Estabilidad cero

La estabilidad cero , también conocida como estabilidad D en honor a Germund Dahlquist , ^{[ 1 ]} se refiere a la estabilidad de un esquema numérico aplicado al problema simple de valor inicial .${\displaystyle y'(x)=0}$

Un método lineal multipaso es cero-estable si todas las raíces de la ecuación característica que surge al aplicar el método tienen una magnitud menor o igual a la unidad, y todas las raíces con magnitud unitaria son simples. ^{[ 2 ]} Esto se denomina condición de raíz ^{[ 3 ]} y significa que las soluciones parásitas de la relación de recurrencia no crecerán exponencialmente. ${\displaystyle y'(x)=0}$

El siguiente método de tercer orden tiene el orden más alto posible para cualquier método explícito de dos pasos ^{[ 2 ]} para resolver : Si idénticamente, esto da una relación de recurrencia lineal con ecuación característica Las raíces de esta ecuación son y y por lo tanto la solución general a la relación de recurrencia es . Los errores de redondeo en el cálculo de significarían un valor distinto de cero (aunque pequeño) de tal manera que eventualmente la solución parásita dominaría. Por lo tanto, este método no es cero-estable.${\displaystyle y'(x)=f(x)}$$${\displaystyle y_{n+2}+4y_{n+1}-5y_{n}=h(4f_{n+1}+2f_{n}).}$$${\displaystyle f(x)=0}$$${\displaystyle r^{2}+4r-5=(r-1)(r+5)=0.}$$${\displaystyle r=1}$${\displaystyle r=-5}$${\displaystyle y_{n}=c_{1}\cdot 1^{n}+c_{2}(-5)^{n}}$${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle (-5)^{n}}$