  11. ↑ Weisstein, Eric W. "Cuadradura gaussiana". De MathWorld, un recurso web de Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/GaussianQuadrature.html
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  21. ↑ "Parallel-in-Time.org" . Parallel-in-Time.org . Consultado el 15 de noviembre de 2023 .
  22. ↑ Higham, NJ (2002). Precisión y estabilidad de los algoritmos numéricos (Vol. 80). SIAM.
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  25. ↑ Thao Dang (2011). «Pruebas basadas en modelos de sistemas híbridos». En Justyna Zander, Ina Schieferdecker y Pieter J. Mosterman (eds.). Pruebas basadas en modelos para sistemas embebidos . CRC Press. pág. 411. ISBN  978-1-4398-1845-9.
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  27. ↑ Butcher, JC (1996). Una historia de los métodos de Runge-Kutta. Matemáticas numéricas aplicadas, 20(3), 247-260.
  28. ↑ Ascher, UM, Mattheij, RM y Russell, RD (1995). Solución numérica de problemas de valores en la frontera para ecuaciones diferenciales ordinarias. Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas.

Referencias

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  • Ernst Hairer y Gerhard Wanner, Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias II: Problemas rígidos y diferenciales-algebraicos, segunda edición, Springer Verlag, Berlín, 1996. ISBN 3-540-60452-9( Esta monografía de dos volúmenes abarca sistemáticamente todos los aspectos del campo).
  • Hochbruck, Marlis ; Ostermann, Alexander (mayo de 2010). "Integradores exponenciales". Acta Numerica . 19 : 209–286 . Bibcode : 2010AcNum..19..209H . CiteSeerX 10.1.1.187.6794 . doi : 10.1017/S0962492910000048 . S2CID 4841957 .  
  • Arieh Iserles, Primer curso de análisis numérico de ecuaciones diferenciales, Cambridge University Press, 1996. ISBN 0-521-55376-8(tapa dura), ISBN 0-521-55655-4(Libro de bolsillo). (Libro de texto dirigido a estudiantes avanzados de pregrado y posgrado en matemáticas, que también trata sobre ecuaciones diferenciales parciales numéricas ).
  • John Denholm Lambert, Métodos numéricos para sistemas diferenciales ordinarios, John Wiley & Sons, Chichester, 1991. ISBN 0-471-92990-5( Libro de texto, un poco más exigente que el libro de Iserles).
  • Joseph W. Rudmin, Aplicación del método Parker-Sochacki a la mecánica celeste. Archivado el 16 de mayo de 2016 en el Archivo Web Portugués , 1998.
  • Dominique Tournès, L'intégration approchée des équations différentielles ordinaires (1671-1914) , thèse de doctorat de l'université Paris 7 - Denis Diderot, junio de 1996. Réimp. Villeneuve d'Ascq  : Presses universitaires du Septentrion, 1997, 468 p. (Extenso material en línea sobre la historia del análisis numérico de ODE; para material en inglés sobre la historia del análisis numérico de ODE, consulte, por ejemplo, los libros en papel de Chabert y Goldstine citados por él).
  • Pchelintsev, AN (2020). "Un método numérico y un algoritmo precisos para construir soluciones de sistemas caóticos". Journal of Applied Nonlinear Dynamics . 9 (2): 207– 221. arXiv : 2011.10664 . doi : 10.5890/JAND.2020.06.004 . S2CID 225853788 . 
  • kv en GitHub ( biblioteca de C++ con solucionadores de EDO rigurosos)
  • INTLAB (una biblioteca creada por MATLAB / GNU Octave que incluye solucionadores de EDO rigurosos)
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