Extrapolación

En matemáticas , la extrapolación es un tipo de estimación , más allá del rango de observación original, del valor de una variable basándose en su relación con otra variable. Es similar a la interpolación , que produce estimaciones entre observaciones conocidas, pero la extrapolación está sujeta a una mayor incertidumbre y un mayor riesgo de producir resultados sin sentido. La extrapolación también puede significar la extensión de un método , asumiendo que métodos similares serán aplicables. La extrapolación también puede aplicarse a la experiencia humana para proyectar, extender o expandir la experiencia conocida a un área desconocida o experimentada previamente. Al hacerlo, se hace una suposición sobre lo desconocido ^{[ 1 ]} (por ejemplo, un conductor puede extrapolar las condiciones de la carretera más allá de lo que es visible actualmente y estas extrapolaciones pueden ser correctas o incorrectas). El método de extrapolación puede aplicarse en el problema de reconstrucción de interiores .

Una elección acertada del método de extrapolación a aplicar depende del conocimiento previo del proceso que generó los puntos de datos existentes. Algunos expertos han propuesto el uso de fuerzas causales en la evaluación de los métodos de extrapolación. ^{[ 2 ]} Cuestiones cruciales son, por ejemplo, si se puede asumir que los datos son continuos, suaves, posiblemente periódicos, etc.

Lineal

La extrapolación lineal consiste en trazar una línea tangente al final de los datos conocidos y extenderla más allá de ese límite. La extrapolación lineal solo proporciona buenos resultados cuando se utiliza para extender la gráfica de una función aproximadamente lineal o no demasiado lejos de los datos conocidos.

Si los dos puntos de datos más cercanos al punto${\displaystyle x_{*}}$para ser extrapolados son${\displaystyle (x_{k-1},y_{k-1})}$y${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$La extrapolación lineal da como resultado la función:

${\displaystyle y(x_{*})=y_{k-1}+{\frac {x_{*}-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}}}(y_{k}-y_{k-1}).}$

(que es idéntico a la interpolación lineal si${\displaystyle x_{k-1}<x_{*}<x_{k}}$). Es posible incluir más de dos puntos y promediar la pendiente del interpolante lineal, mediante técnicas similares a la regresión , en los puntos de datos elegidos para ser incluidos. Esto es similar a la predicción lineal .

Polinomio

Se puede crear una curva polinómica a partir de todos los datos conocidos o solo cerca del final (dos puntos para extrapolación lineal, tres puntos para extrapolación cuadrática, etc.). La curva resultante se puede extender más allá del final de los datos conocidos. La extrapolación polinómica se realiza típicamente mediante interpolación de Lagrange o utilizando el método de diferencias finitas de Newton para crear una serie de Newton que se ajuste a los datos. El polinomio resultante se puede utilizar para extrapolar los datos.

La extrapolación polinómica de alto orden debe utilizarse con precaución. Para el conjunto de datos y el problema de ejemplo de la figura anterior, cualquier extrapolación de orden superior a 1 (extrapolación lineal) podría generar valores inutilizables; la estimación del error del valor extrapolado aumentará con el grado de la extrapolación polinómica. Esto está relacionado con el fenómeno de Runge .

Por lo general, la calidad de un método de extrapolación está limitada por las suposiciones que dicho método hace sobre la función. Si el método supone que los datos son suaves, entonces una función no suave se extrapolará de forma deficiente.

En términos de series temporales complejas, algunos expertos han descubierto que la extrapolación es más precisa cuando se realiza mediante la descomposición de las fuerzas causales. ^{[ 6 ]}

Incluso con supuestos adecuados sobre la función, la extrapolación puede desviarse considerablemente de ella. El ejemplo clásico son las representaciones de series de potencias truncadas de sin( x ) y funciones trigonométricas relacionadas . Por ejemplo, si tomamos solo datos cercanos a x  =  0, podemos estimar que la función se comporta como sin( x )  ~ x . En las proximidades de x = 0, esta es una estimación excelente. Sin embargo, lejos de x = 0, la extrapolación se aleja arbitrariamente del eje x, mientras que sin( x ) permanece en el intervalo [ −1 , 1]. Es decir, el error aumenta sin límite.      

Tomar más términos en la serie de potencias de sin( x ) alrededor de x  =  0 producirá una mejor concordancia en un intervalo más grande cerca de x  =  0, pero producirá extrapolaciones que eventualmente divergen del eje x incluso más rápido que la aproximación lineal.

Esta divergencia es una propiedad específica de los métodos de extrapolación y solo se evita cuando las formas funcionales asumidas por el método (ya sea de forma inadvertida o intencionada debido a información adicional) representan con precisión la naturaleza de la función que se está extrapolando. Para problemas particulares, esta información adicional puede estar disponible, pero en general, es imposible satisfacer todos los comportamientos posibles de la función con un conjunto suficientemente pequeño de comportamientos potenciales.

En análisis complejo , un problema de extrapolación puede convertirse en un problema de interpolación mediante el cambio de variable.${\displaystyle {\sombrero {z}}=1/z}$Esta transformación intercambia la parte del plano complejo dentro del círculo unitario con la parte del plano complejo fuera del círculo unitario. En particular, el punto de compactificación en el infinito se mapea al origen y viceversa. Sin embargo, se debe tener cuidado con esta transformación, ya que la función original podría haber tenido "características", como polos y otras singularidades , en el infinito que no eran evidentes en los datos muestreados.

Otro problema de extrapolación está vagamente relacionado con el problema de la continuación analítica , donde (típicamente) una representación en serie de potencias de una función se expande en uno de sus puntos de convergencia para producir una serie de potencias con un radio de convergencia mayor . En efecto, se utiliza un conjunto de datos de una región pequeña para extrapolar una función a una región más grande.

Una vez más, la continuación del análisis puede verse obstaculizada por características de la función que no eran evidentes en los datos iniciales.

Además, se pueden utilizar transformaciones de secuencias como las aproximaciones de Padé y las transformaciones de secuencias de tipo Levin como métodos de extrapolación que conducen a una suma de series de potencias que divergen fuera del radio de convergencia original . En este caso, a menudo se obtienen aproximaciones racionales .

Los argumentos de extrapolación son argumentos informales y no cuantificados que afirman que algo es probablemente cierto más allá del rango de valores para los que se sabe que es cierto. Por ejemplo, creemos en la realidad de lo que vemos a través de lupas porque coincide con lo que vemos a simple vista, pero se extiende más allá; creemos en lo que vemos a través de microscopios ópticos porque coincide con lo que vemos a través de lupas, pero se extiende más allá; y lo mismo ocurre con los microscopios electrónicos. Estos argumentos se utilizan ampliamente en biología para extrapolar de estudios en animales a humanos y de estudios piloto a una población más amplia. ^{[ 7 ]}

Al igual que los argumentos de pendiente resbaladiza , los argumentos de extrapolación pueden ser fuertes o débiles dependiendo de factores como hasta dónde llega la extrapolación más allá del rango conocido. ^{[ 8 ]}

• Pronóstico
• Extrapolación polinómica mínima
• Método multigrid
• Sobreajuste
• Intervalo de predicción
• Análisis de regresión
• Extrapolación de Richardson
• Análisis estático
• Estimación de tendencias
• Análisis del dominio de extrapolación
• Estimación de la situación
• Reconstrucción interior
• teoría de valores extremos
• Interpolación

• Métodos de extrapolación. Teoría y práctica, por C. Brezinski y M. Redivo Zaglia , North-Holland, 1991.
• Avram Sidi: "Métodos prácticos de extrapolación: teoría y aplicaciones", Cambridge University Press, ISBN 0-521-66159-5 (2003).
• Claude Brezinski y Michela Redivo-Zaglia  : "Extrapolación y aproximación racional", Springer Nature, Suiza, ISBN 9783030584177, (2020).