Método de sistemas de estados cuantizados

Los métodos de sistemas de estados cuantizados ( QSS ) son una familia de solucionadores de integración numérica basados ​​en la idea de cuantización de estado, dual a la idea tradicional de discretización del tiempo. A diferencia de los métodos de solución numérica tradicionales , que abordan el problema discretizando el tiempo y resolviendo para el siguiente estado (de valor real) en cada paso de tiempo sucesivo, los métodos QSS mantienen el tiempo como una entidad continua y en su lugar cuantizan el estado del sistema, resolviendo en lugar de resolver para el tiempo en el que el estado se desvía de su valor cuantizado por un cuanto .

También pueden presentar muchas ventajas en comparación con los algoritmos clásicos. ^{[ 1 ]} Permiten inherentemente modelar discontinuidades en el sistema debido a su naturaleza de eventos discretos y asíncrona. Además, permiten la búsqueda explícita de raíces y la detección de cruces por cero mediante algoritmos explícitos , evitando la necesidad de iteración, un hecho especialmente importante en el caso de sistemas rígidos, donde los métodos tradicionales de avance temporal requieren una elevada penalización computacional debido a la necesidad de resolver implícitamente el siguiente estado del sistema. Finalmente, los métodos QSS satisfacen notables límites de estabilidad global y de error, descritos a continuación, que no se cumplen con las técnicas de solución clásicas.

En 2001, Ernesto Kofman demostró ^{[ 2 ]} una propiedad notable del método de simulación de sistemas de estados cuantizados: a saber, que cuando la técnica se utiliza para resolver un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) estable , el error global está acotado por una constante que es proporcional al cuanto, pero (crucialmente) independiente de la duración de la simulación. Más específicamente, para un sistema LTI multidimensional estable con la matriz de transición de estado${\displaystyle A}$y matriz de entrada${\displaystyle B}$, se demostró en [CK06] que el vector de error absoluto${\displaystyle {\vec {e}}(t)}$está delimitado superiormente por

${\displaystyle \left|{\vec {e}}(t)\right|\leq \left|V\right|\ \left|\Re \left(\Lambda \right)^{-1}\Lambda \right|\ \left|V^{-1}\right|\ \Delta {\vec {Q}}+\left|V\right|\ \left|\Re \left(\Lambda \right)^{-1}V^{-1}B\right|\ \Delta {\vec {u}}}$

dónde${\displaystyle \Delta {\vec {Q}}}$es el vector de cuantos de estado,${\displaystyle \Delta {\vec {u}}}$es el vector con cuantos adoptados en las señales de entrada,${\displaystyle V\Lambda V^{-1}=A}$es la descomposición en valores propios o forma canónica de Jordan de${\displaystyle A}$, y${\displaystyle \left|\,\cdot \,\right|}$denota el operador de valor absoluto elemento a elemento (que no debe confundirse con el determinante o la norma ).

Cabe destacar que este notable límite de error tiene un precio: el error global para un sistema LTI estable también está, en cierto sentido, limitado inferiormente por el propio cuanto, al menos para el método QSS1 de primer orden. Esto se debe a que, a menos que la aproximación coincida exactamente con el valor correcto (un evento que casi con seguridad no ocurrirá), simplemente seguirá oscilando alrededor del equilibrio, ya que el estado siempre está garantizado (por definición) para cambiar exactamente un cuanto fuera del equilibrio. Evitar esta condición requeriría encontrar una técnica fiable para reducir dinámicamente el cuanto de forma análoga a los métodos de tamaño de paso adaptativo en los algoritmos de simulación de tiempo discreto tradicionales.

Sea un problema de valor inicial especificado de la siguiente manera.

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=f(x(t),t),\quad x(t_{0})=x_{0}.}$

El método QSS de primer orden, conocido como QSS1, aproxima el sistema anterior mediante:

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=f(q(t),t),\quad q(t_{0})=x_{0}.}$

dónde${\displaystyle x}$y${\displaystyle q}$están relacionados por una función de cuantización histéresis

${\displaystyle q(t)={\begin{cases}x(t)&{\text{si }}\left|x(t)-q(t^{-})\right|\geq \Delta Q\\q(t^{-})&{\text{en otro caso}}\end{cases}}}$

dónde${\displaystyle \Delta Q}$se denomina cuanto . Nótese que esta función de cuantización es histéresis porque tiene memoria : su salida no solo es una función del estado actual.${\displaystyle x(t)}$, pero también depende de su antiguo valor,${\displaystyle q(t^{-})}$.

Por lo tanto, esta formulación aproxima el estado mediante una función constante a trozos,${\displaystyle q(t)}$, que actualiza su valor tan pronto como el estado se desvía de esta aproximación en un cuanto.

La formulación multidimensional de este sistema es casi la misma que la formulación unidimensional anterior:${\displaystyle k^{\text{o}}}$estado cuantizado${\displaystyle q_{k}(t)}$es una función de su estado correspondiente,${\displaystyle x_{k}(t)}$y el vector de estado${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$es una función de todo el vector de estado cuantizado,${\displaystyle {\vec {q}}(t)}$:

${\displaystyle {\vec {x}}(t)=f({\vec {q}}(t),t)}$

• [CK06] Francois E. Cellier y Ernesto Kofman (2006). Simulación continua de sistemas (primera ed.). Saltador. ISBN  978-0-387-26102-7.
• [BK11] Bergero, Federico y Kofman, Ernesto (2011). "PowerDEVS: una herramienta para el modelado de sistemas híbridos y la simulación en tiempo real" (primera ed.). Society for Computer Simulation International, San Diego. 

• Implementación independiente de los métodos QSS